Главная » Просмотр файлов » 1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef

1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 63

Файл №532781 1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений) 63 страница1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781) страница 632021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Теперь мы можем либо срастить это внутреннее разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики (Бюшал и Келлер [1960)), либо построить одно равномерно пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой возврата (см. 9 7.3). Следуя Кравцову [1964а), [1964Ь), Людвигу [1966[ и Заудереру [1970Ь[, будем искать асимптотическое разложение вида и ееоэ<о) ~[у(г й) У [йо~о<р (г)1 + й (г, л) У' [ло/о ер (г))~, (7 4 99) где О и ер определяются в процессе вычислений, а У(г) задается с помощью (7А.98).

Подставив (7.4.99) в (7.4.68), используя равенство У'"+гУ'+У=О и приравнивая нулю коэффициенты при У и У', получим л й'[(70~) + ер (Тор)' !) 2яоерЛТО. ТеР+й [270 7У+ев7оО+ +2ер7ер'Тй+ерл7'ер+л(Тор)')+ 7~у= 0, (7 4.100) л'й [(70)'+ ер (ТР)' — !1 — ААЛТО. Т~Р +- й [2РР. Тее+87о~>+ +2ТО.ТЛ+87оО)+Той=О. (7 4 10!) Коэффициенты при й' в (7.4.!00) и (7.4.101) обращаются в нуль при условиях (7О)'+ 7 (7<Р)' = 1, (7.4. 102) ТО Тор =О. Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них у(г, И) =йо(г)+й 'у, (г)+...

„ й(г н)=но(г)+[о ойдо (г)+ ° ° ° и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях й '. Урав- нения первого порядка имеют вид 270 7У,+Ло7'0+2 Р 7 Р Тйо+ Рй,7'Р+й,(7 Р)'=О, 27ер'Тйо+йо7 ор+ 270'Тйо+йо7 О 0 Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время иак уравнения (7.4.!04) эквивалентны уравнению переноса (7.4.7!). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть 1Ц с помощью метода многих масштабов.

Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при ер < 0 (теневая Гл. т. Аеинптееничеиние зеленин линейнне ураенений область), гиперболической при ер > 0 (освещенная область) и параболической при ч~ =0 (каустическая кривая или поверхность). Лля выпуклой и аналитической каустики системы (7.4.102) и (7.4.104) могут быть решены разложением величин 0 и ер в степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике. Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4. 70), умножим второе уравнение в (7.4.

102) на -+-2)/ер (мы рассматриваем освещенную область, в которой ер > 0) и результат сложим с первым из этих уравнений. Получим уравнение кспорое можно записать в виде (75)е =- 1, (7.4. 105) где Я 0 е ере/е 2 3 (7.4.108) Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на +-) ер, сложив результат с первым из этих уравнений и использовав равенство уй рер =-О, получим 2ЧЬЯ Уф~+ [РеЗ+ ~ — (р пе(Ьер)е~ фь=О, (7.4.107) где ф+ = хе ~ 1' ер" ° (7.4.

108) Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена ~ (1/2) ~р-пе (у~р)е, из-за которого коэффициент при Ф+ становится ограниченным в окрестности каустики. Заменив (е и )" их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента, придем к разложению геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая освещенной области, ~р > 0). Заменив У и (и их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента в случае ер ( О, получим некоторое разложение в теневой области, которое может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз и коэффициентов переноса.

Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом 1197ОЬ1 и Бабичем 119701, 1197!1. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером 11970а1. 7иа Водноене уравнения 407 Бабич [1966] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.

Заудерер [1964Ь], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [!968]. Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964Ь], Матковским [1966), Людвигом (1970а). Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка.

В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970а], [1970Ь]. Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968]. Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, каи, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [!967]).

Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964а], [!970а], Фок [1966], Ральф [1967] и Блайстайн [1967]. 7.4ДЬ Метод стааиснаання Для того чтобы применить эту методику к уравнению(7.4.3) с центрированной случайной функцией л'(г), преобразуем сначала его в интегральное уравнение и = Мл — ейеМХи. (7.4.

109) Здесь оператор М определен равенством Мл= [у(г,)Ое(г; г„) т(г„ (7.4. 110) где 6е — функция Грина свободного пространства. Фриш [1968] показал, что многие другие линейные уравнения математической физиии, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории турбулентности и уравнение Фоккера — Планка, могут быть сведены к интегральному уравнению вида (7.4.109). 408 Гл.

