1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (532781), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Теперь мы можем либо срастить это внутреннее разложение с внешним разложением, полученным в предыдущем разделе, и с другим внешним разложением внутри каустики (Бюшал и Келлер [1960)), либо построить одно равномерно пригодное разложение по примеру разложений в задачах с точкой возврата (см. 9 7.3). Следуя Кравцову [1964а), [1964Ь), Людвигу [1966[ и Заудереру [1970Ь[, будем искать асимптотическое разложение вида и ееоэ<о) ~[у(г й) У [йо~о<р (г)1 + й (г, л) У' [ло/о ер (г))~, (7 4 99) где О и ер определяются в процессе вычислений, а У(г) задается с помощью (7А.98).
Подставив (7.4.99) в (7.4.68), используя равенство У'"+гУ'+У=О и приравнивая нулю коэффициенты при У и У', получим л й'[(70~) + ер (Тор)' !) 2яоерЛТО. ТеР+й [270 7У+ев7оО+ +2ер7ер'Тй+ерл7'ер+л(Тор)')+ 7~у= 0, (7 4.100) л'й [(70)'+ ер (ТР)' — !1 — ААЛТО. Т~Р +- й [2РР. Тее+87о~>+ +2ТО.ТЛ+87оО)+Той=О. (7 4 10!) Коэффициенты при й' в (7.4.!00) и (7.4.101) обращаются в нуль при условиях (7О)'+ 7 (7<Р)' = 1, (7.4. 102) ТО Тор =О. Чтобы решить получающиеся уравнения, положим в них у(г, И) =йо(г)+й 'у, (г)+...
„ й(г н)=но(г)+[о ойдо (г)+ ° ° ° и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях й '. Урав- нения первого порядка имеют вид 270 7У,+Ло7'0+2 Р 7 Р Тйо+ Рй,7'Р+й,(7 Р)'=О, 27ер'Тйо+йо7 ор+ 270'Тйо+йо7 О 0 Уравнения (7.4.102) эквивалентны уравнению эйконала (7.4.70), в то время иак уравнения (7.4.!04) эквивалентны уравнению переноса (7.4.7!). Аналогичные уравнения получил Фаукес [1968, часть 1Ц с помощью метода многих масштабов.
Система (7.4.102) представляет собой нелинейную систему уравнений, которая является эллиптической при ер < 0 (теневая Гл. т. Аеинптееничеиние зеленин линейнне ураенений область), гиперболической при ер > 0 (освещенная область) и параболической при ч~ =0 (каустическая кривая или поверхность). Лля выпуклой и аналитической каустики системы (7.4.102) и (7.4.104) могут быть решены разложением величин 0 и ер в степенные ряды в координатной системе, отнесенной к каустике. Для того чтобы увидеть связь между системой (7.4.102) и уравнением эйконала (7.4. 70), умножим второе уравнение в (7.4.
102) на -+-2)/ер (мы рассматриваем освещенную область, в которой ер > 0) и результат сложим с первым из этих уравнений. Получим уравнение кспорое можно записать в виде (75)е =- 1, (7.4. 105) где Я 0 е ере/е 2 3 (7.4.108) Аналогичным образом, умножив второе уравнение в (7.4.104) на +-) ер, сложив результат с первым из этих уравнений и использовав равенство уй рер =-О, получим 2ЧЬЯ Уф~+ [РеЗ+ ~ — (р пе(Ьер)е~ фь=О, (7.4.107) где ф+ = хе ~ 1' ер" ° (7.4.
108) Уравнение (7.4.107) отличается от уравнения переноса (7.4.71) только наличием члена ~ (1/2) ~р-пе (у~р)е, из-за которого коэффициент при Ф+ становится ограниченным в окрестности каустики. Заменив (е и )" их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента, придем к разложению геометрической оптики, полученному в предыдущем пункте (для случая освещенной области, ~р > 0). Заменив У и (и их асимптотическими разложениями для больших значений аргумента в случае ер ( О, получим некоторое разложение в теневой области, которое может быть интерпретировано с помощью комплексных лучей, фаз и коэффициентов переноса.
