1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Преобразование Лиувилля вида w(z) = ez u(z) не меняет тип уравнения. Еслиодновременно сменить знак z, то отсюда получается преобразование Куммера:1 F1 (α; γ; z)= ez 1 F1 (γ − α; γ; −z).4. Если подобрать степенное преобразование Лиувилля w(z) = z σ u(z) так, чтобыуравнение оставалось вырожденным гипергеометрическим, то получается второе решение:w2 (z) = z 1−γ 1 F1 (α − γ + 1; 2 − γ; z).8811.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ11.3.ПримерыФункции Лежандра(1 − x2 )u′′ − 2xu′ − λu = 0(9.4) имеет три особые точки x = ±1, ∞. Для x = ±1 функции p(z), q(z) имеют полюсыпервого порядка, а при x = ∞ p(z) имеет нуль первого порядка, q(z) — нуль второгопорядка (рис. 11.1, c). Отсюда по теореме Фукса получаем, что все три особые точкирегулярные, поэтому уравнение Лежандра сведется к гипергеометрическому. Перевести точки в стандартные положения можно линейным преобразованием z = (x + 1)/2,тогда уравнение сведется к виду z(z − 1)u′′ + (2z − 1)u′ + λu = 0. Сравнивая с (11.1),находим, что α + β = 1, αβ = λ.
Отсюдаq следует, что α подчиняется квадратному1уравнению, корни которого α1,2 = 2 ± 14 − λ. Один из этих корней надо выбрать заα, другой — за β. Условие обрыва ряда из лекции 9. легко получается отсюда, еслиприравнять один из корней к целому неположительному числу −l, l = 0, 1, 2, . . . , чтодает прежний ответ: λ = −l(l + 1).Функции БесселяЗапишем уравнение Бесселя для произвольного индекса ν:x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − ν 2 )y = 0.При x = 0 функция p(x) имеет полюс первого порядка, а q(x) — второго порядка.При x = ∞ p имеет нуль первого порядка, а q вообще не имеет нуля: q(x) → 1при x → ∞.
Значит, уравнение имеет на бесконечности иррегулярную особую точку.Асимптотика вблизи нуля находится из определяющего уравнения. Если подставитьy = xρ , то получится ρ1,2 = ±ν. На бесконечности уравнение переходит в y ′′ + y = 0,решения которого y1,2 = exp(±ix). Исключая асимптотики с помощью подстановкиy = xν exp(ix)u(x), получается уравнениеxu′′ + [(2ν + 1) + 2ix] u′ + i(2ν + 1)u = 0.Это уравнение сводится к вырожденному гипергеометрическому заменой −2ix = z.Сравнивая с (11.4), находим параметры α = ν + 12 , γ = 2ν + 1 и само решение, выраженное через вырожденную геометрическую функцию:1ν ixJν (x) = Cx e 1 F1 ν + ; 2ν + 1; −2ix .2Отметим, что при γ = 2α вырожденная гипергеометрическая функция сводится кцилиндрической.11.3.
Примеры89Полиномы ЛагерраРассмотрим уравнение Шредингера для атома водорода в сферических координатах, где Ĥ = p̂2 /2 − 1/r (в атомных единицах с e = ~ = m = 1). В этом случае, какмы видели ранее, переменные разделяются: ψ = R(r)Ylm (θ, ϕ), где Ylm (θ, ϕ) - сферическая гармоника с орбитальным квантовым числом l и его проекцией m. Радиальнаяволновая функция R(r) подчиняется уравнению2 ′l(l + 1) 2′′2R + R −− + κ R = 0,(11.5)rr2rгде энергия E = −κ 2 /2.Это уравнение имеет две особые точки — регулярную и иррегулярную.
