1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В гамильтоновой системе переменные ϕ представляют собой обобщенныекоординаты, а действия I — обобщенные импульсы. Соответствующее преобразованиек I и ϕ является каноническим, соответственно уравнения в новых переменных сохраняют свой гамильтонов вид:ϕ̇ =∂H∂H ˙, I=−.∂I∂ϕ(14.1)Факт интегрируемости невозмущенных уравнений означает, что невозмущенный гамильтониан представляет собой функцию, зависящую только от действий: H = H(I).Таким образом, уравнения (14.1) для переменных действие-угол записываются какI˙ = 0,ϕ̇ = ω(I).(14.2)Назовем I — медленной переменной, а ϕ — угловой переменной или фазой.
Тогда возмущенное уравнение запишется какI˙ = ǫg(I, ϕ),ϕ̇ = ω(I) + ǫf (I, ϕ),где функции f, g находятся по функциям v1 (x, p), f1 (x, p).Вместо (14.3) рассмотрим усредненное уравнениеRg(J, ϕ) dϕRJ˙ = ǫG(J), G(J) =.dϕ(14.3)(14.4)14.1. Усредненное уравнение. Преобразование Боголюбова — Крылова111Метод усреднения предлагает рецепт — решить усредненное уравнение для функцииJ вместо возмущенных уравнений (14.3). Выигрыш очевиден – уравнений в системе(14.4) оказывается вдвое меньше, чем в исходной.Пример 14.1 . Пусть n = 1, I, φ — скалярные функции, а ω — постоянная. Рассмотримвозмущенное уравнение:I˙ = ǫ(a + b sin ϕ),ϕ̇ = ω,I(0) = I0 ,ϕ(0) = 0.Невозмущенное уравнение I˙ = 0, ϕ̇ = ω дает I(t) = I0 , ϕ(t) = ωt.
В данном примеренесложно найти и решение возмущенного уравнения:I(t) = ǫat + ǫbZtsin(ωt′ ) dt′ + I0 = ǫat +0ǫb(1 − cos ωt) + I0 .ωУсредненное уравнениеǫJ˙ =2πZ2π(a + b sin ϕ) dϕ = ǫa0решается сразу. Его решение J(t) = I0 + ǫat при тех же начальных условиях уходит отточного на величину порядка ǫ, а значит, правильно передает тенденцию на большихвременахǫb|J(t) − I(t)| = |1 − cos ωt| 6 const · ǫ.ωВыведем усредненное уравнение для одночастотной системы n = 1. Легко видеть,что при одинаковых начальных условиях изменение медленной переменной за периодT = 2π/ω равно1∆I = I(t) − I(0) = ǫT ·TZT1g(I, ϕ(t)) dt = ǫT ·2π0Z2πg(I, ϕ) dϕ = ǫT G(I).0Усреднение по времени заменяем усреднением по быстрой переменной ϕ : dt = dϕ/ϕ̇ =dϕ/ω, переобозначая I → J.
Отметим, что медленную эволюцию J за много периодовможно описать разностным уравнением∆J= ǫG(J),∆tкоторое иногда называют стробоскопическим. Если приближенно заменить отношение конечных разностей производной, то получается усредненное дифференциальноеуравнение (14.4).Самое тонкое место здесь — замена усреднения по времени усреднением по всемзначениям угловой переменной ϕ. Наш вывод относится к одночастотной системе, в11214.
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯРис. 14.1. Тор (ϕ1 , ϕ2 ) с замкнутой намоткой: резонанс ω1 /ω2 = 0/1. На врезке — развертка торакоторой имеется всего n = 1 угловая переменная 0 6 ϕ 6 2π. При n > 1 уравнения(14.2), (14.3), (14.4) пишутся так же, как в одночастотном случае, но под переменнымиI, ϕ понимаются векторы I = (I1 , . . . , In ), ϕ = (ϕ1 , . .
. , ϕn ). Частота и угловая переменная — тоже векторы ω = (ω1 (I), . . . , ωn (I)), ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). При n = 2 движениев пространстве угловых переменных (ϕ1 , ϕ2 ) происходит по поверхности тораϕ1 = ω1 t + ϕ1 (0),ϕ2 = ω2 t + ϕ2 (0),0 6 ϕ1 6 2π,0 6 ϕ2 6 2π.При рациональном отношении частот ω1 /ω2 = p/q, p, q ∈ Z «намотка» замыкается итраектория движения не заметает всю поверхность тора. Следовательно, заменять наусреднение по поверхности тора незаконно, по крайней мере при небольших значенияхчисел p, q.
