1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для сходимости при λ → +∞ вещественная часть подынтегральной′′ 2экспоненты eiS τ должна убывать. Поэтому секторы сходимости, заштрихованные нарисунке, находятся в I и III четверти при S ′′ (t0 ) > 0 или во II и IV четверти комплексной плоскости τ при S ′′ (t0 ) < 0.Если повернуть контур на угол φ = π/4, S ′′ > 0 или на угол φ = −π/4, S ′′ < 0(повернутый контур изображен на рис. 12.3 стрелкой), то в нуль обратится мнимаячасть экспоненты и вычисление сведется к интегралу Пуассона:τ = seiπ/4 :Z∞−∞Z∞τ = se−iπ/4 :−λ|S ′′ |s2 /2ee−λ|S′′ |s2 /22π iπ/4e ,λ|S ′′ |s2π −iπ/4=e.λ|S ′′ |ds eiπ/4 =ds e−iπ/4−∞sОба случая можно записать единой формулой:F (λ) =sπ2π′′A(t0 )eiλS(t0 )+i 4 sgnS (t0 ) ,′′λ|S (t0 )|(12.7)где sgnS ′′ (t0 ) означает знак второй производной в стационарной точке.Замечание 12.1 . В данном примере мы предполагали, что вторая производная отлична от нуля.
Если она обращается в нуль, т. е. S ′′ (t0 ) = 0, S ′′′ (t0 ) = 0, . . . , S (n−1) (t0 ) =0, S (n) (t0 ) 6= 0, то оценка делается аналогично. Интеграл не сводится к интегралу Пуассона, но выражается через Γ-функцию. В этом случае в главном порядке F ∼ λ−1/n .Если стационарных точек несколько и они не бесконечно близки друг от друга, тоасимптотика интеграла дается суммой по стационарным точкам.12.3. Метод стационарной фазы99@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@S ′′ > 0@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@τ@@@@@@@@@@@@@@′′@@@@@@ S < 0@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@RτРис. 12.3. Поворот контура при вычислении интеграла Френеля при S ′′ (t0 ) > 0 и S ′′ (t0 ) < 0Пример 12.3 (Функция Бесселя).
Найдем асимптотику функции Бесселя Jm (x) приx → ∞ при фиксированном действительном индексе m, используя интегральное представлениеZπ1Jm (x) =eix sin ϕ−imϕ dϕ.2π−πДля этого интеграла фазовая функция S(ϕ) = sin ϕ внутри интервала интегрированияимеет две стационарные точки:πS ′ = cos ϕ = 0 ⇒ ϕ1,2 = ± , S(±π/2) = ±1, S ′′ (±π/2) = ∓1.2Вклад от одной из точек, например, ϕ = +π/2, дается формулой (12.7). Вклад отдругой точки будет комплексно сопряжен. В результатеrr1 2π ix−im π −i π2π π24 + к.с.
=Jm (x) =ecos x − m −, x → +∞.2πxπx24Пример 12.4 (Функция Эйри). Воспользуемся интегральным представлением для функции Эйри:Z∞13Ai(x) =ei(t /3+xt) dt, x → −∞.2π−∞Масштабным преобразованием t = µτ, dt = µ dτ «остановим» стационарную точку:λS = µ3 (τ 3 /3 − |x|τ /µ2 ) будет содержать в скобке функцию τ , не зависящую от параметра µ, когда µ = |x|1/2 . Отсюда S(τ ) = τ 3 /3 − τ, λ = µ3 . Дифференцируя фазовуюфункцию, найдем S ′ = τ 2 − 1 = 0 ⇒ τ1,2 = ±1, откуда S(±1) = ∓2/3, S ′′(±1) = ±2.Как и в предыдущем примере, вклады то двух стационарных точек оказываются комплексно сопряженными:12 3/2 πAi(x) = √cos|x| −, x → −∞.34π|x|1/4Отметим, что функция Эйри представляет собой волновую функцию частицы в однородном поле.
Найденная асимптотика при x → −∞ соответствует движению в классически доступной области: по мере увеличения |x| длина волны де Бройля уменьшаетсякак |x|−1/2 .Лекция 13.Метод перевала13.1.Седловая точкаМетод перевала (седловой точки или наискорейшего спуска) предназначен дляполучения асимптотик интегралов видаZF (λ) = A(z)eλS(z) dz, λ → +∞,(13.1)γгде A, S — функции, аналитические в окрестности некоторой кривой γ, а λ — большой вещественный параметр.
Для демонстрации метода перевала мы ограничимсярассмотрением простейшего варианта интеграла (13.1), когда амплитудная функцияA = 1.Основная идея метода заключается в такой деформации контура γ, чтобы подынтегральная функция eλS(z) была велика по абсолютной величине на как можно болеекоротком участке и чтобы одновременно, при перемещении по этому контуру, подынтегральная функция не испытывала осцилляций.Действительно, разобьем фазовую функцию на действительную и мнимую частиS(z) = u(z) + iv(z), z = x + iy.
Поскольку S(z) — аналитическая функция, то u(x, y) иv(x, y) удовлетворяют соотношениям Коши — Римана:∂u∂v=,∂x∂y∂u∂v=− .∂y∂xОтсюда следует, во-первых, что∂2u ∂2u∂2v ∂2v+=+= 0,∂x2 ∂y 2∂x2 ∂y 2т. е. функции u(x, y) и v(x, y) являются гармоническими, а во-вторых,∇u · ∇v =∂u ∂v ∂u ∂v+= 0,∂x ∂x ∂y ∂y10013.2. Топологический и аналитический этапы1010.40.20∗-0.2-0.4-0.4-0.200.20.4Рис.
