1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если система задана своим гамнльтонианом, то метод преобразований Ли имеет то преимущество, что высшие приближения могут быть найдены рекуррентно. Однако метод многих масштабов в сочетании с преобразованиями Лн может быть применен непосредственно к гамнльтоннану. Упражнения 6.1. Определить равномерное разложение первого порядка для уравнения й+ыеи=е/(и, и) и получить затем частные случаи, соответствующие фунипиим /=й+(3из, (3и" +(1 — из] и и — (и(и.
В.2. Определить равномерные разложения второго порядка для уравнения й-1-(б+е соа 21) и=О при б, близком и О и 4. В.З. Определить равномерное разложение второго порядка для уравнения й-1-(В+в соаз 1) и=о. В.4. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения и+(б+е соа 21) и=а/(и, й) и получить частные случаи при /=(3и'. — (и ( й и (1-и') й.
В.б. Рассмотреть уравнение и+ма и=а(и" +(1 — иа) й)+ К соз еи'. Определить равномерное рааложеиие первого порядка для случаев (а) К = О (1) и значения ы далеки от ве, Зые и ме/3, (б) К=О(1) и ем Зма. (в) К = О (1) и м ги ыргз, (г) К = О (а) н ю ги ые. Гл. 6. Молод многих масиинибае 6.6. Рассмотреть сна!ему з а и+ веи = 2а — [(! — г) и)-1- 2К соа вг, д! та+ з= ит. Определить рааномерные разложения пераога порядка для случаев, перечисленных з упражнении 6.5. 6.7. Задача о старте спутника с малой тягой с круговой орбиты может быть приведена к акту и + и — а = — — (ог'+си), зса и' и(0)=1, и'(0)=0, а(0)=1. где штрих означает дифференцирование по О, а з, з и с — постоянные.
Показать, чта прн малом з нмеют и~сто рззлаженнз (Кайфа [1966)) а =1+Вас)-з 1п !+ О (е*), и = )т+ а ( ) ™ ~ с саа ( О+ — 1п ) ) +2з а!п ( О+ — 1п ) ) ~ + -[- с[-з (б [п 1 — 1) ~+О (зз), где!"=(1 — 4ззб)тгг. Является ли это разложение пригодным для всех 07 6.8. Рассмотрим задачу, определяемую саатношеннямн (б 4.105) н (6.4.106) прн постоянных ве, р, у, р! н уь (а) Определить раеномерное разложение первого порядка для случая К=О(1) и значений р, далеких от вт. (6) Показатгч по это разложение не- пригодно пря р О нлн 2в — вм н определять равномерные разложения пер. загс порядка, пригодные з этих случаях (Найфэ и Серик [19716)).
(а) Опреде- лить равномерное разложение первого порядка для случаев К4 О (е') н р = вь используя сначала метод многих масштабаз (Найфэ и Сарик (19716)) и затем метод усреднения (Клэр [1971)). Сравнить оба результата. 6.9. Используя метод многих масштабов (МММ), определить раанамериые рззложення второго порядка для задач (а) еу" Х у'+у=О, (б) ау" г у'=2х. (а) ау" ш (2х+1) у'=1 с граничными условиями у (0) =сс, у (1) = Р. ОЛО. Определить раанамерные разложения первого порндка аля залач (а) еу" — а (х) у' +Ь (х) у=О, и (х) > О,.
(б) зу" Х у' +уз = О, (а) зу" ~ уу' — у О, г] зу" ~ (2х-[-!) у'+у*=О, зу" т у'+у" =О, и — натуральное число, с граничными условиями у(О)=а, у(!)=р. Упражнения 8.11. Используя МММ, определить равномерное разложение первого по. рядка для задачи ау" +а(х) у'=1, у (О) = и„у ( Ц = [) при условии, что а(х) имеет простой корень е точке Р из интервала [О, Ц.