Покажем,что (11.5) сводится к вырожденному геометрическому уравнению (11.4). При r → 0уравнение имеет степенную асимптотику R = r ρ , ρ1 = l, ρ2 = −l − 1. Выбираем первыйкорень, чтобы решение не имело особенности. При больших r уравнение переходит вR′′ − κ 2 R = 0, из двух его решений оставляем убывающую экспоненту R = exp(−κr),чтобы избежать особенности на бесконечности. Действуя по стандартной схеме, заменяем неизвестную функцию R = r l e−κr u(r) и получаем:ru′′ + 2(l + 1 − κr)u′ − 2(κl − 1 + κ)u = 0.Отсюда видно, что это уравнение сводится к вырожденному гипергеометрическому спомощью замены z = 2κr, его решение дается функцией1u = 1 F1 l + 1 − ; 2l + 2; 2κr .κЧтобы ряд обрывался, первый параметр надо приравнять −nr , nr = 0, 1, 2, .
. . Отсюдаполучается формула Бальмера En = −1/2n2 , где n = nr + l + 1 называется главнымквантовым числом (nr — радиальное квантовое число).Вырожденное гипергеометрическое уравнение с целым отрицательным (или нулевым) параметром α = −n, n = 0, 1, . . .xy ′′ + (ν + 1 − x)y ′ + ny = 0(11.6)называется уравнением Лагерра. Его решения y = Lνn называются обобщенными полиномами Лагерра. При ν = 0 они превращаются в обычные полиномы Лагерра.Окончательно радиальные волновые функции записываются через полиномы Лагерра в видеRnl (r) = Cnl r l e−κr L2l+1(11.7)n−l−1 (2κr),где 0 6 l < n и Cnl — нормировочный множитель. Явное выражение для Cnl можнонайти, например, в [24].Примеры радиальных волновых функций (11.7) приведены на рис.
11.2.Упражнение 11.2 . При E = 0 найти решение уравнения (7.7) для атома водорода впараболических координатах.9011. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИRnl0.150.10.055101520r-0.05Рис. 11.2. Радиальные волновые функции водорода Rnl (r) при n = 3: сплошная линия — l = 0,пунктир — l = 1, точки — l = 2Функции параболического цилиндра. Полиномы ЭрмитаРассмотрим уравнение Шредингера для одномерного гармонического осцилляторас оператором Гамильтона Ĥ = p̂2 /2m + mω 2 x2 /2:ψ ′′ − x2 ψ = −k 2 ψ,k 2 = 2E, ~ = m = ω = 1.(11.8)В теории специальных функций это уравнение называют уравнением Вебера. Такиеуравнения возникают при разделении переменных в параболических цилиндрическихкоординатах, поэтому весь класс функций называется функциями параболическогоцилиндра. Уравнение Вебера имеет одну иррегулярную особую точку x = ∞.
Точкаx = 0 обыкновенная, характеристические показатели в обыкновенной точке σ = 0, 1.Оба показателя годятся, чтобы получить регулярное в нуле решение, поэтому будемих анализировать последовательно.Решение на бесконечности ищем в виде ψ = exp(µxσ ), это общий вид для иррегулярной особой точки. Подставляя в (11.8), получим:µ2 σ 2 x2σ−2 + µσ(σ − 1)xσ−2 − x2 = −k 2 .При x → ∞ правой частью можно пренебречь по сравнению с x2 , а вторым слагаемым — по сравнению с первым, когда σ > 0. Оставшееся равенство позволяет найтисразу и показатель σ = 2, и коэффициент µ = ± 21 .
Нас интересует корень со знакомминус, чтобы решение было регулярным при x → ∞.1◦ . Чётные решения. Замена ψ = exp(−x2 /2)u(x) сводит уравнение к видуu′′ − 2xu′ + (k 2 − 1)u = 0,который пока не похож на гипергеометрические уравнения. Однако поведение приx → ∞ подсказывает, что нужна еще одна замена независимой переменной – t = x2 .В результате1k2 − 1tü +− t u̇ +u = 0,2411.3. Примеры91ψn0.60.40.2-3-2-1123x-0.2-0.4-0.6Рис. 11.3. Волновые функции осциллятора ψn (x): толстая линия — n = 0, тонкая — n = 1, пунктир — n = 2, точки — n = 3где точкой обозначена производная по t. Это вырожденное гипергеометрическое уравнение, решение которого u = 1 F1 ((1 − k 2 )/4; 1/2; x2) представляет собой ряд, ведущийсебя при x → ∞ как exp(x2 ).
