1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Чу и Мей [1970) изучали медленно меняющиеся волны Стокса. Мак Голдрик [1970) и Найфэ [1970Ь] рассматривали случай резонанса во второй гармонике при взаимодействии капиллярных и гравитационных волн, в то время как Найфэ [1970г!], [197!а) исследовал случай резонанса в третьей гармонике. В теории атмосферы Ньюэлл [1969) рассматривал резонансное взаимодействие пакетов волн Россби, Стоун [1969] †зада о бароклинных волнах. Шаббар [1971] исследовал механизм резонанса, поддерживающего волны Россби; Лнндзен [1971) изучал распространение экваториальных волн Танаи и Кельвина. В физике плазмы Болл [1964), Тауссиг [1969)и Там [1969), [1970] рассматривали распространение нелинейных волн в холодной плазме; Найфэ [1965с) и Дас [!971] исследовали нелинейные колебания в горячей электронной плазме.
Дейвидсон [1968) рассматривал нелинейные колебания в плазме Власова †Максвел. Г1ейре [1966) изучал волны в плазме, возникающие в ускорителе; Батлер и Гриббен [1968) рассматривали нелинейные волны в неоднородной плазме. Мароли и Поццоли [1969) изучали проникновение высокочастотных электромагнитных волн в слабо ионизированную плазму. Абрахам-Шраунер [1970а) [1970в] исследовал подавление ухода электронов в газе Лорентца. Чень и Левак [!970), Чень [!97Ц и Прасад [1971] изучали параметрическое возбуждение в плазме, в то время как Левак [1971) рассматривал взаимодействие электростатических волн в плазме. Добровольный и Роджистер [197Ц и Роджистер [197Ц рассматривали распространение гидромагнитных волн в плазме с большой конпентрацией электронов.
В теории гидродинамической устойчивости и устойчивости плазмы Фримен и Резерфорд [1964) развили кинетическую теорию для слабо неустойчивой плазмы; Олбрайт [1970) рассматривал стабилизацию поперечной неустойчивости плазмы. Келли [1967) исследовал устойчивость невязкого слоя со сдвигом. Бенни н Роскес [!969) рассматривали неустойчивость гравитационных волн. Киан [1969) и Найфэ [1969в) изучали неустойчивость Рэлея †Тейло; Ньюэлл и Уайтхед [1969) рассматривали после- критическую конвекцию Рэлея — Бонара.
Найфэ [1970с) исследо- 6.1. Олаеалие метода вал нелинейную устойчивость жидкой струи. Найфэ и Сарик [1971а1 изучали нелинейную неустойчивость Кельвина — Гельмгольца; Пюри (1971] исследовал влияние вязкости и наличия мембраны на колебания двух жидкостей, имеющих общую границу. Стюартсон и Стюарт [197Ц рассматривали нелинейную устойчивость плоского течения Пуазейля. Митчелл [197Ц применил эту методику для исследования неустойчивости горения. В механике жидкости Жермен [19671 и Лик [19701 дали обзор исследований, выполненных в последнее время по аэродинамике и нелинейному распространению волн в жидкостях с помощью методов сращивания асимптотических разложений, координатных преобразований и многих масштабов. Бенни [19651 исследовал картину течения, которая возникает, когда на стационарное вращение диска накладываются колебания с конечной амплитудой; Барснлон [19701 рассматривал линейную вязкую теорию установившихся течений вращающейся жидкости.
Рабберт и Ландал [19571 изучали задачу о трансзвуковом обтекании крыла. Пейре [1970~ рассматривал задачу об установившемся течении в канале проводящей сжимаемой жидкости. Чон и Сирович [197Ц изучали задачу газовой динамики для установившегося сверхзвукового течения с диссипацией. Чень, Кирш и Ли [197Ц рассматривали поведение сильной ударной волны, вызванной точечным взрывом и непрерывно продвигаемой наружу внутренней поверхностью контакта.
