1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Говорят, что имеет место внутренний резонанс, если шг ж 2эгз или ы, ж 2юб при Л = юг или ыэ говорят о резонансном возбуждении; случай Кг=ейп гзе Ьг=0(1), соответствует мягкому возбуждению и, наконец, случай К!=0 (1)— жесткому воабужцению. Используя метод усреднения, определить разгюжепня первого порядка для следующих случаев: (а) жесткое нершонансное возбгждение при отсутствии внутреннего резонанса; (б) жесткое нерезонансиое жвбуждение при внутреннем резонансе; (в) мягкое резонансное возбуждение при отсутствии внутреннего резонанса; (г) мягкое резонансное возбуждение при внутреннем резонансе.
6.16. Бегущие волны в холодной плазме описываиггся уравнениями ар Ь вЂ” + — (ри) =О, дг дх — +и — +Е=О, ди ди дг дх дЕ = — п)р (! — р). дх Пусть р=1+0(з), и=0(в) и Е=О(з). Используя метод усреднения, определать временнбе и пространственное изменение амплитуды и фазы монохроматической бегущей волны.
5.16. Рассмотрим задачу м!г — ~рая+ ~у =О. (а) Показать, что функция ~р=асозп, О=ах — ют является решением этого уравнения при условии, что ыэ=йз+!. (б) Показать, что вышеприведенное уравнение может быть записана в виде законов сохранения (Уизэм (1965)) д ( 1 3 г з 1 д — (ь — фг+Чх+р'1~+ — ( — 4 6г) =О, д1Л2 ! Ьх д д(1 э — ( — гЬщ)+ — ~ — рг+фх — ф")1 =0 д! дх~2 (в) Положим в уравнениях закона сохранения гр=а соя О, причем а=а(х, 1), Ь=о„и ы= — Ог. Предположим, что а, ю и Ь вЂ” слабо меняющиеся функции от г и 1. Осреднить эги уравнения по П на интервале от О до 2п, предполагая а, 244 Гл. б. Вариация произвольных яосшоянньгх и ллгпсд усреднения в и А постоянными, и получить соотношения дй , дй — +в' — =О. д1 дх дат д — + — (в'аз) О. д1 дх 5.17.
Рассмотрим уравнение игг с ихх+и (а) Выписать лагранжиан, состнетствующий атому уравнению. (б) Определить рааложение первого порядка для бегущих полн с постоянным волновым числом, но амплитудой и фазой, меняющимися вс времени и пространстве. 9.18. Зада са с нелинейных поперечных колебаниях однородной бачки со свободными концами и с нелинейной связью между моментом .и кривизной описывается лаграижнаиом 2РГд1 ) 2 (Лдз) 2 ~да) ~' где р, р и а — постоянные. Определить разложение первого порядка для бегущих полн со слабо меняющимися амплитудами и фазами: (а) используя варнапионный подход; (б) выписывая уравнения движения и применяя метод 6.!9.
Рассмотрим модельное уравнение Брезертсна (1964) т ГГ+ фхххх + 9 тх + т + Ч' (а) Показать, что в линейной задаче дисперсионное соотношение имеет вид ва =да — Аа+ 1. (б) Определить волновое числа, соответствующее резонансу в н-й гармонике. (в) Используя метод усреднения, определить разложение первого порядка в окрестности резонанса вс второй гармонике (амплитуды и фазы считать функциями от х и 1).
(г) Выписать соответствующий лагранжиан, затем, применяя вариационный подход, определить разложение первого порядка в окрестности резонанса ао второй гармонике. ГЛАВА 6 Метод многих масштабов 6.1. Описание метода Существуют трн разновидности метода многих масштабов. Мы дадим их описание на примере линейного демпфируемого осциллятора х+х = — 2ех. (6.1.1) Этот пример мы выбрали потому, что можно, во-первых, сравнить полученное приближенное решение с точным и, во-вторых ясней продемонстрировать различные варианты метода, не прибегая к алгебраическим выкладкам. Получим сначала прямое асимптотическое разложение для малого е. Пусть (6.1.
3) (6.1.4) (6.1.5) Следовательно, х = а соз (1 + ~р) — вам соз (1 -)- <р) (- + ~ е'а(г'соз(Х+ <Р)+1з)п(1+ ар)1+0(е'). (6.1.9) 1 х х,+ех,+е'х,+... (6.1,2) Подстановкой (6.1.2) в (6.1.1) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е получаем х,+х,=О, х, +х, — 2хз, х,+х,= — 2х,. Общее решение уравнения (6.1.3) имеет внд х, = а соз (1+ <р), (6. 1. 6) где а и <р — произвольные постоянные, Подставив х, в (6.1.4) и решив полученное уравнение, получим х, = — а8 соз (У + <р). (6.1.7) Подставив, далее, х, в (6.1.6) и решив зто уравнение относи- тельно х„ получим , =у ~' (1+ Ч)+ — а1 з1п (1+ Ч). (6.1.6) 1 ! Гл.
