1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Поэтому, объединяя,(7.1.1б) и (7.1.18), получаем )/ [исоа 1х — — и)+оя1п (х — 4 и ) [ при х,. ии (7.1.24) 73.3. Эалача Лиуввлли Лиувилль [18371 и Грин [1837) одновременно рассмотрели поведение решений уравнения — «+ [Ро,(х)+д, (х)) у=О (7.1.25) уравнение (7.1.25) приводится к виду —, + —, ( ~р" — ~~ Р ) — + —, ~ е.' о, (х) + ое (х) — ф ( Р, ) 1 о = О.
(7.1.27) Выбрав <р и ер такими, что р" — — =О, д,=р ~р р',е ,р ° 1 (7.1.28) или, что то же самое, Ч =) [о,(х)Р ' (х, 1=[о,(х))'~е, (7,1.29) можно свести (7.1.27) к уравнению И~~~ — е+ е.во= бо, (7.1.30] где ,е ! е1 З 4( и 6= — —,— —,— —. 4 Че 1Бое 4,' (7,!.31) для больших Х и при условии, что о, (х) — положительная дважды непрерывно дифференцируемая функция, а д,(х) непрерывна на рассматриваемом интервале [а, 51. С помощью преобразования г=~р(х), о=чр(х)у(х) (7.1.28) 7. Д Дифференциальные рраенения вторила поливка 337 Поскольку а, дважды непрерывно днфференцируема, а д, непрерывна иа интервале [и, Ь1, то 6 мало по сравнению с Л'. Следовательно, в первом приближении функция о будет решением уравнения (7.1.30) при 6=0, т. е. о=асов Лг+Ьз1п Лг, (7.1.32) где а и Ь вЂ” постоянные.
Поэтому имеем в первом приближении а сои [Л [ Род,(х)с(х [+Ьяп [Л [ УО (х)ах1 Д =- (7.1.33) ~/ д1(х) Если функция д,(х) отрицательна, то соотношение (7.1.33) заменится на аехр [Л $ $~ — О,(х)<6~+Ьехр [ — Л $ )~ — д,(х)ах) р— (7,1.34) ь' — о, (х) Эти разложения вполне согласуются с разложениями, полученными в п.6.4.3 с помошью метода многих масштабов. Следует отметить, что эти разложения нарушаются в окрестностях нулей функции д, (х). Эти нули называются точками возврата или переходными точками. Задачи с точками возврата рассматриваются в 5 7.3. Математики называют преобразование (7.1.26), (7.1.29) преобразованием Лиувилля — Грина, в то время как физики называют решения (7.1.33) и (7.1.34) ВКБ-приближениямн в честь Вентцеля [1926), Крамерса [1926) и Бриллюэна [1926(.
Однако приближенное решение такого же типа для функции Бесселя при большом порядке и больших значениях аргумента получил Карлиии [1817). 7.(.4. Высшие приближении длн ураинеиий, содержащих большой параиетр Рассмотрим асимптотическое разложение решений уравнения Д+д(х; Л) у=О (7.1.36) для больших Л и при условии, что и д(х, Л)=Лье ~~.", Л нд„(х) при Л оо, (7.1.36) л=о причем ае чьО на рассматриваемом интервале, а А †натуральн число. Асимптотическое решение этой задачи можно искать в виде одного из следующих двух формальных разложений: (7.1.37) (7.1.38) Обоснование разложений такого вида было дано Хорном [1899]. Подставив одно из этих формальных разложений в (7.1.15) и (7.1.36) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Л, получим уравнения для последовательного определения а„ и д„.
Для формального разложения (7.1.37) при (е= 1 эти уравнения имеют вид о=1 (7.1.42) аоесЫо] '~оехр ~ ] — '," е(х], а, =с[до (х)]-'~о ехр ~ [ — [ ~' е(х], (7.1.43) ~ л 3 (до (х)! Ыо где с — постоянная. Следовательно, в первом приближении будет иметь место у=- ' р(1+,', р(1[1+0(Л ')], (7.1.44) (чо (х)1 ( где с, и с,— постоянные, а Р(х)=Лье[до(х)]ы' ~1+ ~' " ]е(х.