Обзор работ по равномерным асимптотическим разложениям в задачах распространения волн и дифракции был дан Людвигом 1197ОЬ1 и Бабичем 119701, 1197!1. Роль координатных систем в приведении разложений к равномерно пригодному виду была исследована Заудерером 11970а1. 7иа Водноене уравнения 407 Бабич [1966] получил единое равномерно пригодное разложение для задачи о точечном источнике, в то время как Авила и Келлер [1963] для нее получили сращивание трех разложений.
Заудерер [1964Ь], Буслаев [1964], Гримшоу [1966], Людвиг [1967], Льюис, Блайстайн и Людвиг [1967], в числе других авторов, рассматривали задачи дифракции на выпуклых телах. Дифракция на прозрачном теле была исследована Ральфом [!968]. Равномерные разложения в задаче дифракции вблизи вогнутой стороны некоторого тела (колебания типа шепчущей галереи) были получены, в числе других авторов, Кравцовым [1964Ь], Матковским [1966), Людвигом (1970а). Характеристические переходные области, в которых две каустики расположены близко друг к другу, аналогичны точкам возврата второго порядка.
В этих случаях в равномерные разложения входят функции Вебера или функции параболического цилиндра. Некоторые задачи указанного типа изучены Кравцовым [1965], Бабичем и Кравцовой [1967], Вайнштейном [1969] и Заудерером [1970а], [1970Ь]. Дифракцию на тонком экране (дифракцию Френеля) исследовали Вольф [1967], Керстен [1967], Алувалиа, Льюис и Боерсма [1968]. Области многократного перехода возникают при касательном пересечении двух или более каустик и границ тени, каи, например, вблизи границ каустик (Леви и Фельзен [1967]), угловых точек на каустиках (Людвиг [1966]) и точек дифракции гладких тел (Людвиг [!967]).
Задачи с переходными областями, в числе других авторов, исследовали Заудерер [1964а], [!970а], Фок [1966], Ральф [1967] и Блайстайн [1967]. 7.4ДЬ Метод стааиснаання Для того чтобы применить эту методику к уравнению(7.4.3) с центрированной случайной функцией л'(г), преобразуем сначала его в интегральное уравнение и = Мл — ейеМХи. (7.4.
109) Здесь оператор М определен равенством Мл= [у(г,)Ое(г; г„) т(г„ (7.4. 110) где 6е — функция Грина свободного пространства. Фриш [1968] показал, что многие другие линейные уравнения математической физиии, такие, как уравнение Лиувилля для системы взаимодействующих классических частиц, уравнение Хопфа в теории турбулентности и уравнение Фоккера — Планка, могут быть сведены к интегральному уравнению вида (7.4.109). 408 Гл.
7. Аеимнеяоншчеекие решения ланейшях уравнений Вообще говоря, для нас представляет интерес не сама функция и, а ее проекция Ри на некоторое подпространство исходного пространства, на котором определена функция и. Например, в задаче распространения волн в случайной среде можно считать Ри =-(и>, а в случае )у взаимодействующих частиц проекция Ри представляет собой функцию распределения скоростей для системы Ф частиц, полученную интегрированием и по всем пространственным координатам.
Введем обозначение Ри =- и„и; = — (1 — Р) и. (7.4.1 1 1) В задачах распрсстранения волн в случайных средах и, представляет собой кот«рентную составляющую поля (среднее значение), в то время как и; представляет собой некогерентную составляющую (флуктуирующую составляющую). Для детерминированной функции д и центрированной случайной функции )( имеем Ри=д, РМ=МР, 17Р=0.
(7,4 119) Действуя оператором Р на (7.4,109) слева, получим и,=Мй — ейеМР7(Ри+ие) =Мй — вйвМРуии (7.4.113) Действуя опять-таки на (7.4.109) оператором 1 — Р слева, получим ие = — ай еМ (1 — Р) 7 (и, + и;) = = — ей'М (1 — Р) уи,— й'М (1 — Р) уие, (7.4. 114) Применив для решения (7.4.114) формально метод последовательных приближений, получим следующую зависимость и; от и;. ие = ~~.', 1 — ейеМ (1 — Р) ф" и,. (7.4.115) л=е Подставив это выражение для и; в (7.4.113), будем иметь О и, = Ми — ейвМРт ~ ( — вА'М (1 — Р) у1" и,.