В общей физике Кои и Пейн [19671 использовали сочетание метода многих масштабов и метода сращивания асимптотических разложений для решения уравнения Фоккера — Планка, которое описывает реакцию самовозбуждающихся осцилляторов на случайные возбуждения. Браун [1967~ разработал стохастическую теорию диссоциации и рекомбинации двухатомных молекул. Рамнат [1970а1 получил приближение к модели Томаса — Ферми в атомной физике и рассмотрел класс нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в астрофизике [197Ц.
Мейер [197Ц исследовал рэлеевское рассеяние лазерного луча на тяжелом релятивистском атоме с двумя уровнями энергии; Нинхус [19701 изучал броуновское движение с вращательной степеньюсвободы. В статистической механике Маоли [1966) решал уравнение Больцмана, чтобы построить кинетическую теорию высокочастотного резонансного пробоя в газе; Калдирола, де Барбьери и Мароли [1966~ решали уравнение Больцмана для функции распределения электронов.
Де Барбьери и Маоли [19671 решали уравнение Лиувилля для исследования динамики слабо ионизированных газов; Голдберг и Сандрн 119671 н Раманатан и Сандри [19691 вывели системы иерархических уравнений. В оставшейся части этого параграфа мы опишем три разновидности метода многих масштабов и рассмотрим их применение Га. 6. Менад многих мамин!адов к простому линейному демпфируемому осциллятору, который описывается уравнением (6.!.1).
В следующих параграфах мы применим эти методики к различным задачам математической физики. В.!Л. Метод многих переменных (працедура раодоженнп пронзводноа) Подставив (6.1.16) и (6.1.17) в (6.1.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ео получим следующие уравнения для х„х, и х,: доха — +х„=О, 2 о 2 ~ о (6.1.29) дТо дТодТ! дТодТ! дт', дТодТо дТ, 16.1.30) — +х дох! дТо доха дх, — о+х, =- — 2 —— дТ1 дТо Общее решение уравнения (6.1.28) имеет вид хо.— — Ао(То, То) егто+ Ао(Т„То) е-от, (6 1 31) Сравнение соотношений (6.1.326) и (6.1.31) показывает, что величина ех, является малой поправой к х, только при условии, что еТ, =-е( мало.
Чтобы получить разложение, пригодное для больших времен порядка О(е '), следует потребовать обращения в нуль вековых членов То ехр (.-.Ь (Т,) в (6.1.326). Таким образом, (6.1.33) ! откуда Ао=ао(То) е-т . (6.1.34) где А, и А,— комплексно сопряженные величины. йуы получили, попросту говоря, решение (6.1.6), в котором величины а и гр не постоянны, а являются функциями масштабов медленного времени Т, и Т,. Подставляя х, из (6.1.31) в (6.1,29), получим о / дТ! У Общее решение уравнения (6.1.32а) имеет вид х, = А,(Т„Т„)егт + А, (Т„Т,) е-гг— (А + о ) Тое т, (А + —" ) Тое-'г„(6 1 32б) 6Л.
Оаиаааа аалада Тогда равенство (6.1.326) примет вид х,=А,(Т„Т,)е" +А,(Т„, То)е-'т. (6.1.35) Используя и (6.1.30) выражения для х, и хм получим — ', +х, = — Я (Т„Т,) е'т — Т~ (Т„Т,» е-'т (6 1 36)' дто где принято обозначение 0 ( Т„Т,) = 21 А, + 21 — „' — а,е - т + 21 д ' е- т . (6 1. 37) 1 о Слагаемые в правой части уравнения (6.1.36) порождают вековые члены, поскольку оно имеет частное решение вида х, = — !О (Т„То) Т,е'т — 10 (Т„Т,) Т,е-'т .
(6.1.38) Из-за наличия вековых членов величина е'х, сравнивается по порядку с ех, при больших 1 порядка 0(е"'). Чтобы исключить эти вековые члены, нужно потребовать обращения в нуль величины Я, т. е. — + А, = — 1~ — а + 21 — ) е- . (6. !.39) ° дао ~ т дтпл о 2 (о о дт ) Чтобы прийти к уравнению (6.!.39), вовсе не обязательно, вообще говори, находить решение для х,.
