1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 11
Текст из файла (страница 11)
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ(1.13):(7.1)Ĥψ = Eψ,где оператор Гамильтонаp̂2e2−+ eEr.(7.2)2mrЗдесь m, e — масса электрона и абсолютная величина его заряда. (Далее будет использоваться атомная система единиц, в которой m, e и постоянная Планка равныединице: e = m = ~ = 1.)В уравнениях (7.1) и (7.2) перейдем к параболическим координатам ξ, η и ϕ, направив ось z вдоль постоянного поля E:Ĥ =x=pξη cos ϕ,y=pξη sin ϕ,z=ξ−η.2(7.3)Новая система координат является криволинейной ортогональной системой координат. Новые переменные меняются в пределах: 0 6 ξ, η < ∞, 0 6 ϕ < 2π.В плоскости (x, z), т.
е. при ϕ = 0, координатные линиипредставляют собой два семейства парабол ξ = const и1zη = const, повернутых вершинами вверх и вниз. Если вращать рисунок вокруг оси z, параболы перейдут в парабо0.5лоиды вращения — координатные поверхности ξ = const иη = const. Третье семейство поверхностей ϕ = const — это0полуплоскости, проходящие через ось z. Параболические координаты точки указывают, на пересечении каких трех по-0.5верхностей находится точка.Чтобы перейти в операторе Лапласа от декартовой к но-100.511.52вой ортогональной системе координат qi = qi (x, y, z), надоxвычислить коэффициенты Ламе:s 2 22∂x∂y∂zhi =++.∂qi∂qi∂qiОператор Лапласа, как известно, записывается через коэффициенты Ламе следующим образом:31X ∂h ∂△=,h i=1 ∂qi h2i ∂qiгде коэффициент преобразования объема обозначен h = h1 h2 h3 .
Для параболическихкоординат коэффициенты Ламе равны:ssp1 ξ+η1 ξ+η1hξ =, hη =, hϕ = ξη, h = (ξ + η).2ξ2η47.1. Полное разделение переменных57В результате уравнение Шредингера записывается в виде2△ + − 2Ez ψ = κ 2 ψ, κ 2 = −2E, E = |E|,r(7.4)где оператор Лапласа равен:4△=ξ+η∂ ∂∂ ∂ξ+η∂ξ ∂ξ ∂η ∂η+1 ∂2.ξη ∂ϕ2(7.5)В уравнении (7.4) вся зависимость от ϕ содержится в последнем слагаемом в (7.5)в виде второй производной по углу ϕ. Поэтому зависимость от ϕ сразу отделяется.Формально это соответствует отысканию решения в виде ψ(ξ, η, ϕ) = R(ξ, η)Φ(ϕ), гдедля Φ(ϕ) получается уравнениеΦ′′ + m2 Φ = 0 ⇒ Φ(ϕ) = eimϕ ,m = 0, ±1, ±2, . . . ,(7.6)здесь константа разделения m (магнитное квантовое число) принимает только целыезначения, чтобы решение было 2π-периодической функцией угла ϕ.Если теперь каждую декартову координату из (7.3) возвести в квадрат и все сложить, то найдется r = (ξ + η)/2.
Отсюда видно, что переменные в оставшемся уравнении для R(ξ, η) снова разделяются: R(ξ, η) = X(ξ)Y (η). В результате получаются дваоднотипных уравнения:(ξX ′ )′ m2 Eξ 2 κ 2 ξ−−−+ C1 = 0,X4ξ44(ηY ′ )′ m2 Eη 2 κ 2 η−+−+ C2 = 0,Y4η44(7.7)где C1 + C2 = 1. После заменыχ1χ2X = √ , ,Y = √ηξуравнения (7.7) сводятся к двум одномерным уравнениям Шредингера:C1 m2 − 1 Eξ κ 2d2 χ2C2 m2 − 1 Eη κ 2d2 χ1+−−−χ1 = 0,+−+−χ2 = 0.dξ 2ξ4ξ 242dη 2ξ4η 242Для каждого из этих уравнений величина κ 2 /4 имеет смысл энергии, а функцииU1 (ξ) = −C1 m2 − 1 Eξ+−,2ξ8ξ 28U2 (η) −C2 m2 − 1 Eη+−ξ4η 28представляют собой потенциальные энергии.
