1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Точки, в которых значения 6 и Р равны, соответствуют обращению в нуль обеих производных и, и а",. Кривая типа б„которая пересекает обе ветви графика функции Р или одну ветвь в двух различных точках, соответствует периодическому движению для фаз и амплитуд и, следовательно, соответствует непериодическому движению. Решение для фаз и амплитуд может быть выражено в эллиптических функциях Якоби. Однако точки, <) В самом деде, иэ соотношений (5,5.61), (5.5.74), (5.5.60), (5.5.61) вытекает ограниченность одена координат к, 6.— Прим. ред.
Поскольку ВК)д( = О, то К вЂ” постоянная. Уравнения записываются в виде дК и, '— —.=2<о,Са,) а*,созу, дР<' а,= — — = — 2<о,Са, $' а< с<,зу, дР, * дК а 1 " <<а Р*= —.= — — — Са а, з1пу, 2<о 2 да< а р, =- — = — С)г а,'з(ну, дК (5.5.76) (5.5.77) (5.5.78) о.о. Методика 4юк Цайиеак в которых кривая 6, касается ветвей графика функции г", соответствуют периодическим движениям, при которых нелинейность настраивает частоты м, и со, на точный резонанс. Рис. 5.2. 5.6. Методика фон Цайпеля В $ 5.5 для определения первого приближения в гамильтоновых системах использовался метод вариации произвольных постоянных в сочетании с методом усреднения.
Фон Цайпель (19161 предложил методику для нахождения высших приближений. В этом параграфе дается ее описание и рассматривается ее применение к первым двум примерам предыдущего параграфа. Суть этой методики состоит в разложении производящей функции 8 в ряд по степеням малого параметра е, Я= ~~д ~еоЯ„, и в после- о=о довательном определении 5о как решений цепочки дифференциальных уравнений в частных производных. Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид Р Н (р, и, 1) = ~ е"Н„(р, с), 1), е ~1, где и — вектор обобщенных координат, а р — сопряженный вектор импульсов.
Пусть Яо=Яо(Р, и, 1) — полный интеграл уравнения 205 Гл. д. Вариация яроизеолонвп постоянных и иеп!ад усреднения Гамильтона — Я коби (5.6.2) н пусть Р=р(Р, О, г) и с)=!)(Р, О, 1) — решения уравнений доо ддо (5.6.3) дц! ' ' др;' и=! Следовательно, Р и О описываются уравнениями в вариациях Ч;~ еп ~И. (Р О,) дс! и=! и О=~ еп — '-(Р, О, Е).
(5.6.6) Для определения приближенного решения уравнений (5,6.5), (5.6.6) с точностью любого порядка введем в рассмотрение почти тождественное преобразование канонических переменных Р и О в канонические переменные Р и О' с помощью производящей функции (5.6.7) и=! Так что Р, = Р,"+ ~ еп — '" (Р', О, ~), и д~п и=! (5.6.8) г) Согласно общей формуле (5.5.!5Ь вЂ” Прим. Ред. Предположим, что векторы Р и О не постоянны, а меняются во времени, и выберем функцию 5 =5,(Р, с), с) в качестве производящей функции для перехода от канонических переменных р и с( к каноническим переменным Р и О.
Тогда гамильтониан Н преобразуется к виду') Й(Р, О, !) = ~ епН„(р(Р, О, !), «((Р, О, 1), !) + — о= п=о ~~~ епН (Р (Р О () с) (Р О !) г] 2= ! = ~ епй„(Р, О, г). (5.6.4) 207 д.д. Мек!адика фон к(айлекк а гамильтониан Й преобразуется к виду о Гк к=2. "к !!» о о=7. и, о «.К;"-), о+ о= ! =! и=! Ю + ~~~ в' д ". (5.6.9) о=! Для определения К„разложим при малом е правую часть в (5.6.9) и затем приравняем коэффициенты при равных степенях в в обеих частях. Получим уравнения *' ' )+д! ' К,=й,(Р, О, 1)+~,— "'ф(Р*,(), ()+ф, (5.6.11) о=! ! Ко =Е„+ —",,-, (5.6.
