1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 30
Текст из файла (страница 30)
омю Переменная ~р называется быстро врагцакицейсн фазой. Мы не будем интегрировать эти уравнения, как это сделали в преды- Поэтому в первом приближении имеем 3 о т и =.асозсо, ~1+ — е — ~ ! -~-0(е). (5.2.25) я я В качестве второго примера рассмотрим осциллятор Ван дер-Поля, в котором 1В4 Гл. д.
Вориоция произвольных постоянных и метод усреднения душем пункте, а определим почти тождественное преобразование (см. Боголюбов и Митропольский [195Ц, стр. 412) а=а+еа,(а, ср)+е'а,(а, <р)+..., ср = ср + еср, (а, ср) -! е'ср, (а, вр) +..., (5.2.3!) переменных а, ев к переменным а, ~, которое пернодично по ср с периодом 2и и приводит систему (5.2.30) к виду — = — еА,(а)+е"А,(а)+..., — = сов+ еВс (а) ир .2Ве (а) +..., дя' 2 где Ас и В, не зависят от ср.
В указанной процедуре а и вр вовсе ие обязаны быть скалярными функциями (Меттлер [1959); Сетна [19631; Моррисон [1966в)). Эффекты высших порядков были получены Волосовым [196Ц, [1962), Мыозеном [1965), Забрейко и Ледовской [19661. Крускал [1962) предложил преобразование, обратное к (5.2.31); основываясь на этой процедуре, Стерн [1970в1 разработал алгоритм последовательного получения высших приближений. Стерн [197!в1 использовал эту мегодику при изучении медленно меняющихся возмущенных систем.
Подставив (5.2.31), (5.2.32) в (5.2.30), разлагая по степеням е и приравнивая коэффициенты и ри одинаковых степенях е, получим уравнения вида вяь ="+ А „= Г„(а, ср), (5.2.33) и,-де+В„=-б„(а, ~), Тогда придем к уравнениям (5.2.35) дср которые последовательно разрешаются относительно ая и ср„. В качестве примера рассмотрим осциллятор Ван-дер-Поля, в которых правые части являются известными функциями членов более низкого порядка в (5.2.31) и (5.2.32). В общем случае величины Р„и б„содержат быстропериодические члены (обозначаемые верхним индексом з) и медленно меняющиеся члены (обозначаемые верхним индексом !).
Выберем А„и В„равными медленно меняющимся членам, т. е. положим А„=Р'„, В„= б'„и 8.2. Мннсд усреднения 188 в котором ) (и, и) = (1 — и') и, !в, = 1. В этом случае уравнения (5.2.30) приобретают вид да 1 — = — „е !а(4 — а') — 4а сов 2<р+а' сов4гр), др ! — ~ =1+ — е [2(2 — а') яп 2!р — а'яп 4ср).
д1= 8 (5.2.36) порядок е дн, !— 1— — !— ='+А = — а(4 — а') — — асов2!р+ — а'сов4ф, ~= 8 2 8 дгр, 1 — е . — !в ='+ В, = — (2 — а') яп 2ср — — а' в)п 4!р; де~ (5.2. 37) порядок е' =+А, = — =А,— В,+ дн дйу дйс дя~ дс де -1- — а, 14 — За' — 4сов2<р+За'сов4ср)+ + — а<р, 12 в!п 2ср — а' вид 4!р), (5.2.36) =+В,= — =.А,— В,— дЧЧЧ дЧ» сХрс д~р дс де !— — 4 аа, (2 яп 2ср + яп 4!р) + + — <р, [(2 — а') сов2ср — а'сов4ср). (5.2.39) Приравнивая А, н А, медленно меняющимся членам в правой части (5.2.37), получим А, = — „а(4 — а'), В,=О. (5.2.40) После этого система (5.2.37) примет вид !— з — -а сов2ср+ — а'сов4ср, 2 8 1 с — (2 — а')яп 2!р — — а'яп 4!р 4 8 (5.2.
