1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Цель асимптотических методов, с которыми мыпознакомимся в следующих трех лекциях, — научиться использовать наличие такогопараметра как для нахождения асимптотик интегралов, так и для решения уравнений. Среди многочисленных книг, посвященных асимптотическим методам (см.,например, [18, 25, 27, 42, 44, 58, 59]), можно рекомендовать сравнительно простое, носовременное введение в асимптотические методы вычисления интегралов [57].12.1.Асимптотическое разложениеНапомним, что такое асимптотическое разложение.Определение 12.1 .
Рядf (z) =∞Xn=0cn (z − z0 )nназывается асимптотическим разложением функции f (z) при z → z0 , если остатокряда является величиной более высокого порядка малости:RN = f (z) −илиNXn=0cn (z − z0 )n = o (z − z0 )NRN= 0.z→z0 (z − z0 )NlimВ тех же обозначениях обычная сходимость означает:lim RN = 0,N →∞939412. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫа значит, ряд может расходиться в обычном смысле, но быть асимптотическим разложением.Если необходимо найти асимптотическое разложение в окрестности бесконечноудаленной точки, то можно взять разложение по степеням t = 1/z → 0.Укажем несколько свойств асимптотического разложения.1◦ Если асимптотическое разложение существует, то оно единственно.
Действительно, если пределы существуют, можно найти последовательно все коэффициентыcn :c0 = lim f (z),z→z0f (z) − c0,z→z0 z − z0c1 = limf (z) − c0 − c1 (z − z0 ),...z→z0(z − z0 )2c2 = lim2◦ Асимптотические разложения двух разных функций могут совпадать.
Например, exp(−1/z) ≈ 0 при z → +0 (знаком ≈ мы обозначили асимптотическоеравенство)6 Действительно, cn = lim z −n exp(−1/z) = 0..3◦ Асимптотические разложения можно складывать, умножать, интегрировать, нонельзя дифференцировать. Примером может служить функция f (x) = e−x sin ex .Все коэффициенты ее асимптотического разложения при x → +∞ равны нулю,как и в примере 2◦ , а первая производная f ′ (x) = −f (x) + cos exp x не имеетасимптотического разложения.
Коэффициенты cn как пределы из пункта 1◦ несуществуют, даже нельзя найти коэффициента c0 .12.2.Метод ЛапласаИнтегралом Лапласа называют интеграл видаF (λ) =ZbA(t)eλS(t) dt,(12.1)aгде A(t), S(t) — действительные функции, которые мы будем называть амплитудной ифазовой, а λ считается действительным параметром. Рассмотрим асимптотику этогоинтеграла при λ → +∞. Если λ велико, то очевидно, что вклад в интеграл вноситнебольшая окрестность точки максимума функции S(t). Здесь возможны два случая.1◦ Функция S(t) монотонна, т. е.
S ′ (t) 6= 0, x ∈ [a, b], а ее максимум достигается в одной из предельных точек интегрирования, например, при t = a. Тогдавклад в интеграл вносит только окрестность точки a. Рис. 12.1, a показывает,что интеграл набирается в окрестности размером ∼ 1/λ, и поэтому главный членразложения будет того же порядка.6Часто в литературе встречается знак ∼, а иногда пишут просто =.12.2. Метод ЛапласаeλS9511(a)e0.8λS(b)0.80.60.60.40.40.20.2t00.20.40.60.810.2t0.40.60.81tРис.
12.1. Экспонента eλS под интегралом Лапласа (12.1) как функция переменной t: a — случай1◦ , S = −3t + t3 , a = 0, b = ∞. При увеличении параметра λ (точки — λ = 1, пунктир — λ = 3 исплошная линия — λ = 10, соответственно) вклад в интеграл дает все меньшая окрестность точкиa = 0. b — случай 2◦ , S = −(t − 1/2)2 . При увеличении параметра λ (= 10, 30, 100) вклад в интегралдает все меньшая окрестность точки t0 = 0, 52◦ Функция S(t) достигает максимума в промежуточной точке: S ′ (t0 ) = 0, t0 ∈(a, b), S ′′ (t0 ) < 0. Тогда из разложения фазовой функции в ряд до квадратичныхчленов1S(t) = S(t0 ) + S ′′ (t0 )(t − t0 )2(12.2)2следует, что интеграл в основном набирается при |t − t0 | . 1/λ1/2 .
На рис. 12.1, bприведен пример, демонстрирующий, что с ростом параметра λ подынтегральная функция велика все в меньшей окрестности точки t0 .В случае 1◦ формула для главной члена асимптотики выводится с помощью интегрирования по частям:b Zb ′ZbA(t)eλS(t) A(t)deλS(t)F (λ) = A(t) ′=−eλS(t) dt.(12.3)′′λS (t)λS (t) aλS (t)aaСледующие члены разложения по степеням 1/λ получаются отсюда при последовательном интегрировании по частям возникающих интегралов в правой части. Первыйчлен этого разложения при условии S(a) > S(b), S ′ (t) 6= 0 имеет видF ≈−A(a)eλS(a),λS ′ (a)(12.4)т.
е. для главного члена получилась оценка ∼ 1/λ, что соответствует приведеннымвыше качественным наблюдениям.Для случая 2◦ функцию S(t) следует заменить ее разложением (12.2) и вынестииз-под знака интеграла значение амплитуды A(t), взятое в точке t = t0 . В результатеZ∞1 ′′2F (λ) = A(t0 )exp λ S(t0 ) + S (t0 )τdτ.2−∞9612. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫВ этом интеграле t−t0 = τ, а пределы интегрирования по τ распространены от −∞ до∞.
