1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 55
Текст из файла (страница 55)
рл. е. Аеимннюннетение ранение линейныл уравнений откуда получаем —— хе[А (х) Р(х) — Р(х) В(х)). (7.2.13) Суть методики состоит в отыскании такой матрицы Р(х), чтобы матрица В(х) имела каноническую жорданову форму. Положим с атой целью В= ~~~, В х при х ио, тл а Р== ~~~, Р„х " при х- ии.
(7.2.14) Здесь „— матрицы в канонической жордаиовой форме. Г1одставив (7.2.!4) в (7.2.13) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим А„Є— Р,В„= О, (7.2. Гй) т-1 А„Рт- — РтВ„= Д (Р,В„,— А Ре) — (т — д — !) Р (7.2.16) для еп 1, причем при ле — 7 — 1 <О имеем Р„,=О. Если матрица А, имеет различные собственные значенйя, то Р, можно выбрать таким образом, чтобы матрица В =Р,'А,Р„ (7.2.17) была диагональной.
Помножив уравнение (7.2.16) слева иа Ре', получим В,Ƅ— Ю„В, = В„+ Р„, (7.2.18) где (е'т= Ре 'Р, т-! Рт = — Р. 'АтРе+ Ре' Х (Ре Вт-е — Ат-еРе)— (7,2.19) — (т — е( — ) (еа„е,. (7.2.20) Обозначив через РД компоненты матрицы Р„, выберем матрицу В„ следующим образом: Ви = — Ри, ВЯ=О при !чь!. (7.2.21) Поскольку матрица В, имеет различные собственные значения, то из системы (7.2.13), (7.2.21) может быть найдена матрица )й„и, следовательно, матрица Р из системы (7.2.19). 7.2, Системы обыкновенны«уравнений первого порядка 351 ~В;* О~ Вв=~ е Ая~ о=~ Вес) Вв (7.2.22) причем матрица В," имеет собственные значения Ц (» = 1, 2,..., г), а матрица Вот — собственные значения Х~ (1 =с+1, г+2, ..., л), такие, что Х;чы)Р Проведем разбиение матриц йр„и Р„в соответствии с равенствами йгы йгы йрее е Рм ряе и где Я7" и Р" — матрицы размером (гас), а 1»'*е и Р'* — размером ((и — г)х(п — г)).
Выберем Ярон ы= Я7 = О, ВЯ = — РЯ, Вты = — Рыее. (7.2.24) Тогда уравнение (7.2.18) примет вид (7.2.25) Эти уравнения решаются единственным образом относительно й7ее н йуы, поскольку у матриц Вн и В," нет общих собственных значений. В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя х' —, + х — „+ (х' — п') у = О. — (7.2,26) йеу йу Полагая йу у н1~ не а« (7.2.27) приведем уравнение (7.2.26) к виду — „=А(х)н, йи 1 и =~ ~, А =~ п ~ ) .
(7.2.28) ~,и,~ ' — 1 1+- я «я « Следовательно, в рассматриваемом случае д = О, А„= О для еп>2 и 1 О ° 1 = О 1 ° А = О (72.28) В случае кратных собственных значений разбиение системы уравнений на более простые системы проводится по той же схеме. Предположим, что матрица А, имеет кратные собственные значения и что существует матрица Р„такая, что 352 Гя.
7, Аеиянинотинеские решения еинейньа уравнений 1 Рь = .. ° Рь' = 1; ° (7.2.30) получим Г1 О'т В,=Р,'А,Р, =~ .). (7.2.31) Тогда иа (7.2.20) получаем 1/ — ! 1~ Рь = — Р.'АьРь = — — ( ь ь ь= 2~ 1 1) (7.2.32) Из (7.2.21) и (7,2.25) получаем  — —, Ю, = — . (7.2.33) Поскольку (й', и В, известны, то из (7.2.20) следует 1 1е — 1 — 4п' 2 — 4п~~1 и 1,,— 2+ 4п' 1+ 4пь,г' (7.2.34) Следовательно, В.= — 'Ва'"') 0 1, (р.= — ' 82н 1 . (7.2.35) Подставив выражения для В„, В, и В, в (7.2.12), получим Имеем, следовательно, о, = — ехр 1ь(х+1 и +0(х-е)~, а Г .
