1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(7.2.68) (7.2.69) приведем систему (7.2.61) к виду (7.2.65) Ввв(Р$1 ф'31 В11 Рег (7.2.66) Эти уравнения разрешимы относительно (Р" и (Рвг единственным образом, поскольку матрицы В," и В,'* не имеют общих собственных значений. Если матрица А, имеет различные собственные значения, то с помощью описанной выше схемы исходную систему можно свести к системе п не связанных друг с другом уравнений вида (7.2.56) с диагональной матрицей В. Подробности вывода здесь такие же, как и в п.7.2.2. Более легкая методика для определения асимптотических решений системы (7.2.52) может быть использована в том случае, когда матрица А, имеет различные собственные значении.
Асимптотическое представление имеет вид у=-нд, з)аа" т зсз Гл. 7. Асимпншепичесхие решения линейных сравнений Здесь Л($) — собственное значение матрицы Ае(с). Существуют п линейно независимых решений вида (7.2.67), соответствующих а собственным значениям матрицы А,. Подстановка (7.2.67) — (7.2.69) в (7,2.52) и (7.2.53) приводит к уравнениям для последовательного нахождения н„. 7.3. Задачи с точкой возврата В п.7.1.3 мы установили, что приближение Лиувилля †Гри (ВКБ-приближение) для решений уравнения — „~~ + (Л'д,(х)+д,(х))у= — О (7.3.1) при больших Л и положительном д,(х) имеет вид а, сох [Л ~ гсд, (х)йх+Ье х(п [Л ~ 1' де (х) йх) у (7.3.2) т/ де(х) а при отрицательном д,(х) †в ах ехр [Л ~ ге — де (х) е(х1+ Ье схр [ — Л ~ )I — де(х) йх1 у .
(7.3.3) Ь/ — де (х) Как было отмечено в п.7.1.3, эти приближения пригодны, коль скоро значения х далеки от корней функции д,(х). Из уравнений (7.3.2) и (7.3.3) видно, что решение у имеет колебательный характер по одну сторону от нуля функции д,(х) и экспоненциальный характер — по другую; отсюда и название такой точки— переходная точка. Ее называют также точкой возврапш, потому что в классической механике это есть точка, в которой кинетическая энергия движущейся частицы становится равной ее потенциальной энергии, и частица меняет направление движения. Точка х =р называется точкой возврата или переходной точкой порядка а, если точка х =р является нулем кратности сс функции е),(х).
Если функция д,(х) имеет особенность в точке возврата, то точка возврата называется особой точкой возврата; в противном случае это регулярная точка возврата, В этом пункте, начав с уравнений второго порядка, таких, как уравнение (7.3.1), дадим описание методики получения асимптотическнх решений в задачах с точкой возврата. 7.3. Задачи с заочной еозврата 7.33. Метод сраизнваниа асимнтоснчесиих разложений Предположим, что д,(х) — функция без особенностей, а д, (х) = (х — р) 7 (х), (7.3.4) где 1(х) — положительная функция.
Следовательно, приближенное решение уравнения (7.3.1) задается равенством (7.3.2) при х ) р и равенством (7.3.3) при х<р. Эти разложения, называемые внешними разложениями, нарушаются в окрестности точки х=р. Чтобы найти область неравномерности этих разложений, положим в (7.3.1) $=(х — р)Л' с положительным т и приведем зто уравнение к виду —, +(Л' ' Ц [р+$Л-ч]+ Л зчаз [р+$Л- 1) у=О. (7.3.5) Третий член в (7.3.5) при Л вЂ” со стремится к нулю для всех положительных т.
Однако вид предельного уравнения зависит от значения т. При Л вЂ” со уравнение (7.3.5) имеет предельный вид 2 у=О при и < —, 3 аз 1 3' 2 (7.3.6) — +Ц(р.)у=О при Фр 2 лаз 3 ' Очевидно, что первые два предела неприемлемы, поскольку с помощью их решений не удается срастить разложения (7.3.2) и (7.3.3).
Поэтому приемлемым является предел, выделенный значением и=2/3 и задаваемый третьим уравнением в (7,3.6). Положив в этом уравнении г= — $ ~/[(р), (7.3.7) придем к уравнению, которое в первом порядке описывает внутреннее решение „вЂ”,— гу = О. нзр (7.3.8) аг Его общее решение имеет вид у =азА((г) -)-Ь,В( (г), (7.3.9) где А((г) и В1(г) — функции Эйри первого и второго родов соответственно. Отвлечемся на миг, чтобы дать некоторые свойства функций Эйри, которые нам понадобятся в дальнейшем, Эти функции допускают следующие интегральные представления (ем., напри- 360 Гя. 7. Асимннштичесние реинния линейны» уравнений мер, Эрдейи [19561, раздел (4.6): н АЕ (г) = — ~ соз ~ — Ее+гЕ) ЕЕЕ, 3 ~з' е ВЕ(г)= — ) ~ехр ( — — Ее+гЕ)+з)п ( — Ее+гЕ)~еЕЕ.