13.1. Вещественная часть фазовой функции в окрестности простой седловой точки и ее линииуровня. Светлым показаны более высокие значеният. е. градиенты u(x, y) и v(x, y) взаимно ортогональны. Отсюда можно сделать двавывода.1◦ Всякая стационарная точка z0 , где S ′ (z0 ) = 0, представляет собой седло илиточку перевала (обозначенную на рис. 13.1 звездочкой ∗), поскольку если однаиз вторых частных производных положительна, например, uxx > 0, то втораяобязательно отрицательна, uyy < 0.2◦ На рис.
13.1 изображены также линии уровня вещественной части u = u(x, y) вокрестности стационарной точки z0 = 0 для простейшего случая, когда разложение фазовой функции начинается с квадратичных членов1S(z) ≈ S(0) + S ′′ (0)z 2 .2(13.2)Оси x и y на рисунке повернуты на угол φ = arg S ′′ (0)/2, так что коэффициентпри z 2 можно считать положительным. Светлый тон означает более высокиеточки, т. е. большие значения u, а темные области — «ямы».
Есть два конуса направлений, по которым функция u убывает, и два сегмента направлений, вдолькоторых u возрастает. Вещественная часть u(x, y) быстрее всего убывает вдольлинии наискорейшего спуска. Вдоль этой же линии мнимая часть v(x, y) постоянна, т. е. подынтегральная функция eλS(z) вдоль этой линии не осциллирует. Этоесть второй вывод, который следует из соотношений Коши — Римана, в частности, из ортогональности градиентов функций v и u. Для рассматриваемогопримера (см.
рис. 13.1) линии наискорейшего спуска совпадают с действительными полуосями.13.2.Топологический и аналитический этапыТаким образом, задача оценки интеграла (13.1) сводится к двум шагам.10213. МЕТОД ПЕРЕВАЛА1◦ Шаг первый — топологический: Деформируем контур так, чтобы он проходил через седловую точку вдоль линий наискорейшего спуска.2◦ Шаг второй — аналитический: Оцениваем интеграл по разложению фазовой функции в малой окрестности точки перевала.Топологическая часть — самая сложная.
Чтобы понять, что за контур нам нужен,оценим абсолютную величину функции F (λ): λS e = eλu(z) 6 max eλu(z) ,(13.3)z∈γгде максимум берется по всем z, лежащим на кривой γ. Чтобы оценка была как можноточнее, будем варьировать контур γ, не выходя за множество Γ допустимых контуров.Допустимыми, или эквивалентными, будем называть такие контуры, на которыхинтегралы принимают одинаковые значения. Отметим, что при деформации контурамы не должны выходить за область аналитичности функции S(z), т. е. пересекатьполюсы. Если контур незамкнутый, а его концы лежат в конечных точках, то придеформации контура его концы должны оставаться неподвижными. Для несобственных интегралов бесконечно удаленные концы контура должны всегда оставаться всекторах сходимости.Будем менять форму контура, пока максимум в правой части (13.3) не перестанет уменьшаться.
Самая точная оценка получится, если в качестве контура γ = γ ∗выбрать тот, на котором достигается минимум:|exp λS| 6 min max exp λu(z).γ∈Γ z∈γ(13.4)Такой контур называется минимаксным. Возможность его выбора в общем случаене доказана. Однако в простых задачах, например, при вычислении асимптотик многих специальных функций, минимаксный контур удается найти и полученные оценкиинтеграла оказываются весьма точными. В примерах, рассмотренных ниже, минимаксный контур состоит из так называемых линий Стокса.
Это такие кривые, вдолькоторых мнимая часть v функции S(z) постоянна, поэтому действительная часть uвдоль этих линий меняется быстрее всего. Совокупность линий Стокса, проходящихчерез критические точки фазовой функции, будем называть графом Стокса. Графсделаем ориентированным, указывая на линиях Стокса стрелками направление убывания функции u.Аналитическая часть предполагает локальное исследование функции, поэтомувторой шаг оказывается проще. Интеграл оценивают, сводя его к эталонному в малой окрестности стационарной точки. Выполним такую оценку в простейшем случае(13.2), когда вторая производная отлична от нуля. Для этого выделим модули и аргументы:S ′′ (z0 ) = ρeiθ , z − z0 = seiφ .Отсюда1S(z) − S(z0 ) = ρs2 eiθ+2iφ .213.3. Примеры103Теперь найдем те направления, вдоль которых разность S(z) − S(z0 ) быстрее всегоубывает с увеличением s, т.
е. равна −ρs2 /2. Чтобы так получилось, комплекснаяэкспонента должна обратиться в −1, т. е. при cos(θ + 2φ) = −1. Отсюдаφ1,2 =±π − θ.2(13.5)В этом же направлении мнимая часть обращается в нуль, sin(θ + 2φ) = 0,Im (S(z) − S(z0 )) = 0 ⇒ Im S(z) = Im S(z0 ).Поэтому при интегрировании вдоль этих линий исчезают осцилляции подынтегральной функции.
Теперь интеграл сводится к типу Лапласа и дается оценкой:s2πF (λ) ≈eλS(z0 )+iφ .(13.6)λ|S ′′ (z0 )|В качестве φ надо выбрать то из двух направлений φ1,2 (13.5), вдоль которого мыинтегрируем. Это и есть линия наискорейшего спуска.Замечание 13.1 . В исходном интеграле (13.1) мы предполагали амплитудную функцию A(z) равной 1. Если такая функция A(z) 6= const, то оценка интеграла умножится на ее значение в стационарной точке z0 . При этом нужно следить, чтобы функцияA(z), будучи аналитической, при деформации контура не выходила за свою областьаналитичности.Существенными могут оказаться также вклады от концов контура, которые вычисляются интегрированием по частям, как и в случае I, рассмотренном в предыдущейлекции.Замечание 13.2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
