1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Их решениями являются функции )l г<р„= — ) — бт, Ио (т) (7.3.82) .в ( д1(т)+яГ~ (т) ) 2Ф~ (т) т1(т) ~l г~р, = — ) ' йт, о 2 т з72 Гл. 7. Аеиннтотические решения линейния уриенений Нижний предел в этих интегралах выбран таким, чтобы функции ер, н ер, были бы регулярными в точке г=О. Таким образом, решение и задается формальным разложением 1е(Л'"ч) ер(г: Л) =г+Л '~р,(г)+Л '<рв(г)+ .. (7.3.83) Это формальное разложение является равномерным приближением к решению исходной задачи всюду, за исключением малых окрестностей нулей функции о, в которых Черри использовал следующую модифицированную формулу: о=А1(Лв7вг)(1+Л 'а,+Л-'а +...)+ — '(Лм'г)(Л 'Ь,+Л 'Ь,+...).
(7.3.84) Если справедливо разложение Ф ЛК(г Л)= ~ Л вии (г) и 0 то а„и Ь„могут быть определены из (7.3.83). Для этого следует разложить ер' и Ар(Лв/вер) в точке ~р =а н использовать соотно- шение е(вА1/е(гв = Л' гА(. Подход Олнера, Олвер 119541 предложил отыскивать полное асимптотическое разложение, предположив, что о — А (г Л)ь.(Лвгвг) 1 В(г- Л)ь;(Лвевг) (7 3 85) Этот вид совпадает с окончательным видом разложения, полученного Лангером (19491, и с модифицированной формулой Черри (7.3.84). Это разложение может быть рассмотрено так же, как результат применении метода составных разложений, описанного в $ 4.2. Из равенства йе=Л'гьо и'=А'не+(А+В )ье+Вье= =(А'+ ЛвгВ) ~в+ (А + В') ц имеем и" =(А" + Л*В+ Л'гВ ) ~, +(2А'+Л'гВ+ В ) Ц+(А -1- В') 9е = = (А" + Л'В + Л'г (А + 2В')) Ц, + (2А' + Л'гВ+ В") ~;.
Следовательно, (7.3.72) принимает вид А" + ЛвВ+ 2ЛвгВ'+ ЛаА) ~в+ (2А'+ В" + ЛаВ) ~,' = О. (7.3.86) 7.г. Задача с «!очлой еоэеРата З7З Приравняв нулю коэффициенты при 7! и ~;, получим 2А'+Ве+ЛдВ =О, А" +ЛеВ+2ЛегВ'+ЛБА =О. Этим уравнениям удовлетворяют формальные разложения вида л А = ~ Л-лА„(г), (7.3.88) В= ~! Л лВл(г) л ! (7.3.87) где (7.3.92) пл = е ) [осл (т) Ае (т) лял (т) В, (т)) с(т, ( Г о г — ( ~ ~)/ тес (т)В (.) Рл(т).ее(е)1 о (7.3.93) 2А;+д,В, =О, 2гВ;+В, + деА, =О, (7.3.89) 2А;, +аеВл.,! = — Х а,„В„„е! =-сел, и 1, (7.3. 90) 2гВ'+!+В.+е+деА.= — А — — Х д А — =8„, п)1.
т=! Решение системы (7.3.89) имеет вид о Ие (т) (7.3.9!) яе о в,=— Следовательно, решение системы (7.3.90) задается равенствами е е Ал=а„(г) с)! ( -оэ — ')-с(т+Ь„(г) з)! ( а"-( ) с(т, о о Е 1/г Вл+! —— — а„(г)з)! ( -'-о(')-с(т — Ь„(г)с)! ( ае(') е(т, о о где 374 Гл. 7. Асимнтатилееиие гниении линейно!л ираенений В том случае, когда Ф Хд = ~ Х-елд„(г)„ л=о системе (7.3.87) удовлетворяют формальные разложения вида А =- А, + ~ Х '"Лл (г), А, = 1, л В= ~~Р ~Х 'лВл(г).
(7.3.94) Подставив эти разложения в (7.3.87) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Х, получим л-! 2А = —  — д, — Х д В„„=!х„, т=! л-! 2гВ;,+Вл = — А",— уоАл ! — Х аиЛ вЂ” - =р . т=! Решение этой системы имеет вид )л В =- г=!!т Г рл(л> о л З~ «() ! г о (7.3.96) Посеедователаные преобраэоаания Дангера. Для нахождения высших приближений к решению уравнения —,+Лл!7(х)у=О, (7.3.97) в котором !7 (х) обращается в нуль на рассматриваемом интервале, Иман [1948), 119501 предложил повторно применять преобразование Лангера.