(7.3.11) о (7.3.10) Эти функции выражаются также через функции Бесселя 173 прн помощи формул АЕ(г)= —,~'г Р-ьеС) — 7 ее(~)1= — „1' ЗКи (~)* ВЕ(г) = ~7 з Р- е (ье)+Е ее Я. АЕ ( — г) = — )/г (Е- е (1)+ Е ~е (е)1 ~( — ~)-1 з ~' „.© — „.«)~, порядка (7.3.12) (7.3.13) (7.3. 14) (7.3.15) Для того чтобы срастить внутреннее решение (7.3.9) с внешним решением (7.3.2), выразим последнее через $=(х — Ес)Хе/е и найдем его предел при Х вЂ” аа. В этом случае имеем х>)с и я е ).
') $~д, (с) с(т= Х~ )7т — Ея Е/Е(с) с(с= — )/ е(1„)йы* +0(Л-м'). Следовательно, р=, ~П,СОЗ(д $'Й)$еЕ')+ +(ее з)п ( — Я( ) Р")1+ (7.3.20) где ь=(2ЕЗ)г'~'. Для больших положительных значений г эти функции имеют следующие асимптотические разложения: АЕ (г) = = г-'есе с, ! (7.3.!6) 2 Еесл АЕ( — г)= — г-и'з)п ~~+ — ), (7.3.17) / лт ВЕ(г)= — г-и'еи„ ! (7.3.18) )Ел ВЕ ( — г) = — г-ы' соз ~(, + — ) . (7.3.19) ! l лт 4) ' 7.о. задача с тачкой еоэврата Ь-вгв вв/в Г п1 а, = ~ав з)п-+Ь, соз — 1, ь-ыв?м г Ь,=- ~а,соз — — Ь, з)п — 1.
(7.3.22) Следовательно, равенство (7.3.2) принимает вид г Л у = в = «Ьв сов~) ) )/д (т) «(т+ 4 ~+ тк7од (к) к в) Рч ( )в а (7.3.23) где Обращаясь к сращиванию (7.3.9) с внешним решением (7.3.3), заметим, что а а )«~Р' — 9 (т)«11=) ~)7(р — т)1(т) «(т= )7Т(1«)( — $)в«в+ к к Равенство (7.3.3), следовательно, примет вид р= ~а Екр ~З "Л~~ ( З)в7в1+ +Ь ехр( 3)'«(и)( з) 11'" Поскольку в этом случае $ — отрицательная величина, то г= = — $ вв7' ? (Р) — величина положительнаЯ. Тогда с помощью(?,3.16) Выразив (7.3.9) через $, получим а А«( а,7Д~~~)+ь,В(( з в "г О«)).
Используя (7.3.17) и (7.3.19), можно получить для этой функции разложение для большого У= ' ~ .з)п ( —,' р?Ы й'"+~-)+ +Ьв соя(з )'7()в) й~~ + 4)1+ '... (7.3.21) Принцип сращивания требует равенства (7.3.20) и (7.3.21); имеем поэтому ЗЕ2 Гл. 7. Асими/нотические ранения линейных ирпинский к-, ' [ь, .р(л[И вЂ” д,Яе.)Ч. ~à — й (х) [ к и 1 + —...- ( — [к' —,(е )] к (7.3.27) Таким образом, приближенное решение уравнения (7.3.1) с точкой возврата х=р задается тремя отдельными разложениями: разложением (7.3.9) — в окрестности точки возврата, разложением (7.3.23) — при х > р и разложением (7.3.27) — при х < 1к. Сращивание дает связь между постоянными а„Ь, и а„, Ь,. Впервые эта связь была получена Рэлеем [1912) в исследовании по полному отражению звуковых волн от переходного слоя; явное представление он дал только для экспоненциально затухающего решения. Ганс [1915[ дал формулы связи для обоих решений; Джеффрис [1924[ вновь открыл их в применении к функции Матье.
Зта связь была еще раз открыта почти в одно и то же время Вентцелем [1926), Крамерсом [1926) и Бриллюэном [1926) при исследовании уравнения Шредингера. Поэтому в физической литературе название этого метода обычно образуется из букв [Р', К н В; позднее к ннм стали добавлять букву / в ознаменование вклада, который внес Джеффрис. Цваан [1929[ вывел формулы связи путем интегрирования на комплексной плоскости вдоль пути, который обходил точку возврата.
Зтат метод развил далее Кембл [1935[, Недостатком этой методики является то обстоятельство, что решение задается тремя разными разложениями. В п. 6.4.4 с помощью метода многих масштабов было получено одно разложение, равномерно пригодное для всех х. В следующем разделе мы рассмотрим весьма эффективный метод изучения задач с точкой возврата, который был предложен Лангером [1931[, [1934) н развит Лангером и рядом исследователей, см. п. 7.3.2 — 7.3.Ю. и (7.3.18) можно получить следующее асимптотическое поведение внутреннего решения (7.3.9) при больших г: 1 )-1/4 е 1/12 г 2 у = ~-а ехр ~ — — )//" (р)( — $)е/')+ -[- Ь, ехр( — [/// (р) ( — $)к/е Я + ....