41) Подставив(5.2.31), (5.2.32) в (5.2.36) н приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях е, получим для членов, имеющих 186 Гт д. Вориояая ироиооолонот ноотоннних и метод цороднения и имеет своим решением 1 — . — !в а = — — аз(п 2гр+ — а'з)п4!р 4 32 (5.2.42) 1 — ! !р = — — (2 — а') соз 2~р+ — а' соз4<р.
1 8 32 С учетом (5.2.40) и (5.2.42) уравнения (5.2.38) и (5.2.39) приобретают вид =+ А, = быстропериодические члены, ди, д|р ар, ! з-, (5.2.43) =+ В = — + — а' — а' +быстропернодические 8 16 266 члены. Приравнивая А„и В, медленно меняющимся членам в правых частях системы (5.2.43), получим з —, А,=О, В,= — 8 + — еа' — ~~~а'.
16 266 (5.2.44) Поэтому с точностью до второго порядка имеем (5.2.45) и =асоз ор, где а=а — — еа ! 81п2!р — поз!п4гр~ +0(е'), 4 8 ор = ц — — е ((2 — а')соз 2ор — — а'соз44рд! +0 (е'); 4 Й вЂ” = — еа (4 — ') + 0 ( '), д! 8 — =1 — е' ~! — — а'+ — а'~+0(е'). Г З вЂ” !! — 1 д! 8 ~ 2 32 Это решение находится в полном соответствии с решением, которое получено в п. 5.7.4 с помощью алгоритма Кемела.
Для канонических систем преобразование (5.2.31), (5.2,32) можно осуществить в более изящной форме, если применить процедуру фон Цайпеля ($ 5.5) или ряды и преобразования Ли (п.5.7.5). Последний способ представляет собой простой и эффективный алгоритм, основанный на рекурсивном применении нескольких элементарных операций, и является поэтому очень удобным для расчетов на ЭВМ.
С помощью преобразований Ли 8 5.7) был сформулирован эффективный рекурсивный алгоритм для неканонических систем. Вэ. Мещодика Страйеа |вт 5.3. Методика Страбла Страбл 11962) развил методику для рассмотрения слабо нелинейных колебательных систем, описываемых уравнением и+в',и=еГ(и, и, 1). (5.3.1) 0н выразил при малом е асимптотическое решение этого уравне- ния в виде и=асов(гэ,1 — 9)+ ~ е"и„(1)+0(еи+'), (5.3.2) е=! где а и Π— слабо меняющиеся функции времени. Если положить каждое и„= 9, то (5.3.2) примет вид того решения, которое Крылов н Боголюбов использовали для получения пе~>ваго приближения к и (см.
п.5.2.2). Мы не будем проводить выкладки для функции общего вида г, а зададимся лишь частным видом ее, соответствующим уравнению Дюффинга, Итак, рассмотрим уравнение и+в,'и = — — еи'. (5.3.3) Подставляя (5.3.2) в (5.3.3), получим аО НВ г йО 121 2аь, — + — — а ~ — ) ~ соз (ы | — 9) + О р дг. ~д!)~ ч йа й% Нч еО1 + ~ — 2в — +а — +2 — — ~ з)п(ь,1 — 9)+ О,и к~2 дг = — еа' соз" (оз,1 — 9) — Зе'и,а' соз' (оз,( — 9) + ° ° ° (5.3.4) Если, учитывая члены порядка до 0(е), приравняем коэффициенты при соз(в,à — 9) и з)п(со,1 — 9) в обеих частях уравнении (5.3.4), то получим следующие так называемые уравнения в вариациях: ДО ййа /йО~~ 3 2аы — + — — а~~ — ) = — еаа ° щ щ ~к) да ~РО иа йв — 2ы — +а — +2 — — =О.
