1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Подставив р, и д, в (7.1.64), получим Хе+1р(1+у)) +у(р,' — р')=О. (7.1.75) Следовательно, )-= — 1(1+7)р~(то, = )' -С(1 — у)*Р'+ур'. Р1 76) 1 . /'1 Тогда с помощью (7.1.70) получаем А = о е-лз"к, В =-=е-л-лл, (7.1.77) где г — '+а — то) (1 — т)+2д1 Л= —,' Ж! — В)аи. ЛЛ=Ц " „бВ. , ~(-" (7.1.78) Поэтому в первом приближении имеет место 6==1аехР ~ — Л+ЛЛ вЂ” 1(1+У) р+(ее~+ 1 1 Г 1 =~ — „( 2 1 +Ьехр ~ — Л вЂ” ЛЛ вЂ” — 1()+ у) р — !то~ ~.
(7.1.79) 2 В числе других авторов динамика снаряда исследована Фаулером и др. [19201, Фаулером и Локом [192Ц, Грином и Уивером [196Ц, Мерфи [1963[ и Коукли [19681. 7.1.8. Неоднородные задача с медленно меннющнмнсн аозффнцнентамн В этом пункте мы рассматриваел1 асимптотическое разложение общего решения уравнения „— е + р Я, е) ~+ д Я, е) д = г (8, е) е е ы ", (7. 1. 80) где Я=отЯ), 5=ах, (7.1.81) р = ,~, е"р ($) д = ~.', еяд (з) г == .~~ е"г (1) (7.1 82) «=О я=о п=е Следует различать два случая в зависимости от значений (ео и корней Хт и Х, уравнения ) +рз).+д,=0. (7.1.83) 344 Гв, Г.
Аоивиииотичинив рвиввнии винваиых уравнений где — = ХЯ). ае, (7.1.85) Уравнения для А н В совпадают с уравнениями (7.1.66) и (7.! .66). Для того чтобы найти С, примем в (7.1.80) у=Секр((гр) и, приравняв в обеих частях коэффициенты прн ехр(щ), получим ( — вол+(вор+у)С+е(2(а+у)С'+(еыС-(-а'С"=г. (7.1.86) Положив в (7.1.86) С = ~чв~ е'*с„($) (7.1.87) о=о н приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения для последовательного определения с„. Первый нз коэффипиентов задается равенством го (7.1.88) — ыо+норо+Чо (йо — Ло) (йо — Лв) ' Решения для А и В те же, что в п.
7.1.6. Поэтому в первом приближении будет иметь место равенство = - ~в,— ("вы -'-л) ~ вол+со +Ьехр ~6,— ~ ' " 'Р'+4'й81+ + о еио, (ио — ХД (по — ло) (7.1.89) где а и Ь вЂ” постоянные. Резонансный случай. Разложение (7.).89) нарушается, как только величина (го станет равной )ч либо Х, в одной или более точках, поскольку в таких точках последнйй член становится неограниченным.
Предположим, что (во равно д, в одной или более точках, в то же время (в~ь )., на рассматриваемом интервале, Асимптотические разложения, пригодные в этом случае, были получены Фаулером и др. 11920(, Фаулером и Лаком 1192Ц. Если в одной или более точках рассматриваемого интервала имеет место равенство ив=а, или й„то говорим о резонансном случае; в противном случае имеет место нерезонаисный случай. Сначала рассмотрим последний из случаев. Нерезонансный случай. В этом случае будем предполагать, что у=А($, е)еа +Вд> е)еэв+С($, е]ело, (7.1.84) 7.1.
Гвифференциавьнлн уравнения виареджо нарядна 345 В рассматриваемом случае частное решение имеет вид у т!(х, е)ево, (7.1.90) где (6 ($, е) — шф~+ Н ($, е). й1 (7.1.91) Полагая в (7.1.92) н (7.1.93) б = ~ е"6„($), Н = ~ е"Н„($) (7.1.94) л о л о и приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях е, получим уравнения для последовательного определения б„и Н„. Первые два члена определяются с помощью уравнений б;+р,б,+д,=о, (7.1.95) 26вбв+Ребв+Рдбв+в)в+бе=0, <7 ! 96) (бв+ Рв+ !во) Нв = ге.