(7.3.25) Приравняв (7.3.24) и (7.3.25), получим (а„Ье)=(܄— а,). (7.3.26) Следовательно, внешнее решение (7.3.3) при отрицательном д,(х) имеет вид 7.З. Задачи о аюеаоа возврата 7.3.2. Преобрезонанне Ленгера Суть подхода Лангера состоит в использовании того обстоятельства, что приблизительно одинаковые уравнения имеют приблизительно одинаковые решения. Он понял, что любая попытка выразить в элементарных функциях асимптотические разложения решений в задачах с точкой возврата обречена на неудачу в областях, содержащих точки возврата. Поэтому разложение, равномерно пригодное для всех х, должно быть выражено в не- элементарных функциях с теми же качественными особенностями, что и у решений уравнения. Решающим шагом в подходе Лангера является введение следующего преобразования зависимой и независимой переменных: г=ф(х), о=»(х)у(х), (7.3.28) которое приводит уравнение —.„е + р.ед, (х)+ а, (х)1 у = О (7.3.29) к виду ! /»'~'т + — „! ).'д,(х)+д,(х) — »(» ) ! =О.
(7.3.3О) При условии Положив ~,',=! или ф=~)'д,(т)в!т, ф (7.3.33) мы вернемся к преобразованию Лиувилля — Грина. Получающееся при этом решение выражаегся, как и в п. 7.1.3, в тригонометрических функциях и имеет особенность в точках возврата (нулях функции д,(х)). Из равенств»=)~'7ф и ф'=Уд, имеем » = ~/д,; поэтому преобразование (7.3.28) имеет особенность в нулях функции д,(х). Для получения равномерно пригодного разложения в задаче с точкой возврата в точке х=р и функцией д,(х) вида д,(х)=(х — р)1(х), 1(х) > О, (7.3.3!) »=$' ф' (7.3.3!) средний член обратится в нуль, и уравнение примет вид — + ! Ле ~,',+ ~,',+ — ф— „— Ч „~ и =О.
(7,3.32) 364 Гл. 7. Аеиннтотические ранения линейныя ураенений положим, следуя Лангеру (1931), (1934), чя й е (7.3.35) Тогда уравнение (7.3.32) примет вид Няи йее — -е- Лего =бе, (7.3.36) где че З ~"е <рн 4 ~рн 2 (рн (7,3.37) Решение уравнения (7.3.35) имеет вид — ~ре/я = ') )~(т — р))'(т) е(т при х~~ ре, 2 2 и т( — яец=) ~ь — юн) н е *не (7.3.38) Решение этого уравнения имеет вид о =с,Ае( — Л™ г)+с, В(( — Ле1яг), (7340) где с, и е,— постоянные интегрирования.
Следовательно, в первом приближении у = — (с,Ае ( — Ляеяер (х)) +сяВЕ ( — ЛеАр (х)Ц, (Т.3.41) 1 р~~' (я) где ~р определено в (Т.3.38). Это — единственное разложение, равномерно пригодное для всех х, включая н окрестность точки возврата х=р. Используя асимптотические разложения (7.3.16) — (7.3.19). справедливые для больших значений,, аргумента функций Эйри Ае и В1, можно При х- р имеем ~ ~рлр" (р)(х — р) и яр ~/7(р);следовательно, 6=0(1), если только функция д,(х) непрерывна. Кроме того, преобразование (7.3.28) является регулярным всюду, включая точку возврата х=р. Поскольку 6 =0(1), а Л вЂ” большой параметр, то функция а приближенно определяется уравнением, которое Лангер назвал присоединенным уравнением, — „, +Лего=О.
йяи (7.3.39) 7.А Задачи о роочкой воввраоаа получить л-1йа )/ л )а,/д,(х) к [11Рка,()к -Рр.]) Р *>Р, ~1111Р л-кра у =, с, ехр — Л 1 )/ — д, (т) а(т 1/ л )р/ — дк(х) к Р[1)3~ — р,йк 1) р <р, ~7141) и у — )(- 11ао ь =ь(г) =) 1/д,(т) а(т, д1(х) (7.3.44) где независимая переменная г является пока не определенной функцией х. Это преобразование приводит уравнение (7.3.29) к виду — „,", + Щ'*о бо, (7.3.45) где а Л-а(а 1)а д (Х 1М) х )( Р (7.3.46) Если нам удастся подобрать функцию ь(г) такай, чтобы имело место б =-0(1), то решения присоединенного уравнения — ",+Ла~' о=О (7.3.47) будут асимптотически эквивалентны реюенням уравнения (7.3.29) при больших Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
