1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сопоставив с предыдущим решением для l = 0, сразунайдем выражение J1/2 через элементарные функции:r2J 1 (x) =sin x.(9.9)2πx9.3. Радиальное уравнение. Сферические функции Бесселя77jl10.80.60.40.22468x-0.2Рис. 9.3. Сферические функции Бесселя jl (x): толстая линия — l = 0, тонкая — l = 1, пунктир —l = 2, точки — l = 3.pЗдесь коэффициент 2/π определяется из нормировки функций Бесселя.Покажем теперь, что все функции Бесселя с полуцелым индексом l + 1/2 выражаются через тригонометрические функции и степени x. Для этого воспользуемсярекуррентными соотношениями (8.6) и (8.7). Вычитая эти соотношения друг из друга, находим:dx−ν Jν .Jν+1 = −xνdxОтсюда получается общая формула для функций Бесселя с полуцелым индексом:21 d1/2 d −1/25/2J 3 = −xxJ1 , J5 = xx−1/2 J 1 , .
. .2222dxx dxrl2 l+1/2 1 dsin xx.Jl+ 1 = (−1)l2πx dxxИногда вводят сферические функции Бесселя, определенные с более удобной для данной задачи нормировкой. Для них формула становится короче:rlπ1 dsin xljl =Jl+ 1 , jl = x −.22xx dxxГрафики этих функций показаны на рис. 9.3.Лекция 10.Аналитическая теориядифференциальных уравненийРазделяя переменные в уравнениях Гельмгольца и Шредингера в цилиндрическихи сферических координатах, мы столкнулись с функциями Бесселя и Лежандра. Исторически так и были открыты когда-то цилиндрические, сферические, сфероидальныефункции, функции параболического цилиндра и т.
п. Нам, однако, понадобится и более поздний подход, основанный на классификации специальных функций и их связис гипергеометрической функцией. Гипергеометрическая функция имеет целый рядзамечательных свойств, в частности, интегральные представления, рекуррентные соотношения, производящие функции и т.
д. [1,9,10,43,60,62]. Функции, более сложные,чем гипергеометрическая, гораздо менее поддаются исследованию. Для них, например, нет даже интегральных представлений.Цилиндрические и сферические функции появились в нашем курсе как решенияобыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с полиномиальнымикоэффициентами.
В данной лекции мы рассмотрим основные положения математической теории дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами,исследуя решение этих уравнений в комплексной плоскости. Наша цель — по видууравнения определить, сводится ли оно к гипергеометрическому.10.1.Канонический видОднородное линейное уравнение второго порядка в комплексной плоскости с полиномиальными коэффициентами a(z), b(z), c(z)a(z)w ′′ + b(z)w ′ + c(z)w = 0путем деления на a(z) сводится к видуw ′′ + p(z)w ′ + q(z)w = 0,78(10.1)10.2. Разложение вблизи обыкновенной точки79где p(z) и q(z) — рациональные функции. Это уравнение может быть преобразовано,если решение искать в виде произведения известной функции φ на новую неизвестнуюфункцию u(z), w(z) = φ(z)u(z).
Такой переход называют преобразованием Лиувилля,если уравнение на новую функцию u(z) снова имеет рациональные коэффициенты: ′ ′′φφφ′′′′u + 2 +p u ++ p + q u = 0.φφφОсобо выделяют такое преобразование, которое обращает в нуль коэффициентR припервой производной. Как легко заметить, для этого надо взять φ = exp(− 12 p dz).Вид получившегося уравненияu′′ + I(z)u = 0,I(z) = q −p2 p′−42называется каноническим, а функция I(z) — инвариантом.10.2.Разложение вблизи обыкновенной точкиОпределение 10.1 . Точка z = z0 называется обыкновенной точкой уравнения (10.1),если в ее окрестности функции p(z), q(z) аналитичны.Теорема 10.1 .
Если z0 есть обыкновенная точка уравнения (10.1), то существуеттакая ее окрестность, в которой решение существует, единственно и аналитично.Поясним только идею доказательства. Как и в теории дифференциальных уравнений на действительной оси [5, 22, 46], существование и аналитичность решения доказываются методом Пикара.Для упрощения положим z0 = 0. Рассмотрим уравнение в каноническом видеw ′′ + I(z)w = 0,w(0) = c0 , w ′(0) = c1 .(10.2)Дважды проинтегрировав это уравнение и заменив далее порядок интегрирования вдвойном интеграле, уравнение (10.2) сводится к интегральному уравнению:w = c0 + c1 z +Zz(z − z ′ )I(z ′ )w(z ′ ) dz ′ .0Данному интегральному уравнению соответствует итерационная схемаwn+1 (z) = c0 + c1 z +Zz(z − z ′ )I(z ′ )wn (z ′ ) dz ′ ,0при сходимости которой (при n → ∞) мы получаем решение исходного уравнения(10.2): limn→∞ wn (z) = w(z).8010.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙОбозначимM = max |I(z)|,|z|<Rm = max |w0(z)|,|z|<Rгде R — радиус круга, лежащего в области аналитичности инварианта I(z), а за нулевое приближение принимаем w0 = c0 + c1 z. Для разности соседних приближенийнаходимZzwn+1 (z) − wn (z) = − (z − z ′ )I(z ′ ) (wn (z ′ ) − wn−1 (z ′ )) dz ′ .0Теперь остается показать, что получилось сжатое отображение. Можно последовательно получить оценки абсолютных величин разностей и убедиться, что они быстроуменьшаются: zZZ ρρ2|w1 − w0 | 6 mM ζ dζ 6 mMρ′ dρ′ = mM ,200 2 n4ρ12 ρn|w2 − w1 | 6 mM, .
