1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 36
Текст из файла (страница 36)
78) (5.7. 79) то гамильтоннан К порождает вектор 9 согласно равенству д == — Ка (5.7.80) В этом случае алгоритм п. 5.7.3 сводится к скалярному виду (Кемел 11969а1) согласно соотношениям Кв = Нв ((') Р 7) а-! К„=Н +~~ (Со:г~;Нн !+Со-'Кьв 71 — — ", (5.7.81) 7=1 Хори (!966, 1967) и Депрн 119691 использовали соответственно ряды и преобразования Ли. Если положить 230 Гя.
д. Вариация произволения ноотоянныв и метод усреднения в которых приняты следующие обозначения: д/ дд/ д/ дВ/ 5'./— д0дР дРдо' /2/Вл дхл л л лера /-1 7(/„лл 5/К/ — Х СП(;К/ тл1 (5.7.82а) (5.7.82б) (5.7.82в) в которых введены обозначения 9!т л+~ ~л-е„ дБл /=! л — 1 рт = — ф+ч С,"-рь„п 1=1 1-1 Ч/,/=7.,9а! — Х С/:;Ь„9/ л!=1 /-1 =е /ра Х С/ етр ел=! (5.7.84а) (5.7.84б) До третьего порядка вышеприведенные алгоритмы будут задаваться следующими соотношениями: 7(;=И„ (5.7.85) (5.7. 86) (5.7.87) Ав=Нв+Е~Нв+2СрНе+2Е;Кв+Е;К! — (.; Н1 — ~ ', (5.7 88) /)/ь 1 лев! — й ) ( /)!и д5, дав /)!в! = — '+ 21.;/)"! + 5;Ц!ь — Е' /)а1, дР 1 (5.7.89) В результате преобразования, приведенного выше, старые переменные будут выражаться через новые согласно равенствам М /) — 4)+ вл е /)!л!(г) р (5.7.83) р=р+Х вЂ” рт'((1.
р, /), л=1 д.7. Усредлеиие с ислоеьэоваииаи рядов и лреодраеоеаиид Ли 23! — -- — +7.;р а> с~де ао с~де дп ' дп ° р(е~ е + Щр'е~+( 'р<о 7 ера> (5.7.90) Далее мы проиллюстрируем эту процедуру на примере качающейся пружины с гамильтонианом (5.5.57). Используя решение (5.5.67) — (5.5.70), приведем этот гамильтониан к инду Н=Н,+ТН,+..., (5.7.91) где Н, = — )е — [в!пе В,— 2сов' В,[в1п В„(5.7.92) Н,= — — — в!и' В, + —,, 'в!п" В, сов' Ве, (5.7.93) Все слагаемые в К, будут быстропериодическими, если только не выполнено условие ео,ж2ео,. Если же оно выполнено, то величина з(п [(ео, — 2ео,) с+еое[3; — 2еоеЩ будет иметь большой период (медленно меняющийся). Полагая, что быстропериодиче. ские члены исключаются с помощью Ве, придем к равенствам К, — ' )l "— ' в)п [(ео, — 2еое) т + сои; — 2еоеЯ, (5.7.95) ае ~/сь [сооВ[+ 3 еое (В, +2Ве)1 (5.7.96) з ~ е 2и ( ~о 2 (ео1+2ео ) Если считать, что в (5.7.87) быстропериодические члены исключаются с помощью Я„то получим К, = <Н,>+ <(.;Н,> + <А;К,>.
(5.7.97) и В,=еое (е+Й~). С помощью алгоритма, описанного соотношениями (5.7.85)— (5.7.87), перейдем от переменных а, 5 и гамильтониана Н соответственно к величинам а', [3' и К=К,+К,+ — К,+ ° ° . Поскольку Н, = О, то из (5.7.85) получаем, что К, * О, а из (5.7.82б),— что Ю5„!ЙН=ВЗ„/де. С учетом (5.7.92) соотношение (5.7.86) запишется в виде К, = — )~ — ~зшВ, + — юп(В,+2В;)+ + 2 вш [(ео, — 2еое) Г+ ео,[)е — 2еоеЩ ~ — аг'. (5.7.94) 232 Гя.