Важно, что вне зависимости от знака Eу этих уравнений нет локализованных решений, соответствующих связанным состоянием. Каждое состояние с κ 2 > 0 является квазистационарным за счет возможностиподбарьерного прохождения. При малых полях, много меньших атомного, время жизни такого состояния экспоненциально велико.587. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ100.250.1-0.100.05-0.050.10-105-510-0.1-5-0.2-10Рис. 7.1. Линии уровня параболических (слева) и эллиптических (справа) координатСледует отметить, что при E = 0 решение уравнений (7.7) выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию, которую мы изучим в лекции 11.
Здесьже нам достаточно показать, что при E =6 0 происходит полное разделение переменныхи задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.Таким образом, как видно из этого примера, переменные удается разделить тольков специальных симметричных случаях. В особенно симметричных системах переменные разделяются в нескольких системах координат. Так, в уравнении Шредингерадля невозмущенного атома водорода Ĥ = p̂2 /2 − 1/r можно разделить переменныев сферических или параболических координатах, а в задаче о пространственном осцилляторе Ĥ = p̂2 /2 + r 2 /2 переменные разделяются в декартовых, цилиндрическихи сферических координатах [31].Уравнение Гельмгольца△u + k 2 u = 0(7.8)при постоянном k еще более симметрично, поэтому допускает полное разделение переменных более чем в двух координатных системах. Приведем только таблицы таких систем, отсылая читателя за доказательством к монографии Миллера [38].
Таблицы 7.1и 7.2 содержат списки четырех координатных систем для двумерного и одиннадцатикоординатных систем для трехмерного пространства соответственно. Координатныелинии ξ =const, η =const в двумерных параболических и эллиптических координатахпоказаны на рис. 7.1.
Первые четыре координатные системы в трехмерном простран-7.2. Метод Фурье59Таблица 7.1. Системы координат, в которых разделяются переменные в двумерном уравненииГельмгольца№1234КоординатыДекартовыПолярныеПараболическиеЭллиптическиеПреобразованиеx, yx = r cos ϕ, y = r sin ϕx = 12 (ξ 2 − η 2 ), y = ξηx = d ch α cos β, y = d sh α sin βстве получаются из двумерных добавлением оси z.7.2.Метод ФурьеРазделение переменных для линейных уравнений второго порядка позволяет продвинуться намного дальше, чем в общем случае, а иногда также и решить задачу доконца. Для этого часто надо уметь решать спектральную задачу для эллиптическогооператора∂2∂L̂ = aij+ bk+ c,(7.9)∂xi ∂xj∂xkгде aij , bk , c — функции x = (x1 , .
. . , xn ), квадратичная форма Q = aij pi pj положительно определена. Требуется знать собственные функции ψn (x) и собственные значенияλn задачи в области D ⊂ Rn :L̂ψn = λn ψn(7.10)с однородными условиями на границе области S = ∂D:∂ψnα ψn + β= 0,∂n x∈S(7.11)где ∂/∂n означает производную по внутренней нормали к поверхности S.Следует сказать, что для (неоднородного) линейного эллиптического уравненияL̂u = g(x)(7.12)более общими являются неоднородные граничные условия на поверхности S:αu + β∂u= f (x).∂n(7.13)Обычно эти задачи подразделяют на три типа:α = 1, β = 0 I краевая задача (или задача Дирихле)α = 0, β = 1 II краевая задача (или задача Неймана)αβ 6= 0III краевая задача.Рассматриваются также краевые задачи, в которых граничная поверхность делитсяна части S = S1 ∪ · · · ∪ Sm , на каждой части ставится своя задача α = αk , β = βk , f =fk ; k = 1, .