(7.1.45) Высшие приближения могут быть получены последовательным решением уравнений (7.1.41) относительно а„. Если вместо (7.1.37) мы использовали бы второе формальное разложение (7.1.38) при том же значении /г =1, то получили бы Ззз Гл. 1. Аеиияяоотичеекие рииеяия лииеаяих уриеяеяиа о о-е у= э~1, 'Л "а (х)~ ехр [ ЛЯ ~ Л иу„(х)], «=О 1 о=о о у=ехр ЛЯ ~ Л "у„(х) о=о йо +чо=О 2у,'ао'+ (д, +у,) а, =О, 2аа' +((1, +до)а,„+ ~ аи ео)„.,+а~-,=О длЯ т~~1. Решение уравнения (7.1.39) имеет вид у,= ~ е') [ао(х)]чаях.
Решением уравнения (7.1.40) является функция которую можно переписать в виде (7.1.39) (7.1.40) (7.1.41) 7.5 дифференциальные урсмненил второго нерезва 339 следующие уравнения дчя определения у„: а,*+9.=0, (7.1.46) ш 1 2у,'д' + д + ~ дд', +д", = 0 для гп ) 1. (7.1.47) 6=1 Решение уравнения (7.1.46) задается равенством (7.1.42). Уравнения (7.1.47) при ел=1 задают уравнение 2анеан1 + й + ене =- О решением которого является функция (7.1.46) Подставив выражения для де и а, в (7.1.38), получим в точности соотношения (7.1.44) и (7.1.45). ти.а. Малый параметр при старшей проааеодаой В этом пункте мы будем рассматривать уравнение е„—,+р(х) — "+д(х)у =г(х) (7.1.49) при е — О.
Асимптотические разложения решений этого уравнения были получены в п.4.1.3 с помощью метода сращивания асимптотических разложений, в п.4.2.2 — с помощью метода составных разложений и в п.6.4.2 — с помощью метода многих масштабов. Используя преобразование (Голдстейн [19691) у=п(х)ехр ~ — — "1, М= ') р(х)дх, (7.1.50] приведем уравнение (7.1.49) к нормальному виду сгсе ', нее 2е ! е ~~ р ' емгее (7.1.51) При г ==-0 уравнение (7.1.51) принимает вид (7.1.35), (7.1.36), в котором й= 1, е, = 1/2е, д,= — р' и д, = 29 — р'.
Следовательно, частное решение уравнения (7.1.51) имеет внд в ио -воя о,= — ' се 11+0(е)), (7.1.52) 1' р(л) где ()(х) = 2 †р(х) ~1 + е т ~ с(х= †+ !п р — ~ †"'с(х. (7.1.53) 340 Гл. 7. Асимптоншкесю«л р«иннин линейных уравнений Приближенное частное решение уравнения (7.1.49) можно полу. чить, положив е=О. Проделав это, получим « 1 ГЕ« Гй у = — ) — Йх Е=ехр~ — дх. Е ) р (7Л.54) «Ф Следовательно, в первом приближении имеем у;,.«Е, м,«,1 ~Е«,,х «« (7.1.55) Высшие приближения можно получить, предположив, что разложение имеет вид у = ~ч~, 'е"А„(х) е-и" + ~', е"В„(х), к «о л о (7.1.56) где « (7.1.57) « (7.1.58) где Х, и Х, являются корнями уравнения еХ«+р(х, е)) +д(х, е)=О при е О.
(7.1.59) Таким образом, если р и д не зависят от е, то Х,= — р/е, Х«=-0, а равенство (7.1.58) принимает вид (7.1.56). тд.е. Однородные аадача с медленно менающамаса коаффнцаентама В этом пункте мы рассматриваем уравнение й«р йн —,+р(ех; е) — + д(ех; е)у=О, (7.1.60) Разложение такого же вида мы предполагали и в п.4.2.2, в котором применялся метод составных разложений. Тогда мы определяли величины М, А„и В„подстановкой разложения в исходное уравнение и приравниванием нулю коэффициентов при е" и е«ах 9 ( — 1И(е). Лля случая р= р(х, е) и д=д(х, е) Вазов (119651, глава 7) взял асимптотическое разложение вида у= ~ А„(х) ехр Ц Х,(х, е)с(хД+ ~~„", В„(х)ехр ~$ Х,(х, е)с(х~+ + ~~'., е"С„(х), «=о 7.1.