Достаточно только, изучив уравнение (6.1.36), исключить те слагаемые, которые порождают вековые члены. Общее решение уравнения (6.1.39) имеет вид А, = ~а, (Т,)+- Е ~ — а„+ 2( —,' ) Т, ~ е-т . (6.1.40) Подставляя это значение А, в (6.1.36), получим х, =1а, (Т,) + — 1~ — по+21 — '~Т1» е-т е'"о+СС, (6.!.41) 1 .I . даот где символом СС обозначено выражение, комплексно сопряженное к предыдущему выражению. Имеем, однако, хо — — (поеот +оое-'т|е-тч (6.
1.42) Поэтому, хотя при Т, — аа и выполнено х,— О, х1 - О, но нели- чина ех, при увеличении 1 до значений порядка 0(е-'» приобретает порядок 0(х,). Таким образом, разложение х,+ех, нарушается для значений 1 порядка 0 (е '), если только не обратился в нуль коэффициент при Т, в круглых скобках в (6.1.41), т. е. если только не выполнено — а, +21 — =О, да, дт, ° (6.1.43) а, =а„е-'тдт (6.1.44) где а„— постоянная.
Тогда равенство (6.1.40) принимает вид А,=а,(Т,)е-гь (6.1.45) Следовательно, К вЂ” Е (а Е~ (Го ГДМ+ а Е 1 (Гц Гд21 +е[а, (Т,)е'г +а, (ТДе"'г ))+0(е~. (6.1.46) Доведя разложение до третьего порядка, можно получить функпию а, (Т,) вида а, (Т,) = а„е-'г ~', (6. 1.47) гдс а„— постоянная. Предположив, что начальные условия за- даются равенствами х(0) =асозф и х(0)= — а(з(пф ) 1 — е'+ + е созф), и заменив Т„на е"1, получим х=ае "соз() — е'1+ф)+Я 1 2 (6. 1.48) где Я вЂ” остаточный член. Из (6.1.10) и (6.1А8) находим, что / 1 Р =аа-" ~ соз(() '1 — е'+ф) — соз(1 — е'1+ф)~ 2 = — 2ае-" з(п 1 — 1 )' 1 — е'+ 1 — — е*) 1+ ф~ м 12( 2 х з1п ~ — 1х) 1 — е' — 1+ — е') г ~2(, 2 ') = — 2ае-"з1п 1 — 1)/1 — е'+1 — е')1+ф~ Х ха п ~( — —,','+ ...)1~ =О(.1).
(6. 1.49) /д д д = — 2е ( — + е — + е' — +...) х. ' (,дтпл дтт дтя (6.1.50) Для линейных уравнений вида (6.1.1) можно вводить разные масштабы времени, не прибегая к разложению х. Так, используя (6.1.17), получим для уравнения (6.1.1) дн. Оииеииие метода — „+х-=О, дех дте д'х 2 дх дт,дт, = йТ„ (6.1.51) (6.1.52) дех , д'х дх дте ' дТ,дТ, дТ1 ' (6.1.53) Общее решение уравнения (6.1.51) имеет вид х=-А (Т„Т,)е'т +А (Т„Т,)е-'т. (6.
1.54) Подставляя его в (6.1.52), получим ( + А) ее~+( + А) е-~т, О (6.1.55) Поскольку уравнение (6.1.55) справедливо прн любом Т„ коэф- фипиенты при ехр ((То) и ехр ( — (Те) должны обратиться в нуль, т. е. должно быть выполнено дА -+А =О, Т, (6.1.56) откуда имеем А =п(Т ) е-т Подстановка (6.1.54) в (6.1.53) дает — 3 д'.4 дА дА 1 — „, -)-21 — +2 —., ) еете -СС =-О. дТ, дТе дТ, т' (6.1.57) (6.1.58) Таким образом, д'А дА .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