б. Маяод мнагих масштайе Очевидно, что (6.1.9) дает плохое приближение для х, если 1 имеет порядок а '. В этом случае второй (ех,) и третий (а'х,) члены уже не малы по сравнению соответственно с х, и ех, (х, и х, содержат вековые члены), как это предполагалось при выводе полученного разложения. Таким образом, прямое разложение перестает быть справедливым, когда ! достигает величины 0(е '). Как это обсуждалось в п. 2.1, трудность здесь заключается в том, что область определения бесконечна. В несостоятельности прямого разложения можно убедиться, рассмотрев точное решение уравнения (6.1.1), которое имеет вид х=ае "соз(р 1 — е' 1+ ~р).
(6.1.10) Равенство (6.1.9) может быть получено разложением решения (6.1.10) при малом е и фиксированном К Экспонента 'и косинус представляются в виде ехр ( — еГ) =- 1 — а(+ — еЧ'+ ! (6.1.1 1) соз()' ! — а'1+ср) = сов(1+ гр)+ — аЧ з!п(1+<р)+..., (6,1.12) Ясно, что ехр( — е1) можно аппроксимировать конечным числом членов только при условии, что И мало. В силу малости е это означает, что г--=0(1).
Если же ! имеет порядок е ', то ег уже не мало, и приближение с помощью усеченного ряда оказывается неудовлетворительным. Приведенный выше усеченный ряд дает хорошее приближение только до некоторого значения 1, после которого ехр ( — аг) отличается от усеченного ряда на величину, превышающую заданный предел точности. Добавлением новых членов к усеченному ряду значение г можно увеличить до некоторого нового значения 1', в пределах которого новый усеченный ряд будет давать удовлетворительное приближение.
Однако прн ! > г' разность между ехр( — И) и новым усеченным рядом вновь превосходит заданную точность. Для того чтобы разложение ехр ( — аг) оказалось удовлетворительным для всех значений 1, следует учесть в нем все члены. Таким образом, при построении разложения, справедливого для времен порядка е-', произведение ег следует рассматривать как одну переменную величину Т, =-0(1).
Тогда любое усеченное разложение ехр ( — И), справедливое для времен порядка а-', имеет вид ехр (--ег) =-ехр( — Т,). (6.1.13) Аналогично, усеченное разложение (6.1.12) является неудовлетворительным при 1 порядка 0(е '). Для получения усеченного асимптотнческого разложения соз !)Г1 — е'1+ ~р), справедливого при 1=0(е-'), комбинацию еЧ следует трактовать как 6.1.
Описание мапода одну переменную величину Т,=О(1). Тогда будем иметь соз1~ 1 — а'е+ф]=сов (1 — — Т,+ф — — а 1+...~ =* 1 1 = соф — -и. Т, + ф] + — ее( з!п ~( — Т, + ф1 +.... (6.1.14) Масштаб времени Т, соответствует более медленному времени, чем масштаб Т„а Т, соответствует более медленному времени, чем масштаб Т,. В общем случае время Тп медленнее Т„,. Итак, предположим, что х(е; е)=х(Т„, Т„..., Т; а) = м -! = с~ а"х (Т„Т„..., Тм)+0(еТм). (61.16) м=с Остаточный член в (6.1.16) записан в виде 0(еТм), чтобы напомнить читателю, что рассматриваемое разложение справедливо вплоть до времен порядка 0(а м), Желая сохранить равномерное приближение вне этого интервала времени, мы должны использовать другие масштабы времени. Из (6.1.16) и (6.1.16) можно видеть, что исходная задача с обыкновенным дифференциальным уравнением перешла в задачу с уравнением в частных производных.
Если же в исходной задаче рассматривалось уравнение в частных производных, то введение разных масштабов времени увеличит число независимых переменных. Применив правило дифференцирования сложной функции, получим, что дифференцирование по времени изменится в соответствии с ра- венством а д д д д1 дгс дт'~ дТе -= — + — +е' — + (6.1.17) Разложение (6.1.14) справедливо и при (=0(е-'), так как поправочный (второй) член имеет порядок 0(е') или меньший вплоть до времен порядка 0(е '). Однако при 1=0(е-') это разложение нарушается, ибо второй член уже не мал по сравнению с первым. Чтобы получить разложение, справедливое для времен порядка 0(е '), следует ввести еще одну переменную Т, =ее1 =-О(1).
В проведенных выше рассуждениях предполагалось, что х(г.„е) явно зависит от 1, ег, еег, ... и от а. Это можно усмотреть и из точного решения. Таким образом, для получения усеченного разложения, справедливого для времен порядка 0(е м), где М вЂ” целое положительное число, мы должны считать х зависящим от М+1 разных масштабов времени Т„Т„..., Тм, где Т =е"г. (6. 1.
16) Гл. 6. Мелод многих мааивабов Равенства (6.1.15) вместе с (6.1.17) определяют одну из разновидностей метода многих масштабов, а именно метод многих переменных. Эта методика развита в работах Старрока [1957), [1963[, Фримена [1963[, Найфэ [1965 в, г[, [1968[ и Сандри [!965[, [1967[. Из (6.1.16) и (6.1.17) видно, что при получении разложения с равномерным приближением вместе с зависимой переменной по степеням малого параметра разлагается и оператор дифференцирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