Диффцгенциаяйнгге у веления второго лорядна 34С где е — малый параметр и Ф р= ч~~~ е"р (Ц с) ~; елс) ($) $=ех. (7.1.61) -о «о Асимптотическое разложение общего решения уравнения (7.1.60) имеет вид (историю вопроса и литературу см. Фещенко, Шкилев и Николенко 119671) Ф й 1~~ злА (йз) еой + ~~с~ злВ Я) еей (7 1 62) л=о л=о где Щ ЛЩ (7.1.63) а Л, и Л, являются корнями уравнения Л'+рй(з) Л+с)й(з)=0 (7.1.64) Предполагаем, что на рассматриваемом интервале Л, и Л, различны. Величины Ос и $ в (7.1.62) предполагаются независимыми.
Это эквивалентно методу многих масштабов, описанному в предыдущей главе. Производные преобразуются в соответствии с равенствами Д Д Д Д вЂ” =Л вЂ” + Л вЂ” +ив ДЯ 1 Две й Двй Д$ ' Дй Дй Дй Дй Дй Дй „ †, = Ц вЂ” э + 2ЛйЛй +Лй †,+ 2еЛс — + 2зЛй †„ + ,Д, Д Дй + аЛ; — + еЦ тГ+ е ' —,, где Л; =с(ЛЩ. Обозначим через А и В коэффициентьс при ехр(0,) и ехр(0,).
Подставив (7.1.62) в (7.1.60) и приравняв нулю коэффициенты при ехр(0,), получим (Ц+Лр+с1) А+в (2Лс+ р) А'+еЛ А+а'А"= О, (7.1.65) (Ц+Лйр+ с)) В+ в (2Л, + р) В'+еЛ;В+в'В" = О. (7.1.66) Положив в уравнениях (7.1.65) и (7.1.66) вновь н Ф А = ~~.", е'Ал, В = ~.", злВ„ (7. 1.67) л=о =о и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения для последовательного определения Ал и В„.
Первые з4з Гл. 7. Лсимнентниоеские рвиенил линейных уравнений члены А, и В, задаются уравнениями (2Лс + ро) Ао+ (Л( +Лср~ + нос) А =0 (З,,+ро) В;+(Л;+Л,р„+д,) В,=О. (7.1.68) (7.1.69) Решения этих уравнений представляются в виде А В ссехр — 'Р' ~' с$.
.1 2Хе+ро (7.1.70) В случае р= — 0 и 9„=0 для п) 1 Л„Л, =-~1[9,($)р!о, и ь А,= —, В,= —, ~'Х; ' )Л)н и' где а и Ь вЂ” постоянные. Поэтому в первом приближении имеет место со сио ) 1чо6)1 их+свею ) 1чо(с)1 Их Д (7.1.71) 1чо (и)'У' Это есть приближение Лиувилля — Грина или ВКБ-приближение к решению уравнения —,~+9, (ек) у=-О. (7,1.72) 7Л.7. Динамика вхоаа сварена Комплексный угол атаки симметричного снаряда описывается уравнением (Найфэ 11969а]) б+ 11р (1+7)+ — "+' — „— ео~б+ + (т(р,'— ро)+(р( — — е0 — ееИ+™Я)~ 6=0. (7.1.73) В этом уравнении величины и, 9, с) и М являются медленно меияюшимися функциями времени, а р и 7 †постоянн.
Следовательно, оно имеет тот же вид (7.1.60) прн р.=ер(1+7), р,= — и+ — „— (), и' (7.1.74) :1' Р(,и + и )' Штрихом обозначено дифференцирование по медленному времени $ =а1, в то время как точка означает дифференцирование по 7.д Ащ84мрепцчсызнме уравнения еторосо порядка з~а быстрому времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