и=! Поскольку и,= Ри„то это уравнение можно записать в виде и,=Мй+МЯи„ (7.4.11б) где Я = — ,)~ айвРу ( — айеМ (1 — Р) Д' Р. (7.4.117) я=! Для случайных операторов уравнение (7.4.1!6) представляет собой в точности уравнение Дайсона (7.4.49), в котором Я— массовый оператор, Упражнения Фриш [19681 назвал зту методику методом сглаживания, поскольку она является как бы аналогом метода усреднения (гл. 6), в котором зависимые переменные состоят из медленных и быстро- периодических слагаемых. Для стохастических уравнений эту методику впервые ввели Примас [196Ц, Зрнст и Примас [1963~, Татарский и Герценштейн [1963].
Цванциг [1964) применил ее для уравнения Лиувилля. Сглаживание первого порядка задается соотношением (7.4.1!6), в котором использован один член выражения (7.4.1!7), т. е. задается равенством Я =пей Р)(М(! — Р) ур =-веРРуМуР. Следовательно, и, = Мл+ в'й'мРумхРи,. (7.4. 118) Зто уравнение совпадает с уравнением Буре (7.4.54) для линейных случайных сред и с уравнением Ландау для задачи Лиувилля (см., например, Пригожин [1962)). Для линейных случайных сред это первое приближение получили также Келлер [1962) и Кубо [19631. Уиралсиаими 7.1. Определить для больших значений х асимптотичсские разложения решений уравнений 1 2 1 (а) у -[1+ — х+ —,~ у=о, 1 2 Х (б) у" — 4хз+1+ — + — у=о х хз) (в) хзу" +ху'+(хз — нз) у=о, 1 21 (г) у" +(1+ — + —,~ у=в, (д) у" +ху'+у=о.
7.2. Определить для больших значений х аснмптотические разложения решений уравнений /! 2Х (а) у" ш ~ —,+ —,) у=о, х' ) (б) у" ( — +1) у=о. 25 з (в) у" +ху'+ — хзу=о, (г) у" +х-з(зу'+х-ау=о. 7.3. Рассмотреть уравнение у" — дзх-ау = О. 4!0 Гл. 7. Асаипиштичеение решения линейных уравнений (а) Показать, что точное решение имеет вид у=-их с Р(ж"", где тг,з=!/2 х )ГЛз+1/4. (б) Определить первое приближение ВКБ.
(в) Сравнить зто приближение с точным решением (/(жеффрис, [1962!). 7.4. Определить первое приближение для больших Л в задаче на собствепные значения и" +Лз/(х) и=б, /(х) > О, и (0) = и (1) = О. 7.6. Рассмотреть уравнение Ф и" + /(х)+ ~~~ енин !х) и=О. н=! Положить и=га(х) еч!"' з1, ш= ~ еншн(х), и=! где ш" +/(х) ш=О. Определить уравнение для <р и затем найти Шн (Брулл и Соулер (1966)). 7.6. Определить равномерное асимптотическое разложение для решения уравнения и + шз (е!) и = / (е(), где е — малый параметр, а ! — ограниченная непериодическая функция !. 7 7. Рассмотреть уравнение и+шз(в!) и=у сов йь в котором ~р=Л(е!).
Определить равномерные асимптотические разложения для случаев: (а) значения Л не близки к аи (б) при некотором ! = ! > 0 имеет место Л=со (Кеворкян (!97Ц). 7.6. Рассмотреть уравнение и — ! (шг (в!) + шз (е!)) й — м, (в() аз (в!) и = / (е!), где точки над буквой означают дифференцирование по 1, а е — малый параметр. Определить равномерные асимптотические приближения к решениям этого уравнения для случаев: (а) /(е!)=О; (б) /(е!) — ограниченная непериодическая функция г; (в) /(в!)=Йекр (Ар), причем ер=Л(в!) ш мб (г) функция /(в!) имеет тот же аид, что и в пункте (в), но при некотором (='!е имеет место Л ыг 7.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