6.12. Используя МММ, определить равномерное разложение первого па. рядка для уравнения у" +де[! — ). [[х) у=О, где и — натуральное число, [(х) > 0 и Х))!. 6.13. Определить равномерные разложения первого порядка для уравнения (6.4.84), имеющие вид (а) и = А (гй сп [гЬ т (В)), [б) и =-А (в) Зп [т[, т (ч)[. 6.14. Рассмотреть уравнение й+ве(а!) и=еи'+К соз гр, в котором в=в(з!). Определить равномерные разложения первого порядка для случаев (а) К = О (!) и значения в далеки от ве, Зве и ве/3, (б) К 4 О (1) и ге Зве (в) К=-О[!) и ввве)З, (г) К=О(з) и в жв,. 6.16. Рассмотрим задачу, определяемую соотношениями (6.4. !06) — (6А.107) с переменными коэффициентами.
Определить равномерное разложение первого порядка для случая, когда К=О [1) и значения р далени от вг. Показать, что это разложение непригодно при р ж 0 или 2в,— ва. и определить равномерные разложения. пригодные в этих случаях (Найфэ и Серик [1972а[). 6.16. Решить упражнение ЗЛ4, используя МММ. 8.17. Определить равномерное разложение для малых амплитуд в системе х — у+2х+Зха+2уз = О, у+х+26у+ 4ху=О, полагая 6 ю!. 8Л8. Рассмотреть задачу ии — с'и„,— у'и=си', и (х, 0) =а соз йх.
иг (х. 0) = О. Определить равномерное разложение первого порядка при условии сЧэ — уз. 6.19. Рассмотреть уравнение ии — саи„„+ 7'и = си'. Используя МММ, определить разложения первого парадна для бегущих волн при условиях: (а) амплитуда и фаза меняются медленно при изменении састоя- Гл. 6.
Монад мне х масшщобоз ння и времени; (б) волновое число, частота, амплитуда н фаза меняются медленна с изменением состояния и времени. 6.20. Продольные колебания свободной однородной балки с нелинейной зависимостью между моментом н кривизной задаются уравнением гам+с'ш,„= — е (в' ),„, где с и в — постоянные. Используя МММ, определить равномерные разложения первого порядка при малом э для случаев, перечисленных в упражнении 6.19, 6.21.
Используя МММ, определить во втором порядке равномерные реше. ния в форме бегущей волны для задачи, описанной в упражнении 5.16, для случаев, указанных в упражнении 6.10. 6.22. Вновь рассмотреть модельное уравнение Брезертона фи+фх и+фас+Ч-Ч (Ч, Е. фх) теперь уже с нелинейной функцией / общего вида. Используя МММ. определить при малом в равномерно пригодные разложения для случая резонанса в и-й гармонике. Применить результаты в частных случаях, соответствующих: (а) ре. зонансу ва второй гармонике; (б) резонансу в третьей гармонике. 6.23. Используя МММ, дать формулировку задач, иэ которых определяются равномерные решения первого порядка в примерах (а) еи„„+иэ„+и„=О, [б) еи„„+и„„+а(х) и„=О, в) виэх+и +а(х, у)и„=О, ) в(и „+и )-)-а(х, у)и„+Ь(х, у)и=О, (д) зэувй+а(х, У) и„„-)-Ь(х, У) и„+с(х, У) иэ+б(х, У) и=О с граничными условиями и(х, 0)=Рг(х), и(х.
1)=г"з(х), и(0, у)=бт(у), и(1, у)=Ц(у). ГЛАВА 7 Асимптотические решения линейных уравнений В этой главе дадим описание новых методов, которые вместе с некоторыми методами, описанными в предыдущих главах, будут использованы для получения асимптотических решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Нас будут интересовать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Применяемый подход состоит в том, чтобы, использовав наличие болыпого или малого параметров, получить возмущения по параметру, или, использовав малые или большие значения координат, получить возмущения по координате. Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты; исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля — Грина (ВКБ) и его обобщений.
Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. Рассмотрение дифференциальных уравнений в частных производных ограничено случаем приведенного волнового уравнения с переменным показателем преломления. Вначале с помощью процедуры Бориа — Неймана строится разложение для случая, когда показатель преломления мало отличается от постоянной, и затем решение представляется диаграммами Фейнмана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