12) где го =г'„(Р', (1, 1) †известн функция от Н„ Й„ ..., Й„ и 5„5„..., 3„,. Функции 5, остались неопределенными и могут быть выбраны по нашему усмотрению. Поскольку в общем случае Г„содержит быстропериодическое слагаемое г'„и медленно меняю- и езся слагаемое Р'„, то можно положить (5.6.13) Таким образом, К„содержит только медленно меняющееся слагаемое, в то время как Б„содержит только быстропериодичес кое слагаемое. Функции Я„могут быть найдены последовательным решением цепочки дифференциальных уравнений в частных производных из (5.6.13). В основе рассматриваемой методики н обобщенного метода усреднения п.5.2.3 лежит одна и та же идея.
Стерн [1!9715) показал, что для гамильтоновых систем методики Крускала и фон Цайпеля эквивалентны. В обеих методиках вводятся почти тождественные преобразования старых зависимых переменных, которые содержат быстропериодические и медленные слагаемые, к новым зависимым переменным, которые содержат медленно меняющиеся слагаемые. Основное различие между двумя методиками состоит в том, что в методе фон Цайпеля преобразование должно быть каноническим, в то время как обобщенный метод усреднения не предполагает преобразование каноническим, а систему — гамильтоновой.
Моррисон (19665) показал, что вплоть до второго порядка процедура фон Цайпеля представляет собой 208 Гя. д. Вариация ироиооольнья нгмтояннмх и метод иореднония частный случай обобщенного метода усреднения. Джакалья [!9641 вывел разложение для произвольного порядка; Баррар [19701 исследовал сходимость в методике фон Цайпеля, Мьюзен [1965) показал, что с помощью операторов Фаа де Бруно [1657) уравнения, определяющие разложение, записываются в компактной форме.
Ниже выводятся разложения второго порядка для первых двух примеров, обсуждавшихся в предыдущем параграфе. 6.6Л. Уреввввве Двффввгв Чтобы найти приближенное решение уравнения (5.6.15), введем в рассмотрение почти тождественное преобразование переменных а и р к переменным а' и [Р', задаваемое с помощью производящей функции Я=а=р+ей,(а*, р, 1)+е'Йв(а', р, 1)+.... (5,6.16) Следовательно, + + д +'' дх, дЧв др др (5.6.17) а гамильтониан Й преобразуется к виду и еоК (ав р г) = —,з(ив гон(1+Я а*+а — +е' — '+... 1 е ' ' 1 ев ' в+ (5.6.18) Приравняв коэффициенты при равных степенях е в обеих частях, получим 7(1= в [ 6 — ~ соз2гои(1+~3)+ а соз4гоо(1+~)~+ — д, (5.6.19) ! 1 дз 2ав В.Ч дзв Ав = —, — ' з(п' го, (1 + р) 1 — '.
(5.6. 20) В качестве первого примера рассмотрим уравнение Дюффинга (5.5.23), которое ссютветствует гамильтониану (5.5.24). В п.5.5.1 было найдено, что решение задачи, соответствующей О„, задается соотношением (5.5.31). Следовательно, Й = — з(п' го, (г -1- р), (5.6.14) гво а= —— дй дй дР ' да (5.6.15) Положив К, равным медленному слагаемому в правой части (5.6.19), будем иметь За" К! 8 ° (5.6. 21) ас»6 Следовательно, (5.6.19) принимает вид д! + ' ~ 2 соз26»8(с+р)+ 3 соэ4»66(1+ !))] =О. (5.6.22) дб! а~ Г 1 1 а» Решением уравнения (5.6.22) является функция а*' Г 1 5! = — ! 31п 2ы, (Г+()) — — эсп 46»8 (1 + р)] .