Так как S ′′ (t0 ) < 0, то оценка свелась к известному интегралу Пуассона. Отсюдаокончательно получим:s2πF ≈A(t0 )eλS(t0 ) ,(12.5)−λS ′′ (t0 )т. е. основной порядок F определяется экспонентой eλS(t0 ) с предэкспоненциальнымфактором ∼ λ−1/2 .Пример 12.1 . Рассмотрим интегралF (a) =Z∞0aexp −x2 −dx.xВидно, что прямое вычисление асимптотик этого интеграла при a → +∞ с помощьюполученных формул невозможно, потому что функция 1/x стремится к бесконечностипри x → +0.
Чтобы свести этот интеграл к лапласовскому виду (12.1), изменим в µраз масштаб переменной: x = µt, dx = µ dt. Тогда показатель экспоненты запишетсякак λS = −µ2 (t2 + a/µ3 t). Если выбрать µ = (a/2)1/3 , то выражение в круглой скобкестанет фазовой функцией S(t) = −t2 − 2/t, а µ2 окажется за скобкой и будет большим параметром λ = µ2 . Остается лишь два раза продифференцировать S(t), найтизначения S(t) и ее второй производной в стационарной точке:S ′ (t) = −2t +2= 0 ⇒ t0 = 1,t2S(t0 ) = −3,S ′′ (t0 ) = −6.Отсюда с помощью (12.5) получаем оценку:rπ −3( a2 )2/3F (a) ≈e.3Отметим,что даже при a = 0, когда точное значение интеграла известно:√√ √F (0) =π/2, асимптотическая формула дает приличную точность для F (0) ≈ π/ 3.Пример 12.2 . Найдем поведение гамма-функции Эйлера:Γ(x + 1) =Z∞ξ x e−ξ dξ0при x → +∞. Вначале приводим этот интеграл к виду (12.1), что делается, еслизаписать ξ x = ex ln ξ и перейти к новой переменной ξ = xt.
Тогда dξ = x dt, S(t) =−t + ln t, λ = x. У S(t) имеется одна стационарная точка: t0 = 1, в которой S(t0 ) =S ′′ (t0 ) = −1. Отсюда с помощью формулы (12.5) следует нужная нам асимптотикагамма-функции Эйлера: x x√Γ(x + 1) = 2πx.e12.3. Метод стационарной фазы970.50.5cos(λS)1cos(λS)10-0.50-0.5(a)t0(b)0.60.8t11.21.4-0.4-0.2t00.20.4Рис. 12.2. Вещественная часть экспоненты eiλS под интегралом (12.6) как функция переменной t:a — случай 1◦ , S = t − 4t2. При увеличении параметра λ (точки — λ = 1, пунктир — λ = 3 и сплошнаялиния — λ = 10 соответственно) вклад в интеграл дает все меньшая окрестность концевых точекa = 0, 5, b = 1, 5.
При λ → ∞ остальные вклады взаимно компенсируются из-за осцилляций функцииeiλS(t) . b — случай 2◦ , S = t2 . При увеличении параметра λ = 10, 30, 100 вклад вносит все меньшаяокрестность стационарной точки t0 = 0. Остальные вклады знакопеременные и при λ → ∞ гасятдруг другаПри целых x данная асимптотика известна как формула Стирлинга. Формула Стирлинга дает весьма точную оценку факториала n! = Γ(n + 1). В частности, при n = 2получается 2! ≈ 1, 919, т.
е. погрешность составляет всего лишь 5 %, хотя 2 не слишкомбольшой параметр.12.3.Метод стационарной фазыМетод стационарной фазы представляет собой модификацию метода Лапласа, рассмотренного в предыдущем параграфе.Обратимся к нахождению асимптотики интеграла типа Лапласа (12.1) с действительной амплитудой A(t), но чисто мнимой фазой S(t) → iS(t):F (λ) =ZbA(t)eiλS(t) dt,λ → +∞.(12.6)aАсимптотика этого интеграла также существенным образом зависит от того, имеет лифункция S(t) стационарные точки на интервале интегрирования (a, b). Как и в предыдущем случае, возникают две возможности 1◦ и 2◦ .
На рис. 12.2 для случаев 1◦ и 2◦представлена вещественная часть подынтегральной экспоненты. Аналогично предыдущему разделу, главный член асимптотического разложения получится в случае 1◦порядка λ−1 , а в случае 2◦ — λ−1/2 .9812. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫВ случае 1◦ оценка получается с помощью интегрирования по частям:F (λ) =Zba1 A(b)eiλS(b) A(a)eiλS(a)deiλS(t)≈−.A(t)iλS ′ (t)iλS ′ (b)S ′ (a)В случае 2◦ вначале фазовую функцию разлагаем в ряд (12.2), далее распространяемпределы интегрирования до бесконечности и затем сводим задачу к интегралу Френеля:Z∞′′2F (λ) = A(t0 )eiλS(t0 )eiλS (t0 )τ /2 dτ.−∞Для вычисления интеграла Френеля сначала следует повернуть контур интегрирования заменой τ = seiφ , dτ = eiφ ds, где φ — угол поворота, s — координата вдольнового контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