Такие случаи относятся к резонансным. При больших p, q замкнутая траектория проходит практически через всю поверхность тора и можно воспользоватьсяметодом усреднения.На рис. 14.1 изображен тор с замкнутой траекторией. В левом верхнем углу изображена прямоугольная выкройка тора, стрелки на сторонах показывают, с какой ориентацией стороны склеиваются.
Траектория движения тоже показана стрелкой. Точка на траектории попала на две противоположные стороны прямоугольника, которыесклеены. Траектория замкнута, она соответствует резонансу ω1 /ω2 = 0/1, когда методусреднения заведомо не работает.Пример 14.2 . Чтобы познакомиться с еще одним явлением – прохождением через резонанс, рассмотрим один пример двухчастотной системы. Если имеется малая нелинейность — зависимость частоты ω от амплитуды I, то система за большое времяt ∼ 1/ǫ выйдет из резонанса:ϕ̇1 = I1 ,ϕ̇2 = 1,I˙1 = ǫ,I˙2 = ǫ cos ϕ1 .Решение невозмущенного уравнения находится сразу:I1 = I1 (0),I2 = I2 (0),ϕ1 = I1 (0)t + ϕ1 (0),ϕ2 = t + ϕ2 (0).Отношение частот ω1 /ω2 = I1 (0).
Поэтому резонансы будут проявляться для начальных условий I1 (0) = 0, ±1, ±2, . . . Рассмотрим резонанс нулевого порядка I1 (0) = 0,изображенный на рис. 14.1.14.1. Усредненное уравнение. Преобразование Боголюбова — КрыловаУсредненное уравнениеJ˙1 = ǫ,113J˙2 = 0имеет решение J1 = ǫt, J2 = const. Чтобы проверить, насколько велика ошибка решения усредненного уравнения, найдем точное решение и проверим, сохраняется ливеличина I2 . Обращаясь к возмущенному уравнению, получимt2ϕ1 = ǫ + ϕ1 (0) ⇒ ∆I2 = ǫ2I1 = ǫt,Z∞t2cos ǫ + ϕ1 (0)2−∞=√ǫZ∞cos−∞ξ2+ ϕ1 (0)2dξ =√dt =πǫ (cos ϕ1 (0) − sin ϕ1 (0)) .Значит, уход переменной I2 от значения J2 = const, предсказанного методом усреднения, не так уж и велик:√|J2 − I2 | 6 const · ǫ.Важно, что полученная оценка имеет порядок ǫ1/2 (т. е.
→ 0 при ǫ → 0). В одночастотной системе соответствующая оценка ∼ ǫ. В многочастотном случае погрешностьметода усреднения может увеличиться.Рассмотрим, как реализуется указанная схема усреднения, на примере задачи ослабонелинейном осциллятореẍ + ω02 x = ǫF (x, ẋ).Здесь F — функция, зависящая от координаты и скорости (возможно, еще и от времени как параметра), а ǫ — малый параметр.Невозмущенные уравненияẍ + ω02x = 0являются гамильтоновскими с H = p2 /2 + ω02x2 /2:ẋ = p, ṗ = −ω02 x.Далее удобно ввести нормальные переменные a и a∗ :rrω01∗(a − a ), x =(a + a∗ )p = −i22ω0илиrrrω01ω01∗a=x+ip, a =x−ip.(14.5)22ω022ω0В этих переменных гамильтониан H = ω0 a∗ a, а невозмущенные уравнения записываются в виде одного уравнения для комплексной величины a:rȧ = −i∂H= −iω0 a.∂a∗(14.6)11414. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯПеременные a∗ и a играют важную роль в квантовой механике, где они являются аналогами операторов рождения и уничтожения.