(5623) 6 ~ Уравнение (5.6.20) при этом значении о, перепишется в виде К =- соз 26» (с+1!) 4 сов 46»»(с +1!) 31п ос» (с+!с)+ д сс"' ! 1 1,6 д$8 с»о (5.6.24) Приравняв К, медленному слагаемому в правой части этого уравнения, получим *с 8 646»»8. (5.6.25) Следовательно, будем иметь во нтором порядке За»с ! 7а"6 К=е — — в'— ас»» 646»» 6 8 (5.6.26) и, далее, дК а*= — — =О, или а'=сопэ1, * — дй» дд 3 а» 61 сс"' „"'= —,= — е — — е' —, да* 4 8 64 ' 8 (5.6. 27) откуда (5.6.26) /3 а» 61, а" с й,! ,,4 64,8»с» с где р» — постоянная. Поскольку о! найдено, то имеем а =- а'+ е — +... = дд! др а" Г 1 =а*+а —, ~соз26»,(1+р) — 4 соз46»,(1+р)]+0(е'), (5.6.29) 2с»8 (1'=Р+е — '„+... = =()+е —, )3!п 26»8(1+и) — 6 31п46»8(1 +и)1 +0(е').
(5.6.30) 6С»о 2!О Гл. д, вариация нроиаяольных нопнояннсля и люлод усреднения Разрешив уравнения (5.6.29), (5.6.30) относительно а и (), получим для них следующую зависимость от ссо н р*: со=- а*+ — ]соз2ао(1+ р*) — — сов 4а,(1+ ро)~ +0 (ея), (5.6.31) Р .. 6* — —, ~з(п2 о(1- ()') — — з)п4а,(1+()')~ +0(,'). (5.6.32) 2аьо Лля сравнения утих разложений с разложениями, полученными с помощью других методов, подставим сс и )1 вида (5.6.31) и (5,6.32) в равенство (5.6.31) и разложим его при малом е, предполагая а' и р' фиксированными.
Получим 1' 2а* / 3 а" Х ь) = ~1 — — 'ь —,) п( !+Ко)— В ао) 1' 2аоао — е яп 3(со!+ро)+0(е'), (5.6.33) !аа„ (5.6.34) сов (1+и ) Положин будем иметь (5.6.35) ао Следовательно, оз д — аяп(а!+ро) — — в —,яп (а(+бе)+0(е'), (о.6.36) соо где а=со, ~! 1 в —,— —,. в' —, ~ +0(ео). (5.6.37) з а' !3 , а' 1 з „25З Это разложение согласуется с разложением, полученным в 2 5.3 с помощью метода Страбла, и с разложением, полученным п и. 5.4.1 с помоьцью метода Крылова — Боголюбова — Митропольского.
5.6.2. Уравнение Матье Ниже будет построено разложение второго порядка для урагнення Матьй (5.5.35)„которое соответс гвуез гамильтониану (5,5.39). Решение, соответствуьощее О„может быть записано в виде (см. Б.д. Мьподиеа фон Цайпелл 21! п. 5.5.1) (1= — созв(!+р), р= — $' 2ссз!пв(!+р).
(5.6.38а) ]2 2а Следовательно, а н р являются каноническими переменными относительно гамильтониана ') Й = —, соз' в (! + 8) соз 2!. (5.6. 38б) Перейдя с помощью производящей функции (5.6.16) от переменных а и [) к переменным а' и ()', с учетом (5.6.!7) будем иметь 7( =еК2 тесК2+- = — '(а*+в — '+... )соэ'со([+6)соз2!+е — '+ в' ~ дй д1 + д! 2 дас (5.6.39) Приравняв в (5.6.39) коэффициенты при одинаковых степенях е, получим до2 ас 1 К, = — '+ —, ~ соз 2! + —, соз 2 )(в + 1) ! + соЯ+ + — сов 2 ~(со — 1) 1+ сф] ~, (5.6,40) К, =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