. . , |wn − wn−1 | 6 mM,2·42n!где ρ = |z| < R. Замечая, что wn = w0 + (w1 − w0 ) + (w2 − w1 ) + · · · + (wn − wn−1 ),мы сводим исследование сходимости итерационной процедуры к задаче о сходимостиряда. Можно убедиться, что ряд мажорируется абсолютно сходящимся рядом:nn XMρ21Mρ2|wn | 6 m6 m exp.2n!2k=0Значит ряд, частичная сумма которого равна wn , сходится.
Поэтому сходится и итерационная схема Пикара, откуда следует, что решение интегрального уравнения существует. Ряд сходится равномерно, и, следовательно, решение задачи (10.2) оказываетсяаналитичным.Чтобы доказать единственность, подставим в уравнение (10.2) ряды w = c0 +c1 z + . . . , I(z) = a0 + a1 z + . . . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях,найдем:1:2c2 + a0 c0 = 0 c2 = − 21 a0 c0z:6c3 + a0 c1 + a1 c0 = 0 c3 = − 16 (a0 c1 + a1 c0 )z2112c4 + a0 c2 + a1 c1 + a2 c0 = 0 c4 = − 12(a0 c2 + a1 c1 + a2 c0 )Каждый коэффициент выражается только через коэффициенты с меньшими номерами, а два первых нам известны, значит решение строится единственным образом.10.3. Разложение вблизи особой точки10.3.81Разложение вблизи особой точкиОпределение 10.2 .
Точка z0 называется особой точкой уравнения (10.1), если хотя быодна из функций p(z) или q(z) имеет полюс в точке z = z0 .Если у p(z) и q(z) имеется полюс в точке z = z0 , то из области следует исключитьэту точку. В результате область перестает быть односвязной и аналитическое продолжение w(z) уже не является однозначной функцией. Выберем такую окрестностьD точки z0 , в которой нет других полюсов. Тогда решение из точки z1 ∈ D можнопродлить вдоль контура γ (рис. 10.1) в некоторую окрестность начальной точки каканалитическую функцию. В этой окрестности можно выбрать за центр следующуюточку z2 ∈ γ и из нее снова продолжить решение в новый круг с помощью разложенияв ряд Тейлора. Продолжая эту процедуру, мы доберемся до любой точки z ∈ γ.
Еслиполучится бесконечное число кругов, всегда можно выбрать конечное подпокрытие.На рис. 10.1 показаны три окрестности и их пересечения.Dγz0z1Рис. 10.1. Контур γ для обхода особой точкиУ линейного уравнения второго порядка (10.1) имеются два линейно независимыхрешения w1 и w2 . Их определитель Вронского (или вронскиан) равен: w1 w2 6= 0.∆ = ′w1 w2′ Продолжения w1 и w2 останутся линейно независимыми. Действительно, решения удовлетворяют уравнению (10.1)w1′′ + pw1′ + qw1 = 0,w2′′ + pw2′ + qw2 = 0.Умножим первое уравнение на w2 , второе на w1 и вычтем друг из друга, получитсяуравнение первого порядка для определителя Вронского:∆′ + p∆ = 0.Его решение ∆(z) дается экспонентой∆(z) = ∆(z1 ) exp −Zzz1p(z ′ ) dz ′ .8210.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙИз аналитичности p(z) следует, что ∆(z) 6= 0, если ∆(z1 ) 6= 0.Когда γ — замкнутая кривая, как показанная на рис. 10.1, можно вернуться в исходную точку. Решения, полученные продолжением из w1,2 после одного обхода в по+. Новые решения в окрестности начальнойложительном направлении, обозначим w1,2точки можно разложить по старым, образующим полный базис пространства решений:w1+ = a11 w1 + a12 w2 , w2+ = a21 w1 + a22 w2 .Среди линейных комбинаций решений w̃1,2 есть такие, которые при обходе умножаются на число:w̃1+ = a11 w̃1 + a12 w̃2 = λw̃1 ,w̃2+ = a21 w̃1 + a22 w̃2 = λw̃2 .a12Отсюда видно, что λ суть собственные числа матрицы A = ( aa1121 a22 ) , а нужные намлинейные комбинации решений даются ее собственными векторами.
Возможныдваλ1 0варианта: либо матрица A приводится к диагональному виду A ∼ 0 λ2 , либо ееможно привести к жордановой клетке A ∼ ( λ0 λ1 ). Рассмотрим их последовательно.1◦ . При обходе решения w̃1,2 просто умножаются на число λ1,2 . Отметим, что эталонная функция f (z) = z ρ при обходе так же приобретает множитель: f + = f · e2πiρ .Назовем характеристическим показателем показатель такой степенной функции, которая при обходе точки z0 приобретает тот же самый множитель λ1,2 , что и решениепри обходе полюса. Тогда характеристические показатели наших решений равны:ρ1,2 =1ln λ1,2 .2πiДля простоты записи снова предположим, что z0 = 0 (то есть сдвинем полюс в началокоординат), тогда отношение решения к степенной функции с тем же характеристическим показателем будет уже однозначной функцией при обходе и, следовательно,может быть разложена в ряд Лорана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