. . , m. Такую постановку называют смешанной краевой задачей.607. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХТаблица 7.2. Cистемы координат, в которых разделяются переменные в трехмерном уравненииГельмгольца№12КоординатыДекартовыЦилиндрические3Параболического цилиндра4Эллиптического цилиндра5Сферические6Вытянутого сфероида7Сплюснутого сфероида8Параболические9Параболоидальные10 Эллипсоидальные11 КоническиеПреобразованиеx y zx = r cos ϕ y = r sin ϕ z =zx = 12 (ξ 2 − η 2 )y = ξηz=zx = d ch α cos βy = d sh α sin βz=zx = r sin θ cos ϕy = r sin θ sin ϕz = r cos θx = a sh η sin α cos ϕy = a sh η sin α sin ϕz = a ch η cos αx = a ch η sin α cos ϕy = a ch η sin α sin ϕz = a sh η cos αx = ξη cos ϕy = ξη sin ϕz = (ξ 2 − η 2 )/2x = 2c ch α cos βsh γy = 2c sh α sin βch γcz=s(ch 2α + cos 2β − ch 2γ)2(µ − a)(ν − a)(ρ − a)a(a − 1)r(µ − 1)(ν − 1)(ρ − 1)y=1−arµνρz=ra(bµ − 1)(bν − 1)x=r1−brb(µ − 1)(ν − 1)y=rb−1pz = r bµνx=7.2.
Метод Фурье61Пусть спектр для оператора L̂ (7.9) с граничным условием (7.11) отрицательный,т. е. все λn < 0, а система собственных функций полна3 . В этом случае можно найтирешение линейного гиперболического уравнения с начальными условиямиutt = L̂u,u(x, 0) = φ0 (x), ut (x, 0) = φ1 (x)(7.14)и с теми же однородными граничными условиями (7.11).
Продемонстрируем, как строится решение.Ищем решение в виде u(x, t) = T (t)ψ(x), тогда переменная t отделяется:T̈L̂ψ== −ω 2 ,Tψа константа разделения получается отрицательной в силу отрицательности собственных чисел оператора L̂. Решение обыкновенного уравнения дается формулой T (t) =A cos ωt + B sin ωt. Зная полную систему собственных функций, мы можем искатьрешение в виде разложения с коэффициентами, зависящими от t, и получить обыкновенные уравнения на коэффициенты, приравнивая выражения при одинаковых собственных функциях:Xu(x, t) =cn (t)ψn (x) ⇒ c¨n = λn cn .(7.15)nОбозначим λn = −ωn2 < 0, тогда cn (t) = An cos ωn t + Bn sin ωn t.
Теперь при t = 0получается разложение в обобщенный ряд Фурье заданных начальных условий:XXωn Bn ψn (x).An ψn (x), φ1 (x) =φ0 (x) =nnТеперь, пользуясь ортогональностью системы функций, мы можем найти все коэффициенты An , Bn и построить решение задачи Коши (7.14).Замечание 7.1 . Если надо решить не гиперболическое уравнение, а параболическое содним начальным условиемut = L̂u,u(x, 0) = φ(x),(7.16)то, разлагая по собственным функциям, получим обыкновенные уравнения первогопорядка:c˙n = λn cn ⇒ cn = An e−|λn |t .Тогда все коэффициенты An найдутся с помощью разложения начального условия:Xφ(x) =An ψn (x).n627.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХppiω 3iω 2iω 1λ3λ 2λ(a)1(b)-iω 1-iω 2-iω 3γγРис. 7.2. Контур γ в p-плоскости: a — для параболического уравнения, b — для гиперболическогоЗамечание 7.2 . Все формулы метода Фурье можно вывести также с помощью преобразования Лапласа по t. В частности, для параболического уравнения (7.16), проводяпреобразование ЛапласаZ∞u(x, t)e−pt dt,up (x) =0получимуравнение pup = L̂up + φ(x).PP Подставляя разложение образа решения up =cn ψn и начального условия φ =an ψn , найдем коэффициенты cn = an /(p − λn ),откудаIX anXdp eptup =ψn ⇒ u(x, t) =an ψn,p − λn2πip−λnnγгде контур γ для каждого конечного отрезка ряда замыкается полуокружностью большого радиуса R и охватывает полюсы подынтегрального выражения, которые лежатна левой действительной полуоси (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