3. Вариация проихяояьных постоянных и иипод усреднения Усредненные величины в выражении для 1(, задаются равенствами ~ ЗКя дЗя)+~ дК, дВ( ( дК, дЗ(~ (дА'~для) ° а я (Н )= — — + — — +— ая Зсчая ая За~аз Зтя( ИЯ 2ИЯ й(Я (5.7.99) ) ° . 'е звя "( а~ зрячи вя 4(в,+2вя) ) 4ИЯ 4ИЯ вя+2вя 17ая 9ояао 32ИЯ 16ИЯ' (5.7.100) В соотношениях (5.7.99) и (5.7.100) использовано то обстоятель- стао, что в,-2со, (т.
е. й( ж4спи, как это следует из 'определе- ния в, и в,). Имеем, следовательно, (5.7.101) и, далее, (5.7.102) Чтобы исключить явную зависимость К от 1, совершим переход от переменных а' и 5' к переменным а' и ))' с помощью производящей функции о ° ~ (вс-2вя) 1+ р*~ + (). (5.7.103) Будем иметь К=К.+К,+~7(,+"- 1 / — — — ' зш ((~, — 2~,) (-(- ~,(); — 2~,Я— я 33ая 39а,ая 641(Я 32ИЯ ° дЗ' а,' =- —. -= а'„ д(ч дЗ* дРя и. 63' (вс — 2вя) ( и ~И = — = +Рв да! вя дЗ' ря= ° =' ()в дая (5.7.104) (5.7.105) (5.7.
106) (5.7.107) 3.8. Усреднение с иснсльэовониеи лаеронжианов и, далее, К' = К+ — = — з1п (еоД вЂ” 2ео,1;)— дх' Зае ег' а[ 21 1'2ь 33ае 39ее[ае+ еое — ~~е 34Ые ЗИ1 Вспоминая, что а„= — дК'(дР; и Ре=дК'!да;, можем записать (5.7.109) (5.7.110) И Зае 39ае сое — 2(ое 61 = —,— зш у+„д,е+ м 41 $' 2еа, 'о1 33~а; 1 33 ', зМ 2Е у 2Э "" У 32Ие + 32И* (5.7.111) (5.7. 112) где принято обозначение у=,ре — 2 ере. (5.7.113) 5.8. Усреднение с использоваиием лаграижиаиов Для использования канонических переменных нужно знать гамильтоииаи.
Старрок [19581, [19621, идя по другому пути, развил методику, в которой ие используются канонические перемеииые. Суть ее состоит в усреднении лаграижиаиа и выписываиии затем соответствующих уравнений Эйлера — Лаграижа. Уизэм [1965а), [1967а, 1967б, 19701 разработал подобную методику для изучения волн, в которых частота и волновое число, так же как и амплитуда, являются медленно меияюгцимися функциями пространственных координат и времени. Более, строгое обоснование этой методики предложил Бишоп [19691.
Эта методика ие столь изящна, как процедуры, использующие каиоиические переменные, однако оиа обладает тем преимуществом, что непосредственно приложима как к уравнениям в частных производиых, так и к обыкновенным диффереициальиьпл уравнениям. Каваками [19701, Каваками и Ягисита [197Ц для решения нелинейного уравнении Власова использовали канонические переменные в сочетании с гамильтоииаиами. Эта методика нашла приложение в разнообразных задачах распространения волн в жидкости и плазме. Лайтхилл [19651, [19671 применил теорию Уизэма к волнам умеренной амплитуды в глубокой воде; Карпмаи и Крушкаль [1969] испольэовали 234 /я. *. Щоиоиия ирои»вольных поило»нных и иииод усреднения теорию Уиээма для получения распада плоской волны на отдельные вочновые пакеты, Хау [1967] изучал установившееся течение в открытом канале вдоль твердой поверхности, имеющей форму конечного набора волн.
Брезертон [1968] рассмотрел линейное распространение волн в слабо меняющихся волноводах; Брезертон и Гарретт [1968] изучили медленно меняющиеся волны в неоднородных средах. Гарретт [1968], Дрейзин [1969], Рарити [1969] исследовали нелинейные внутренние гравитационные волны; Гаррет и Дрейзин определили соответственно эффекты сдвига и слабого атмосферного расслоения. Симмонс [1969] изучил взаимодействие капиллярных и гравитационных волн; Гримшоу [!970] рассмотрел уединенные волны в воде переменной глубины.