<7.!.97) <6, + Р, + Ы) Н, + <6, + р,) Н, + Н; =,. <7.1.98) Из уравнения (7.1.98) видно, что бв=Л, либо Л,. Мы примем 6„=Л„потому что по предположению Л, становится равным но в одной или более точках. Из уравнения (7.1.96) получаем Р,а,+Ов+ О, (7.1.99) 2йв+~Ъ Решения уравнений (7.1.97) и (7.!.98) имеют вид Тогда общим решением уравнения (7.1.81) будет функция у=А($, е)оо+В($, е)ео*+т1(х, е)о'о, (7.1.101) где А н В определены в п.
7.1,6. Частное решение уравнения (7.1.80) можно получить с помощью следующей методики, отличной от методики, использованной в п. 7.1.6. Будем предполагать, что существует решение Подставив (7.1.90) и (7.1.9!) в (7.1.80) и приравняв в обеих частях коэффициенты при каждом из выражений т)ехр(йр) и ехр (!ву), получим бв+рб+д+еб' О, (7.1.92) (б+ р+ !во) Н+ еН' =г. (7.1.93) 346 Ге. 7. Астьишиотитеслие решения линейнал уравнений вида у,=ь(х, е), „— =Р($, е)ь. (7.1.102) Подставив (7.1.102) в однородную часть уравнения (7.1.80), получим ге+ рГ+ й+ еР' =О. (7.1.1ОЗ) Положив в (7.! !03) г = ~~'., е"г"„(Ц (7.1.104) а=о и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения для определения гл.
Первые два из этих уравнений имеют внд р;+р,у,+у,=о, (7.'1.105) 2р„+р„+р,Г„+ц,+у;=О. (7.1,!06) Так же как и уравнение (7.1.64), уравнение (7.1.105) имеет два корня Л, и Л,. Тогда уравнение (7.1.106) дает Рта +Чт+Лт (7.!.107) 9Ле+ Ро тц.э. Последовательные приближении Литвилли — Грина (ВКВ-приближении) Для получения высших приближений к решению уравнения и + (те (ех) у = О й р (7.1.109) при малых е Иман !19481 предложил использовать последовательные преобразования Лиувилля — Грина (ВКБ-преобразования). Итак, введем в рассмотрение преобразование е(хт =й(ех)г(Х, у, =[у(ест/ту(х), которое преобразует уравнение (7.!.109) к виду — """,'+й;у, =О, (7.1.111) олт (7.1.1 РО) Следовательно, — = „Лг — е ' ' т и +0(ет)~ ь (7 1.108) йл ! ' 2Лт+ре Интегрируя (7.1.108), замечаем, что у, имеет тот же вид, что н решение, полученное в п.
7.!.6. Предлагаемый метод разложения совпадает с тем, который определяется соотношением (7.1.38). 1.1. ДиффВРВНЧиОХЬНЫВ УРОВНВННЯ ВЯ2ОРОгв НОРЯдха З47 где Ь,'=1 —,—,',"— ",+,— '„~ — „"„')'. (7.1.112) Поскольку Ь меняется медленно при изменении х, то можно считать, что й1' ж 1. Тогда приближенное решение уравнения (7.1.111) имеет вид ув =- а соз х, + Ь з) п х„ (7.1.113) где а и Ь вЂ” постоянные. Следовательно, первым приближением к решению уравнения (7.1.109) является функция асов )Г йох+Ь 2!п ~ Ьох у= Ь1/2 , 2 . (7.1.114) Для нахождения второго приближения к у заметим, что уравнение (7.1.111) имеет вид (7,1.!09).
Тогда уточненное решение уравнения (7.1.111) можно получить, рассмотрев преобразования 1 Иоа З ИН21 Уравнение (7.1.111) при этом приведется к виду (7.1.117) ох! где 1 о'2Ь1 3 /21Ь 22 2Ь1~ йх1 4Ь1~, "х1 Поскольку 2!Ь,Фх1 =Ь '(2И,Мх) =0(а), то последние два члека в (7.1.118) малы по сравнению с 1, и, следовательно, первое приближение к у, имеет вид у, =а сов х, +Ь з)их,. (7.