ч щ Ю~ ю2Е ай (5.3.5) (5.3.6) После этого будем иметь следующее так называемое уравнение возмущения: ~Рй, 1 ~ 1 м,и,= — — а" созЗ(ь„( — 9). (5.З.У) 188 Гл. 5. Вариация проиппольныл пастпаянньл и мопед рсраунения В первом порядке по е уравнения (5.3.5), (5.3.6) сводятся к виду') йа ЛЕ 3 — = О, — = — еаь. (5.3.8) Следователыю, а = а„, О = — — еа,'(+ Ою (5.3.9) ад где а„О,— постоянные. Тогда решение уравнения (5.3.7) в первом порядке по е можно получить, считая а и О постоянными. Проделав это, получим и, = —,а'созЗ(оэ,| — О). (5.3.10) 32е, Следовательно, решение первого порядка имеет вид и = а соз (юьу — О)+ —, сап сов 3 (юь1 — О), (5.3.11) 1 32о4 где а и О задаются равенствами (5.3.9). При известном и, для второго слагаемого из правой части (5.3.4) имеем 3 — -Зе'и аьсоз'(ю | — 0)= — — е'аь(соз( | — 0)-1- 1 о о +2созЗ(таьу — 0)+соз5(соо| — 0)).
(5 3 12) Кроме того, для следующего шага нужно вычислить члены порядка О(е) в выражении (сРи,/с(|о)+мои„т. е. нужно рассмотреть слагаемое —,;„ап — „, соз 3 (ю,| — 0). ц лв (5.3.!3) ь Учитывая теперь члены порядка до 0(е'), получим уравнения в вариациях ае Ноа /ив по 3 3 2асо — -1- — а ~ — ) = — еа' — е'а' (5.3.14) ь ~й ать ~ <И ) 4 128юо аа ь(ьв йа аа — 2ю,—,+а —,, +2 —,— „, =О (5.3.15) и уравнение возмущения — „,'+ ю,'и, = —, а' 12 соз 3 (ы,| — О)+сов 5 (о>,| — 0))в 128 оп( 9 Ю вЂ” а' — сов 3 (ото| — О).
(5.3.16) ьбыье т) Точнее, уравнения (5.3.5), (5.3.8) будут удовлетворены с точностью до членов порядка е, если положить в ннк (5.3.8).— Прим. ред. 5.4. Меа!адика Крылова — Бегали!Бова — Матрополоокого 189 Отправляясь от (5.3.9), методом последовательных приближений можно получить следующие решения для (5.3.14) и (5.3. 15): 15 а = а„О = — „— еа!1 + — ", а'а11 + О, + 0 (е'), (5.3.
1?) где Зеа' 1Ве'а'Х =, (1+ — —, 1+0 ("). а!ой 256!оо,) (5.3. 291 Чтобы получить реп!ение третьего порядка, нужно вычислить члены порядка 0(ее) в оРи,й!1Р и члены порядка 0(в) в Рие:Ж' и затем составить уравнения в вариациях и уравнение возмущения. Эщ обстоятельство является главным ограничением в применении изложенной методики. Вторым ограничением является способ решения уравнения в вариациях †мет последовательных приближений. Систематический путь к рассмотрению подобных задач указывают методика Линдштедта — Пуанкаре (п.3.1.1), методика Крылова — Боголкбова — Митропольского (5 5.4), ряды и преобразования Ли (2 5.7) и метод многих масштабов, рассмотренный в гл.
6. 5.4. Методика Крылова — Боголюбова — Митропольского ') В ходе уточнения первого приближения к решению уравнения (5.2.11), рассмотренного в п.5.2.2, Крылов и Боголюбов [19471 развили методику определения решения в любом приближении. Боголюбов и Митропольский (196Ц углубили и обосновали эту методику, Митропольский 119651 распространил ее на случай нестационарных колебаний. Они рассматривали асимптотическое разложение вида л иг псов!Р+ ~ а"ил(а, ф+0(ем+'), (5.4.1) л=! !) См. примечание ни стр.
1ВО.— Прим. рад. в которых ао и О,— постоянные. Найдя из (5.3.9) г(О/!11, подставив в (5.3.16) и разрешив получающееся уравнение, получим с точностью до членов 0(е) и,= — — лннсозЗ(о!о1 — О)+ —,а'созб(!оо( — О). (5.3.18) 21 1 1 од'1!'>1 1О24о!1 Отсюда будем иметь для решения второго порядка еа' l 21е и=.асов(Ы вЂ” О,)+ —,~1 — — йа"-) созЗ(ы( — О,)+ ' З2оХе ~ З2о!1 + — ' соз 5 (Ы вЂ” О,) + 0 (в'), (5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