Даже с учетом множителя exp(−x2 /2) получится особенность на бесконечности. Ряд обрывается при дискретных значениях k, когда параметрα = −n равен нулю или целому отрицательному числу, kn2 = 4n + 1. Для энергии получается En = 2n + 21 .2◦ . Нечетные решения. Преобразование Лиувилля ψ = x exp(−x2 /2)u(x) после замены x2 = t дает вырожденное гипергеометрическое уравнение3k2 − 3− t u̇ +u = 0.tü +24Отсюда u = 1 F1 ((3 − k 2 )/4; 3/2; x2).
Чтобы обеспечить обрыв ряда, надо выбратьkn2 = 4n + 3 (En = 2n + 1 + 12 ). Многочлены 1 F1 (−n; 12 ; x2 ), x 1 F1 (−n; 32 ; x2 ) называютсяполиномами Эрмита. Принятая нормировка дается формулой РодригаHn (x) = (−1)n ex2dn −x2e .dxnВолновые функции одномерного гармонического осциллятора показаны на рис. 11.3.Номер функции соответствует количеству ее нулей.Дополнение: Свойства полиномов ЛагерраВыведем несколько свойств полиномов Лагерра (ν = 0), пользуясь методом Лапласа.
Метод Лапласа применительно к нашей задаче заключается в записи решениялинейного дифференциального уравнения (11.6) в виде контурного интегралаIdpy(x) = K(x, p)w(p),2πiγ9211. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИгде ядро K(x, p) = epx . Контур γ выбирается так, чтобы при интегрировании по частям внеинтегральные члены исчезали. В нашей задаче выберем замкнутый контур,обходящий полюс p = 0 в положительном направлении. Легко проверяется, чтоIIdpd pxdp px dwxy(x) =w(p) e = −e,dpdpγ 2πiγ 2πiт. е. вместо x в p-представлении надо писать −d/dp.Упражнение 11.3 . Покажите, что при преобразовании Лапласа d/dx переходит в оператор умножения p.Итак, чтобы получить лапласовский образ уравнения (11.6), надо заменитьd→ p,dxx→−d,dpсохраняя порядок операторов.В результате преобразования уравнение (11.6) приобретает вид−d 2dp w + pw + pw + nw = 0 ⇒ p(1 − p)w ′ + (n + 1 − p)w = 0,dpdpгде w(p) — образ функции y(x).
Возникшее уравнение — уравнение первого порядка,решение которого находится просто: w = (1 − p)n /pn+1 . Остается выполнить обратноепреобразование Лапласа:Indp px (1 − p)n1 dnpx (1 − p)y(x) =e=Rese=[(1 − p)n epx ]p=0 ,p=02πipn+1pn+1n! dpnгде интегрирование ведется по контуру, обходящему полюс p = 0 в положительномнаправлении.
Далее удобно обозначить q = px, а затем z = x − q:xn dn q n q (−1)n dn n x−z y(x) =1−e=z e .n! dq nxn! dz nq=0z=xВ новых обозначениях можно вынести exp x за оператор дифференцирования, затемобозначить z и x одной буквой и получить формулу Родрига. Обычно ее пишут безмножителя (−1)n :ex dnn −xxe.Ln (x) =n! dxnУпражнение 11.4 .
Выведите производящую функцию:∞Xhxn−1F (x, h) =h Ln (x) = (1 − h) exp −.1−hn=0Упражнение 11.5 . Покажите, что решение уравненияx2 y ′′ + axy ′ + (Ax2 + Bx + C)y = 0сведется к вырожденному гипергеометрическому при произвольных константах a, b,A, B, C.Лекция 12.Асимптотические методыВ предыдущих лекциях мы столкнулись с тем, что лишь для немногих дифференциальных уравнений удается получить ответ в формульном виде. Однако в приложениях часто нет необходимости в точных формулах, потому что в задаче присутствует малый или большой параметр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