Моригути (1959) применил и значительно расширил эту методику. В случае простой точки возврата при х =р! мы вводим сначала преобразование Лангера — "'=~) 'у( )и, у=Х-"' ° К= — (7398) е ° с помощью которого уравнение (7.3.97) приводится к виду — „,„+(Х'г — 6(г)1 о=О, (7.3.99) Зтз 7.8. Задачи о тоета возврата где 6 Х- "'(' ) = — Х- "'(Х двв дх' Поскольку 6=0(1) и Х вЂ” большое число, то о приближенно задается решениями уравнения дво — + Хв7о =-О, Дав (7.3.100) которые имеют вид о =~о (Хыва), (7.3. 101) где ("')' " ( 2 (!")"'+3 ( )4+."1 ° (7.3.!05) Это уравнение совпадает по виду с уравнением (7.3.97), и, следовательно, его приближенное решение может быть получено с помощью преобразования вз Ь'"=1Уа () ° =Х."'., о Хз= —, дзг азх,+)г,(хз). чз вз (7.3.106) Это преобразование приводит уравнение (7.3.104) к виду — в' + (Хваз — 6, (7,)Д о, = О, (7.3.107) 1 где дв ( 1/41 6 „, ма (Хз ) в юл Ихз (7.3.108) где ьз н ьв — функции Эйри первого и второго родов.
Чтобы уточнить разложение (7.3.101), перепишем уравнение (7.3.99) в исходной форме (7.3.97) и заменим независимую переменную 7 на х, по формуле Хз =7 !Зз где р,— корень уравнения Хвг — 6(7)=0, т. е. (7.3.103) Тогда уравнение (?.3.99) может быть записано в виде —,+Р 1а,х, +й,(х,)) о=О, (7.3.104) 1 Зтб Гл. 7 Асинптоп|нчеекие ранение линеанмл уравнений Первым приближением к ит является решение уравнения дто, — '+ Л'г,п, = 0. (7.3. 109) ое1 Следовательно, (ч (Лт)аг ) (7.3. 110) Совари)ив теперь обратный переход к переменным х и у, получим уточненное приближение к решению исходного уравнения. Из (7.3.106) имеем к, ~ ' =~Р~, )) !+; —,' ( =-,Р', +О(Л-). атт о Следовательно, г,=- ~а))а,х,+0(Л-т), К, =- а';"+О(Л- ).
(7.3.111) Из равенств о от ет)е с т/ К 7/ КК1 у 1)тот)е ! следует, что два независимых решения уравнения (7.3.97) приближенно задаются соотношением д = )/ — ),) 1Л"а,')' (г (х) — )т,)1, где г(х) определено в (7.3.98). Высшие приближения могут быть получены повторным применением описанной выше процедуры. 7.3.6. Неоднородная задача с простой точкой возврата — первое приближение для больших Л и при условии, что ))т(х) имеет простой корень в точке х=-!т. Разделив (7.3.!!3) на Л' и полсокив Л оо, получим в качестве приближенного частного решения функцию 9= —. (7.3. 114) Чт (х) В этом пункте мы найдем первое приближение к частному решению уравнения д„т + (Лед (х) + 7, (х)1 У = Л'6 (х) (7.3, 1! 3) гХ задачи а тсчхой возврата Это решение имеет особенность в точке х=-р, если только функция б(х) не имеет в точке х=р простого корня или корни большей кратности.
Для нахождения первого приближения к частному решению в случае, когда 6 (р) чь О, применим сначала преобразование к г=гг(х), — ам* =~ $'д (т) Ит, у= = (7.3.1!5) 2 Г а з ) ' ' = уу к уравнению (7.3.114) и приведем его к виду — ~ (-(Лга — 6) о = Л~й(г) дг (7.3.116) где 6 определено равенством (7.3.37) и д(г) = (~р' !х(г)ц-'и 6 (х(г)1. (7.3.117) Поскольку Б 0(1) и Л вЂ” большое число, то первое приближение к уравнению (7.3.!16) можно записать в виде —.+ Л"го =- Л'д(г). ~яи Их~ (7.3.!18) Для нахождения частного решения запишем д(г) в виде суммы двух слагаемых л (г) — -- д (О) + (л'(г) — д (0)) (7.3.