1+4аь уя Ь г .. 1+4ль ч (7.2.36) и = = ехр ~ — ех — 1 — + 0 (х-ьЦ где а и б — постоянные. Имеем для матрицы Р Р = Р, + — Р, + 0(х ь) = Р, ~ 1+ — ((7, ) + О (х '), 1 / 1 Поскольку собственными значениями А, являются +1, то, положив 7.е. Сиепымы ойыхноеенних уравнений первого порядка ззз 4х Р =~, ~~; " +0(х-')= †1 4х (7.2.37) Следовательно, ~1 — ~( ц=Ру== . 1 ехр(гх+ ах )+ 1'х 1((в 4х ь 14-— .1 1-4пе + — 1 ехр ( — гх — 1 — ) + 0 (к-'ге). (7.2.38) гг х 4х Отметим, что матрица Р, не использована в (7.2.37) и (7.2.38), поскольку погрешность для т имеет порядок 0(х-"'). Для сравнения этих результатов с результатами, полученными в п. 7.1.2, разложим ехр(+-((14 4пе)18к] по степеням х-г. Поскольку для решения у а / 11 / .. 1+4лг1 у=и,= — 111 — ~ ехр ~(к+1 — )+ Ь / г 1 / ..1+4пет + — 1т1+ — ) ехр ~ — гх — 1 — ~+ 0 (х-гге), то ~ егх ) ~1 1 г ~ а-ех 1 0(х-гУе) а / .1 — 4лет; Ь l .1 — 4ле1 )гх ах г' х (7.2.39) что согласуется с (7.1.14) при п=О.
Высшие приближения могут быть получены непосредственным (и довольно утомительным) вычислением дальнейших значений В„и (Р„. Методика, использованная в п. 7.1.2, несравненно более проста в применении, чем методика, описанная в этом пункте. 7.2.3.
Субларыяхьные решения Если матрица А, из системы (7.2.1) имеет кратные собственные значения, то не удается разбить все уравнения на группы выбором диагональной матрицы В. Вместо этого мы проведем 354 Гл. 7. Аеиинтотичеение ранения линейных уравнений такое разбиение системы уравнений, чтобы получить более простые системы вида Ф вЂ” хе =хеВ'(х) че, Ве= ~ В' х, (7.2.40) пз= 0 где собственные значения Ле матрицы Ва отличны от собственных значений Л7 матрицы В~а при (~=1. Таким образом, величина В", соответствующая отдельному собственному значению Л„, является скалярам, и уравнение (7,2.40) может быть решено.
При у=О имеем Ф пи= аллд Е а" 1+ ~~~ е Х-е+2 е — ! 2 (7.2.41) которое имеет общее решение у= оси (Х-Ма — Х-274) +ЬЕ-' х (Х-а~а+ Х-а7а), (7.2.45) состоящее из двух субнормальных решений. Уравнение (7.2.42) эквивалентно системе ия /у~ -т- Ан, и=~ну~, их -Я.ь --.') В этом случае нормального решения не существуег, потому что матрица А О О имеет собственное значение Л=О кратности два. где а — постоянная, а се выражаются через В",' для г в2. Следовательно, существует нормальное решение, соответствующее этому собственному значению исходной системы (7.2.1). Для собственных значений кратности Л, матрица В' имеет ранг и,. Может оказаться, что приведенная система и, уравнений, а следовательно, и исходная система не имеют нормального решения, соответствующего этому собственному значению.