1, 119) Поэтому второе приближение к у задается равенством у =-,, (а сов х, +Ь з!и х,), (7.1.120) Ь1/2 где х.=-1 ~1 — ~!ЪЬ+ 3. (В 1Ь2(х (7.1.121) Аналогичным образом могут быть получены высшие приближения введением новых преобразований вида 2!х„, = Ь„дх„, у„, = К'Х„у„. (7.1.122) з4в Ге. 7. Асалптотичесиие ролевая линейных уравнений 7.2.
Системы обыкновенных уравнений первого порядка В этом параграфе мы рассмотрим сначала асимптотнческие решения уравнений в окрестности бесконечно удаленной иррегулярной особой точки. Затем обсудим уравнения с малым или большим параметром. Наконец, опишем асимптотические разложения для уравнений с медленно меняющимися коэффициентами.
7.2.!. Рвзложсиия в окрестности иррегулярной особой точки Рассмотрим поведение системы и линейных уравнений , ~ = хе А (х) у (7.2.1) А(х)=ХА х" при х- оо. (7.2.2) я=о При 7= — 1 точка х=оо является регулярной особой точкой системы (7.2.1), при г7 ) — 1 — иррегулярной особой точкой. Поведение решения в окрестности иррегулярной особенности зависит от того, будут ли все собственные значения матрицы А, различными или нег. В этом пункте будем рассматривать случай различных собственных значений.
Скалярное уравнение вида (7.2.1) может быть решено явно, и решение его имеет вид (7 (х) хоеЕ где 6,— вообще говоря, комплексная постоянная, а Я (х) — по- липом относительно х вида 0 при д — 1, ~~.'„Я Хн и=! (7. 2А) и, далее, и(х)= Х и„х--. (7.2.5) в=о В случае системы уравнений асимптотическое решение опять-таки имеет вид (7.2.3), в котором величины сг, е,"г„и (/„являются постоянными матрицами. Томе [1863) назвал такое разложение нормальным решением. при х оо. Здесь г( †цел число, е( — 1, а матрица предста- вима в вида 7.2. Сиснммм обыкновенных уравнений первого порядка 349 Для отыскания асимптотическнх разложений решений системы (7.2.1) и (7.2.2) зададимся формальным решением вида у = н (х) хаел оо (7.2.6) где о — постоянная, а Л(х) имеет внд адтзхд+1 Хдхд Л(х)= + — +...
+). х, с+1 д причем Л 0 при лт,вО и, наконец, в п(х) = — ~~'., н„х " при х — оо. (7.2.7) (7.2.8) 7.2.2. Асимптотическое разбиение систем уравнений Сибуя 119581 развил методику упрощения системы уравнений (7.2.1) путем сведения ее к некоторым дифференциальным уравнениям специального вида, которые могут быть решены легче, чем исходная система. Суть этой методики в следующем. Положим у = Р (х) ч (х), (7.2.11) где Р— неособая матрица размером (пу4п), подлежащая определению, ч — вектор-столбец.
Уравнение (7.2.1), следовательно, преобразуется к виду Ь 8 ( х ) ох (?.2.12) где В(х) ~Р(х))-х ~А(х) Р(х) — х-д — „(х1, Здесь Л вЂ” скаляр, а у и и — векторы-столбцы. Подставив (7.2.6)— (7.2.8) в (7.2.1) и (7.2.2) и приравняв коэффициенты при равных степенях х, получим уравнения для последовательного определения л„, о н и„. Первое уравнение имеет внд (А,— ) д,Г) н„=О, (7.2.9) где 7 — единичная матрица. Для существования нетривиального решения системы (7.2.9) детерминант ее должен обратиться в нуль. Из этого условия получаем следующее алгебраическое уравнение л-го порядка: ! А,— ).4,1 ! = О. Если собственные значения матрицы А, различны, то уравнение (7.2.10) определяет л различных значений для ).д „которые соответствуют п линейно независимым решениям вида (7.2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