В классическом случае эти переменныезависят от времени экспонециально: a∗ = a∗0 eiω0 t и a = a0 e−iω0 t , так что |a|2 не зависитот времени. Величина |a|2 представляет собой действие I, так что H = ω0 I Сопряженная к действию фаза (≡ arg a) подчиняется уравнению ϕ̇ = −ω0 , т. е. меняется современем линейно: ϕ = −ω0 t + ϕ0 .Используя определение нормальных переменных (14.5), уравнение для нелинейного осциллятора записывается в видеr2ȧ + iω0 a = iǫF,ω0где F – действительная функция, выраженная через√a∗ и a.Если теперь перейти к аргументу и модулю a = I eiϕ и разделить действительную и мнимую части, то уравнение «возмущенного» осциллятора сводится к двумуравнениям (14.3):rr2I2˙F sin ϕ, ϕ̇ = −ω0 + ǫF cos ϕ.(14.7)I =ǫω0ω0 IОтсюда получается усредненное уравнение (14.4), для которого функция G(J) определяется в виде интеграла:J˙ = ǫG(J),G(J) =r2J 1ω0 2πZ2πF0r!p2Jcos ϕ, 2ω0 J sin ϕ sin ϕ dϕ =ω0r2JhF sin ϕi .ω0(14.8)Здесь треугольные скобки означают усреднение по фазе ϕ.
Отметим, что в усредненное уравнение вошла первая фурье-компонента возмущающей силы на частотеневозмущенных колебаний.√В следующих трех примерах вместо J мы будем использовать 2J, которая обозначается той же буквой J. В этих переменных усредненное уравнение (14.8) имееттот же вид, изменится только вид функции G(J).14.2.ПримерыПример 14.3 (Резонанс). Малая внешняя сила раскачивает осциллятор на его собственной частоте F (x, ẋ) = cos t (здесь мы выбрали частоту осциллятора ω0 = 1, чтосоответствует переходу к безразмерному времени ω0 t). Невозмущенная угловая переменная (фаза осциллятора) находится из уравнения (14.7): ϕ(t) = −t + ϕ0 , где ϕ0 —начальная фаза.
Отсюда находим:G(J) = hcos(ϕ0 − ϕ) sin ϕi = h(cos ϕ0 cos ϕ + sin ϕ0 sin ϕ) sin ϕi =1sin ϕ0 .214.2. Примеры1152x(t)120406080100t-1-2Рис. 14.2. Выход генератора Ван дер Поля на автоколебательный режим: x(0) = 0, ẋ(0) = 1, ǫ =0.05.Усредненное уравнение J˙ = ǫ sin ϕ0 /2 решается следующим образом: J(t) = J(0) +ǫt sin ϕ0 /2. Медленная переменная J, амплитуда колебаний, линейно растет со временем, когда начальная фаза ϕ0 6= 0, π.Пример 14.4 (Уравнение Ван дер Поля).
Уравнениеẍ + x = ǫ(1 − x2 )ẋописывает генератор — усилитель с положительной обратной связью, который можетпереходить в режим самовозбуждения. Соответствующая функция F = ẋ(1 − x2 ),тогда из (14.8) найдем: 11ǫG(J) = J sin ϕ 1 − J 2 cos2 ϕ sin ϕ = J − J 3 ⇒ J˙ = J(4 − J 2 ).288Усредненное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными решается,но для наших целей достаточно исследовать его на устойчивость, посмотрев изменениезнака J˙ в стационарных точках. Получается, что J = 0 — неустойчивое решение, аJ = 2 — устойчивое (режим автоколебаний).
В исходных переменных уравнение Вандер Поля описывает предельный цикл электронного генератора или одночастотноголазера, или, другими словами, выход на автоколебательный режим (рис. 14.2).Пример 14.5 (Параметрический резонанс). Рассмотрим осциллятор, частота которогоменяется от времени периодически:ẍ + ω02 (1 + ǫ cos Ωt) x = 0.Общий гамильтониан этой системыp2+ ω02 (1 + ǫ cos Ωt) x2 /22явно зависит от времени. Как результат в переменных a и a∗ (14.5) в H появляютсятри дополнительных слагаемых, пропорциональных ǫ:ω0H = ω0 a∗ a + ǫ cos(Ωt) (aa + a∗ a∗ + 2|a|2).4H=11614. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯСоответствующие уравнения движения имеют видȧ + iω0 a = −iǫω0ω0cos(Ωt)(a∗ + a), ȧ∗ − iω0 a∗ = iǫ cos(Ωt)(a + a∗ ).22Поскольку a∗ и a в нулевом приближении (при ǫ = 0) изменяются пропорциональноe±iω0 t , то легко видеть, что итерации решения этих уравнений по малому параметруǫ приводят к появлению дополнительных гармоник с частотамиωn1 = ω0 + n1 Ω, ωn2 = −ω0 + n2 Ω,где n1,2 — целые положительные и отрицательные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