Однако она может иметь так называемое субнормальное решение вида (7.2.3)— (7.2.5), В КатОрОМ () И (7 раЗЛОжЕНЫ ПО СтЕПЕНяМ Х'/е, ГдЕ Г— целое число. Приведем в качестве примера уравнение х — +2 — ~ — + — ) у=О и'у иу / 1 йха йх ~ 4 1вх) (7.2.42) 7.2. Сиотыны ойынновенных уравнений варено народна 355 7.2А. Системы, содеунщщне параметр Рассмотрим систему п линейных уравнений е" Я А (х, е) у, (7.2.45) где е — малое положительное число, й — целое число, А(х„а)— матрица размером (и х и), допускающая асимптотическое разложение вида А(х, е)= ~ е"А (х) при а — О. (7.2.46) ы=о При й, отрицательном или равном нулю, у представляется аснмп- тотическим разложением Ю у(х, е) = ~~.'~ аыу„(х).
(7.2.47) При Ь > 0 асимптотические разложения решений системы (7.2.45) зависят от того, имеет ли матрица А,(х) различные иа всем рассматриваемом интервале собственные значения. Точка, в которой матрица А,(х) имеет кратные собственные значения, называется точкой возврата или перехода. Задачи с точкой возврата рассматриваются в з 7.3. Если собственные значения матрицы А, (х) различны, то асимптотическое представление п линейно независимых решений системы (7.2.45) имеет вид у = и (х, е) ех р ( ) Л (х, е) дх), (7.2.48) где Ь Л (х, е) = ~, з 'Л,(х), т=~ О п(х, е) = ~ е'н,(х).
=о (7.2.49) (7.2.50) )Ао(х) — Ло(х)1(=0. (7.2.51) Подставив (7.2.48) †(7.2.50) в (7.2.45) и (7,2.46) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим уравнения, из которых последовательно определяются Л, и и,. Существуют и линейно независимых решений вида (7.2.48) — (7.2.50), соответствукдцик и собственным значениям матрицы А (х), т.е. решениям уравнения Зае .
Гл. 7. Асимнтотиоеские рниенил линейнмл тоавнений 7.2.5. Однородные системы с медленно меняющимися иооффиннентнми В этом пункте будем рассматривать асимптотические решения системы Я=А (з, в)у, а =их, (7.2.52) где о А (с, в) = ~ в"'А„(з) при в — О. т=о (7.2.53) В этой задаче х †быстр, а 5 †медленн переменные. Как и в п. 7.2.2, предположим, что существует неособая матрица Р,($), такая, что 7 Вон а О Во(с) = Ро'(се) Ао(Р Ро(Ы вЂ” ~ О Вы (7 2 54) где матрица В„" имеет собственные значения Л;(7=1, 2,, г), а матРица В," — собственные значениЯ Лг(1 =г+1, г+2, ..., л), причем ЛО~Л . В этом случае исходную объединенную систему уравнений (7.2.52) можно свести к двум несвязанным системам порядков г и п — г.
С этой целью рассмотрим преобразование у(х, в)=Р(з, в) ч(х, в), (7.2.55) которое приводит систему (7.2.52) к аиду — "=В($, в) ч, (7.2.56) где матрица Р удовлетворяет уравнению А НР или в — = А (и, в) Р ($, в) — Р ($, в) В (и, в). (7.2.57) Будем искать асимптотические представления матриц Р и В вида АОРΠ— РоВо =О, АОР~ — РмВО = РоВ + Р„, (7.2.59) Р= ~~ вмР (з), В= ~", внВ„(з), (7.2,58) =о т=о где „— блочные диагональные матрицы. Подставив (7.2.58) в (7.2.57) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в, получим 7.2. Системы обыкновенных ираенений первого нарядна Зз7 где Рн=,У, (РеВв-г — Ат-гРг) — А„,Ре+ — "'. (7.2.60) г=! Выбирая матрицы В, и Р, в соответствии с (7.2,54), умножнм, как н в п.
7.2.2, второе из уравнений (7.2.59) слева на Р,' и, используя (7.2.19), получим В,(Є— (Р.В, = В„+ Р„, (7.2.61) где (7.2.62) Чтобы решить систему (7.2.61), рассмотрим разбиение матриц Г и (с'„ вида Рн= рег рее г 1( н= (рог (рге г (7.2.63) где Ргг н %'о — матрицы размером (гх г). Положив (7.2.64) где М н(ч, е)= Х еен,(Ц, г7а — = Х($).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