7. Аеимнеяоншчеекие решения ланейшях уравнений Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция и, а ее проекция Ри на некоторое подпространство исходного пространства, на котором определена функция и. Например, в задаче распространения волн в случайной среде можно считать Ри =-(и>, а в случае )у взаимодействующих частиц проекция Ри представляет собой функцию распределения скоростей для системы Ф частиц, полученную интегрированием и по всем пространственным координатам.

Введем обозначение Ри =- и„и; = — (1 — Р) и. (7.4.1 1 1) В задачах распрсстранения волн в случайных средах и, представляет собой кот«рентную составляющую поля (среднее значение), в то время как и; представляет собой некогерентную составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминированной функции д и центрированной случайной функции )( имеем Ри=д, РМ=МР, 17Р=0.

(7,4 119) Действуя оператором Р на (7.4,109) слева, получим и,=Мй — ейеМР7(Ри+ие) =Мй — вйвМРуии (7.4.113) Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором 1 — Р слева, получим ие = — ай еМ (1 — Р) 7 (и, + и;) = = — ей'М (1 — Р) уи,— й'М (1 — Р) уие, (7.4. 114) Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость и; от и;. ие = ~~.', 1 — ейеМ (1 — Р) ф" и,. (7.4.115) л=е Подставив это выражение для и; в (7.4.113), будем иметь О и, = Ми — ейвМРт ~ ( — вА'М (1 — Р) у1" и,.

и=! Поскольку и,= Ри„то это уравнение можно записать в виде и,=Мй+МЯи„ (7.4.11б) где Я = — ,)~ айвРу ( — айеМ (1 — Р) Д' Р. (7.4.117) я=! Для случайных операторов уравнение (7.4.1!6) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором Я— массовый оператор, Упражнения Фриш [19681 назвал зту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 6), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстро- периодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [196Ц, Зрнст и Примас [1963~, Татарский и Герценштейн [1963].

Цванциг [1964) применил ее для уравнения Лиувилля. Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.1!6), в котором использован один член выражения (7.4.1!7), т. е. задается равенством Я =пей Р)(М(! — Р) ур =-веРРуМуР. Следовательно, и, = Мл+ в'й'мРумхРи,. (7.4. 118) Зто уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962)). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962) и Кубо [19631. Уиралсиаими 7.1. Определить для больших значений х асимптотичсские разложения решений уравнений 1 2 1 (а) у -[1+ — х+ —,~ у=о, 1 2 Х (б) у" — 4хз+1+ — + — у=о х хз) (в) хзу" +ху'+(хз — нз) у=о, 1 21 (г) у" +(1+ — + —,~ у=в, (д) у" +ху'+у=о.

7.2. Определить для больших значений х аснмптотические разложения решений уравнений /! 2Х (а) у" ш ~ —,+ —,) у=о, х' ) (б) у" ( — +1) у=о. 25 з (в) у" +ху'+ — хзу=о, (г) у" +х-з(зу'+х-ау=о. 7.3. Рассмотреть уравнение у" — дзх-ау = О. 4!0 Гл. 7. Асаипиштичеение решения линейных уравнений (а) Показать, что точное решение имеет вид у=-их с Р(ж"", где тг,з=!/2 х )ГЛз+1/4. (б) Определить первое приближение ВКБ.

(в) Сравнить зто приближение с точным решением (/(жеффрис, [1962!). 7.4. Определить первое приближение для больших Л в задаче на собствепные значения и" +Лз/(х) и=б, /(х) > О, и (0) = и (1) = О. 7.6. Рассмотреть уравнение Ф и" + /(х)+ ~~~ енин !х) и=О. н=! Положить и=га(х) еч!"' з1, ш= ~ еншн(х), и=! где ш" +/(х) ш=О. Определить уравнение для <р и затем найти Шн (Брулл и Соулер (1966)). 7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения и + шз (е!) и = / (е(), где е — малый параметр, а ! — ограниченная непериодическая функция !. 7 7. Рассмотреть уравнение и+шз(в!) и=у сов йь в котором ~р=Л(е!).

Определить равномерные асимптотические разложения для случаев: (а) значения Л не близки к аи (б) при некотором ! = ! > 0 имеет место Л=со (Кеворкян (!97Ц). 7.6. Рассмотреть уравнение и — ! (шг (в!) + шз (е!)) й — м, (в() аз (в!) и = / (е!), где точки над буквой означают дифференцирование по 1, а е — малый параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям этого уравнения для случаев: (а) /(е!)=О; (б) /(е!) — ограниченная непериодическая функция г; (в) /(в!)=Йекр (Ар), причем ер=Л(в!) ш мб (г) функция /(в!) имеет тот же аид, что и в пункте (в), но при некотором (='!е имеет место Л ыг 7.9.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,32 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6372
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее