1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 50
Текст из файла (страница 50)
н дх 2 дТ (6.4.157) пространственная и временная Подставив (6.4.156) в (6.4.!54) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, получим (.(р,)= — ( +д) —,+д — „, +р,=о, Д2 Д2,! Д4,р 1 (гр ),рза 1 2оз 'рз 2(г 4яз 'р" ! ДО ДТ, ДО ДХ2 Дзз ДХ, + ~ — — — ) — — 6(гз — —, / Дго Дь т Дгрз дй Д44рз (6.4. 159) ~ ДТ2 ДХ, ) ДО ДХ2 д0' Решение уравнения (6.4.158) должно иметь вид грз — — А (Хз Тз) его+ А (Х„Т,) е-го (6.4.160) Подставив выражение для гр, в (6.4.156), получим (.(гр ) Я (Х Т ) его ! Азезго + СС (6.4.161) где Я = 2(оз — + 2й(2(гз — 1) — + 1 — А+1(6)гз — 1) — А -+ ЗА 2А. ДТ2 ДХ2 ДТ2 дх, (6А 162) Для того чтобы вековые члены отсутствовали, должно выполняться условие 4',2 =О, Для упрощения этого условия заме- Б новых переменных О, К, н Т, производные примут вид Д2 Дз Дз —.
= озз — — 2еиз д12 Д02 ДОДТ, Дз Дз Д вЂ” = (гз — + 2е(г— Дзз д02 Д0 ДХ, — = ггз — + 4е)гз— Д24 Д04 Д02 ДХ, Д24 Д Дз — е — — +ез —, ДТ, Д0 ДТ', ' Де д д' +е — +е' —. ДХ Д0 дХ,' ' +Ое(гз — — +.... Дн д' ДХ2 Д02 6.4.
ОбобоСсоосаб осоосод тнм„что вв' = 2йо — й, (6.4. 163) где со' = йо/дй — групповая скорость. Дифференцирование (6.4.163) по переменной Х, дает дй,з дй о дй во~" — + в' — = (бйо — 1) — - . дХс дХс дЛс ' Если функция ь дважды непрерывно диффереицируема, то в и й удовлетворяют условию совместности дй дсо — + — =О дТс дХс или иначе дй, дй — +в' — =О. дс с дХс (6.4.165) Следовательно, да, дй,с дй и уравнение (6.4,164] может быть переписано в виде о — + (бй' — 1) 3)1- = сосо" 3х — . да о дй, дй (6.4.166) Полагая в (6.4.167) А =(1/2)аехр(ф) н разделяя действительную н мнимую части, получаем доо д — +3Х (в'а') О, Ф дт~ дх За (6.4.
168) Решение, полученное в этом пункте с помощью метода многих масштабов, является другим представлением решения, полученного в и. 5.8.! с помощью усреднения лагранжиана. В самом леле, уравнения, описывающие изменение амплитуды и волнового числа, имеют в точности тот же внд. Однако в п. 5.8.1 фаза отсутствовала, зато дисперсионное соотношение (5.8,9) зависело от амплитуды. В данном пункте днсперсионное соотношение ие зависит от амплитуды, но решение задает изменение фазы. Чтобы показать эквивалентность этих представлений, разложим вели- С помощью равенств (6.4.163) и (6.4.166) условие Я =О может быть упрощено и записано в виде 2 дТ +2со 3~+В ЗХ А А'А' (6'4'167 дА , дА дй З Гл. 6.
Метод хиагих масиаиадоо чину 8 из п. 5.8.1 в виде 8=8,— Ф. Имеют место соотношения.' й= — ' — а — =А — а —, р () дх дх о дх * (ОА.!70) в=ооо+а —. дР д1 " Подставив (6.4.170) в (5.8.9) и приравняв коэффициенты прп одинаковых степенях а, получим ооо = Аа — до+ 1, д17 . др зао +то д~ дх аооо ' Последнее уравнение совпадает с уравнением (6.4.169). аапэ. Нелинейное ураанение .Клейна — Гордона Последним примером, рассмотренным в этой главе, будет уравнение им — и„„+Р'(и) =О, (6.4.171) изученное в п. 5.8.3 с помощью метода Уизема усреднения лагранжиаиа. В нашем изложении мы следуем Люку 11966).
Предположим, что и допускает равномерно пригодное разложение вида и (х, 1) = и (О, Х, То) +аио (О„Хо 7",) + ° ° ., (6.5.172) где О, Х, и Т, определены в (6.4.157). Подставив (6.4.172) в (6.4 171), используя выражения для производных из предыдущего пункта н приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем (ыо — А') В+У'(по) =О, (6.4.173) дои (оо' — й') ~'+~'"(мо) оо.
=- двдХо дадТо дХо дв дто дэ ' Проинтегрировав однократно уравнение (6.4.173), придем к уравнению — (гоо — йо) ( — "~) +)г(и )=Е(Х„Т,). (6.4.175) 6.4. Обобщенный менад Решение этого уравнения имеет вид ие 6=)/ы' — /Р(, — т)(Х„Т,), (6.4.17Б) ,) (2 1Š— У($)1)ьм где Е(Х„Т,) и Ч(Х„Т,) — неизвестные функции, которые определяются йз анализа уравнения (6.4.174). Обратив равенство (Б.4.176), найдем по(0, Х„Т,) =/(6+т), Е, ео' — й'). (6.4.177) Предположим, что функция / периодична с постоянным перио- дом, который нормировкой может быть сведен к единице, т.
е. предположим, что у е:Р ис =1 Ф(2(Е У<)1) и— (6.4.178) ~ 2й — + 2оо — + — — + — — ) — е(0 = О, Ф д'ио д'ие д/е дие ды дие т дие дэдХ, дддт, дХ, дз дт, дв / де которое можно переписать в виде м ~еаза( в) е/61+ах ~й Ф( м)'М~ =О. (6.4.179) Взяв в качестве переменной интегрирования вместо 0 перемен- ную ио и подставив из (6.4.176) выражение для дио/дб, можем привести это условие к виду — ( ф)' 2 1Š— У(во)] е(по~+ е.дд (,, Э ЛТŠ— е~ я е,) О. (6.4.18о) Зто равенство дает одно соотношение между величинами ео, й и Е, которое является дисперсионным соотношением. Частное решение уравнения (6.4.174) содержит члены, из-за которых отношение и,/ио не ограничено при 0 — оо, еалн только правая часть (Б.4.174) не ортогональна решению сопряженного однородного уравнения.
Зто условие иногда называют условием разрешимости. Оно представляет собой обобщение условия исключения вековых членов, которое широко применялось в этой книге. Поскольку уравнение (6.4.174) является самосопряженным, то условие разрешимости означает, что его правая часть ортогональна решению однородного уравнения, которое, как легко показать, имеет вид и, ==да,/дб. Таким образом, требования условия разрешимости сводятся к равенству Гх. Б. Метод многих масштабов 324 Это равенство задает второе соотношение между го, А и Е.
Третьим соотношением является условие совместности (6.4.165). Результаты этого пункта согласуются с результатами, полученными в п. 5.8.3 с помощью вариациониого подхода. б.4ЛО. Пренмущестна н ограанчення обобщенного метода Этот метод применим, конечно, ко всем задачам, которые могут быть изучены с помощью метода разложения производной или процедуры разложения с двумя переменными. Кроме того, он применим также и в тех случаях, когда оба названных метода терпят неудачу. Это имеет место в задачах, требующих нелинейных масштабов (например, в случае осциллятора с медленно меняющимися коэффициентами).
или в задачах с резкими изменениями (например, в задаче о космическом корабле типа Земля — Луна). Однако данный метод требует сложных вычислений, и в задачах нелинейных колебаний с постоянными коэффициентами предпочтительными являкпся метод разложения производной и процедура разложения с двумя переменными. Для получения равномерно пригодных разложений в задачах, которые поддаются рассмотрению с помощью метода координатных преобразований, может быть использован метод многих масштабов.
Кроме того, этот метод может быть использован в тех случаях, когда метод координатных преобразований неприменим, как это имеет место в задачах с затуханием и резкими изменениями. В тех случаях, когда применим метод координатных преобразований, он может иметь преимущество, связанное с неявным заданием решения. Для гиперболических уравнений без дисперсии желательным является получить разложение в точных характеристиках.
Метод многих масштабов, однако, может быть рассмотрен как обобщение метода координатных преобразований, если масштабы задаются неявно в исходных переменных. Примеры, рассмотренные в втой главе, показали, что метод многих масштабов применим как к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода сращивания асимптотических разложений, таким, как задача о космическом корабле Земля †Лу, так и к задачам, которые не могут быть изучены с помощью последнего метода, таким, как задачи о нелинейных колебаниях. Метод многих масштабов дает одно равномерно пригодное разложение в отличие от метода сращивания асимптотических разложений, в котором рассматриваются два разложения, подлежащих сращиванию. Хотя и в методе многих масштабов обыкновенное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение в частных производных, получение первого приближения не представляет ббльших трудностей, чем решение первого внутреннего уравнения.
Однако трудными для Упразснеиил решения могут оказаться уравнения, определяющие различные масштабы (Махони [19621). Кроме того, данный метод еще не применялся к дифференциальным уравнениям в частных производных, для которых первый член разложения является нелинейным, как, например, в задаче о вязком обтекании тела, и к эллиптическим дифференциальным уравнениям в частных производных с неоднородными граничными возмущениями, таким, как в задаче об обтекании тонкого крыла. Метод многих масштабов применим к задачам, которые могут быть изучены с помощью метода усреднения, метода Крылова— Боголюбова — Мнтропольского и с помощью преобразований Лн, равно как к задачам, которые не поддаются изучению этими методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