Краппер [1970] исследовал возникновение капиллярных волн под влиянием гравитационных. Доерти [1970], Галлоуэй и Крофорд [1970], Галлоуэй и Ким [1971] рассматривали нелинейные волны в плазме. Дьюар [1970] исследовал взаимодействие магнятогпдродинамических волн с неоднородной средой; Тан и Сивасубраманиан [1971] изучили нелинейную неустойчивость модулированных волн в магнитной плазме. Лоуэлл [1970] рассмотрел распространение волн в решетках с ангармопическим потенциалом. Дадим описание этой теории и ее применение к трем примерам. В.В.!.
Моиель яисиергируюисих волн В качестве первого примера рассмотрим решение в форме ряда волн для модельного уравнения Брезертона [1964] Фсс+ 'Р + сР» + сР = "Ф ° (5.8.1) Вместо нелинейного члена нФ" здесь записан член аФ". Если пренебречь нелинейным членом еФе, то уравнение (5.8.1) допускает решение в форме бегущей волны сР асозО, 0 =Ах — ос!, (5.8.2) в котором со и сс удовлетворяют дисперсионному соотнопсению (5.8.3) ! )едленно лсеняющееся решение в форме ряда волн будем искать с помощью вариационного подхода; запишем сначала лагранжиан, соответствующий уравнению (5.8.!) ! ь !» ! „! ! 2 Р' 2 Р"" 2 Р" оФ +4 (5.8.4) Нетрудно проверить, что уравнение (5.8.1) является уравнением 5)йлера — Лагранжа, соответствующим этому лагранжиану. Будем 5.В.
Усреднение с иснолиэовониси лигронжионов искать разложение вида <р=асозО+е,~~' А,созпб+0(е'), ньа где й=О„, со= — О,, (5.8.5) (5.8.6) а величины а, со, й и А; являются медленно меняющимися функ- циями от х и !. В предположении, что О дважды непрерывно дифференцируема, из (5.8.6) можно получить условие совмест- ности !гг+ со„=- О. (5.8.7) ср,=-асов!пО+а,созО+есо ~~.", пА„з!ппО+О(ев), гр„= — ай з(п О+а„сов 0 — ей "э„пА„з(п п0+ О (е'), ив в грн„= — айв соз 8 — 2а„й з(п Π— ей в,У', и'А„соз пО+ 0 (е').
Подставляя эти выражения в (5.8А), получим лагранжиан, не- явно зависящий от х и ! через функции О, а, со, й и А,. Члены, зависящие от О, в выражении этого лагранжиана периодичны по О с периодом 2п. При изменении О на интервале (О, 2п] остальные параметры претерпевают очень малое изменение.
По- этому с изменением х и ! изменение лагранжиана Р., обуслов- ленное зависимостью от О, происходит намного быстрее, чем изменение, обусловленное зависимостью от остальных парамет- ров. Как и в других разновидностях метода усреднения, вели- чину й следует усреднить по 0 на интервале от 0 до 2п, пред- полагая а, го, й и А; постоянными. С этой целью усредним сначала отдельно каждый член в й. Будем иметь ги ~рв = — <ргвс(0 = — ассов+ 0 (е'), 2п~ 2 — 1 ср~авьв+0(ев) гр' = — авйв+ 0(е'), 3 4+0(е) Поскольку в прямом разложении вековые члены впервые появляются среди членов порядка 0(е), то будем предполагать, что величины а„, а,, со„, иь, й„и й, имеют порядок 0(е). Таким образом, 2зб Гя.
д. Вариация нроиоьояьньи ноьвоянньи и нннод нянин Следовательно, — ! Зь Я=! =-(в' — и'+яь — 1)аь+ййа'+0(еь). (5.8.8) 4 Усредненный лагранжиан .У явно зависит от а и неявно— от О через посредство в и й. Запишем теперь уравнения Эйлера — Лагранжа, соответствующие переменным а и О. Уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее а, будет иметь вид дЯ/да=О; отсюда получаем дисперсионное соотношение в' = Аь — Аь+ 1+ — еа'+ 0 (е'). з, 4 (5.8.9) Отметим, что дисперсионное соотношение можно получить с помощью принципа гармонического баланса, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