119) а (г) — л (о) о,= (7.3. 120) равномерно для всех г. Для нахождения частного решения, соответствующего первому слагаемому, положим $ = Лх"и и приведем уравнение (7.3.118) к виду л~е — +$о= Лм'л(0). ~$2 Частное решение этого уравнения имеет вид и, = Л "й (0) Т Я), (7.3. 122) где функция Т($) определяется из условий л а +$Т= 1 Т($) = при ($) ~' оо. (7 3.123) <РТ 1 и определим частные решения, соответствующие каждому из иих. Если функция л(г) дифференцируема в точке г=-О, то частное решение, соответствующее второму слагаемому, приближенно задается равенством 376 Гя.
7. Асимгипотииеские решения яинейних ураененид Таким образом, Т(й) может быть выражено через функции Ломмеля (см., например, Ватсон [1944), стр. 345 — 351) согласно равенствам Тй)= з 5"'5': ('з Р")=~а "е-ч ~' !й[~- 2 . / 2 о ~()=~-" 2:" ~®~'=",", я~ и=с Т(й) им ( )($-з"-т, (агре[( —, =о (7.3.124) где через 5, ы, обозначена функция Ломмеля. Поэтому частное решение уравнения (7.3.!18) приближенно задается равенством р = Лз7з х (О) Т (Лиаз г)+)7( ) ~( ) . (7.3.125) д,(х) (х — р) ' Неоднородные задачи с точками возврата возникают при исследовании устойчивости пограничного слоя (Холстайн [1950!), при рассмотрении тонккх упругих тороидальных оболочек и изгиба кривых груб (см., например, Кларк [1964)). Вышеизложенная методика развита Гольштайном [1950), Кларком [1958], [19631 и Тумаркиным [1959).
Стил [1965) получил одно частное решение уравнения второго порядка, выраженное через общие функции Ломмеля 5и». 7.3.7. Неоднородная задача с простой точкой возвратя — высшие ирибдижеиия Чтобы найти полное асимптотическое представление решения уравнения — «+[Ле[(х)+ЛХ(х, Л)) у=Леб(х, Л), (7 3.127) в котором функция ((х) имеет простой нуль в точке х=р и Х(х, Л)= ~~Р ~Л и)(„(х), б(х, Л)= ~~Р ~Л-иб„(х) при Л оо, и о и=о Совершив обратное преобразование к переменным х и у, получим у= Лиге Р Т(Леев г) ~ — ( б(х) — Ре'е ~, (7 3.!26) М' (х) ) 0 П'~' Ж где 7.8.
Задави с павкой возврата применим сначала к этому уравнению преобразование к г=ч (х), —,гз~ =~ Рт(т)дт, р=оД'ч'. (7.3.128) а Тогда это уравнение приведется к виду й~ +[Л'~+Л»7(~, Л)] =Л'И(г, Л), (7.3,129) где »7(г(х), Л)=Р'(х)у(х, Л)+Л »Рз(х)Р" (х), д(г(х), Л) = Р'(х) б(х, Л)„Р(х) =- (7.3.!30) )» ч»' (х) Предположив, что справедливы разложения 4»(г Л) ~~~~ Л-пД (г)»1(г Л) ~~»' Л-п»7 (г) при Л, оо а=а ппз (7.3.
13 1) сосредоточим наше внимание на уравнении (7.3.129). Будем предполагать, что полное асимптотическое разложение частного решения задачи (7.3.129) и (7.3.131) имеет вид о=-С(г, Л)+Лайз А(г, Л)Т(5)+Лз~з В(г, Л) Т'($), 5 — -Лз»зг, (7.3.132) где Т($) определена в (7.3.124) как решение уравнения Т" + ЦТ =1, Т вЂ” при ! $ ) — оо.
(7,3.133) В силу равенств — =С'+ ЛМ' А'Т+ Л'~з (ЛА + В') Т'+ ЛВТп пп йг С +ЛВ ! Лз~з(А ЛгВ)Т +Лов(ЛА +В')Т' — „„=С" +2ЛВ'+Л'А+Лз!з(А" — Л' Аг — Л — 2ЛгВ ) Т+ + Лз ~в (2ЛА' — Л'гВ + Вп) Т' уравнение (7.3.129) принимает внд [(Л'г+ Лз)) С + С" + 2ЛВ' + Л'А — Лзф + + Лз»з [А" — Л — 2ЛгВ'+Лз)А] Т+Л тз [2ЛА' 1- + В" + Л»)В] Т' = О. (7.3.134) Для того чтобы соотношение (7.3.134) было тождеством, необхо- димо, чтобы коэффициенты в квадратных скобках обратились в нуль, т. е. чтобы были выполнены равенства (Лег+ Ь)) С+ ЛвА — Лвд+ 2ЛВ'+ С" =.- О, 2ЛгВ'+Л — А" — ЛдА =.О, 2ЛА'+ ЛдВ+ В" =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
