1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для одинаковых k в левой и правойчастях получается нуль, и надо раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя.Получится нормировочный множитель, а соотношение ортогональности запишетсякакZarra2 ′2Jm jmn1Jm jmn2r dr =[J (jmn1 )] · δn1 n2 .(8.13)aa2 m0Обратите внимание, что ортогональны функции Бесселя одного порядка m, но сразными k1,2 = jm,n1,2 .
Это означает разное число узлов двух решений на отрезке0 6 r 6 a.Упражнение 8.2 . Выведите соотношение ортогональности и найдите нормировочный′′множитель для другого граничного условия Jm(k1 a) = Jm(k2 a) = 0.708. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХТаким образом, после дифференциального уравнения Бесселя (8.2) мы изучилистепенной ряд (8.3), рекуррентные соотношения (8.6), (8.7), интегральные представления (8.8), (8.12), производящую функцию (8.9) и соотношение ортогональности (8.13).По этой же схеме мы будем изучать и другие специальные функции с той разницей,что вместо степенного ряда для ортогональных полиномов будет выводиться формулаРодрига. В примерах лекций 12.–13. мы выведем также несколько асимптотическихвыражений для специальных функций.
По этой схеме упорядочены формулы в сводке,вынесенной в приложение.Лекция 9.Разделение переменныхв сферических координатах9.1.Частица в центральном полеРассмотрим квантовомеханическую задачу о движении частицы в центральномполе, т. е. будем искать собственные функции гамильтониана:Ĥ =p̂2+ U(r),2mгде потенциальная энергия U зависит только от расстояния r до начала координат.В дальнейшем будем полагать ~ = m = 1.В сферических координатах оператор Лапласа разбивается на радиальную и угловую части △Ω :△=1 ∂ 2∂1r+ 2 △Ω ,2r ∂r ∂r r△Ω =1 ∂∂1 ∂2sin θ+.sin θ ∂θ∂θ sin2 θ ∂ϕ2Отсюда видно, что для стационарного уравнения Шредингера (1.13) переменные разделяются, если искать решение в виде произведения радиальной и угловой функцийψ = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ):(r 2 R′ )′1 (sin θ Θ′ )′1 Φ′′−2 (E − U(r)) = 2+ 2+.r Rrsin θ Θsin2 θ Φ(9.1)Уравнение на Φ(ϕ) получается вида Φ′′ +m2 Φ = 0.
Его решение уже известно: Φ = eimϕ ,где m — целое число. Теперь последовательно займемся уравнениями на Θ(θ) и R(r).71729.2.9. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХУгловое уравнение. Функции ЛежандраУгловое уравнение получается, если выражение в квадратных скобках предыдущего уравнения приравнять ко второй константе разделения λ:(sin θ Θ′ )′m2−= λ.sin θ Θsin2 θ(9.2)Заменой x = cos θ это уравнение сводится к обыкновенному дифференциальномууравнению с полиномиальными коэффициентами:ddΘm2(1 − x2 )−Θ = λΘ.dxdx1 − x2Сначала исследуем поведение при x → ±1 (особые точки).
Для этого решение вокрестности точки x = 1 ищем в виде степени от ξ = x − 1 при ξ → 0: Θ ∼ ξ σ . Приравнивая коэффициент при самой старшей степени ξ к нулю, получаем −2σ 2 + m2 /2 = 0или σ = ±m/2. Считая m неотрицательным, выбираем корень со знаком +, чтобырешение не имело особенности при ξ → 0.
Аналогично поступим с точкой x = −1,“южным” полюсом сферической системы координат. Объединяя обе эти асимптотики,решение представим в видеmΘ = (1 − x2 ) 2 u(x),где функция u подчиняется уравнению(1 − x2 )u′′ − 2x(m + 1)u′ − [m(m + 1) + λ]u = 0.(9.3)Для того чтобы найти решение этого уравнения при произвольном (целом) m,вначале рассмотрим уравнение (9.3) при m = 0:(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ − λy = 0.(9.4)Это уравнение называется уравнением Лежандра. Будем его последовательно дифференцировать.
В результате однократного дифференцирования получим:(1 − x2 )y ′′′ − 4xy ′′ − [2 + λ]y ′ = 0.Это уравнение совпадает с (9.3) при m = 1 для y1 = y ′. После m-кратного дифференцирования легко получить(1 − x2 )y (m+2) − 2x(m + 1)y (m+1) − [m(m + 1) + λ] y (m) = 0.Это уравнение для y (m) совпадает с уравнением (9.3) для ym . Таким образом, решение(9.3) есть m-я производная решения уравнения Лежандра: ym = y (m) . Остается решитьуравнение Лежандра. Будем искать решение уравнения (9.4) в виде разложения в9.2. Угловое уравнение. Функции Лежандра73Pряд по степеням x: y =cn xn . Подстановка этого ряда в уравнение приводит крекуррентным соотношениям на коэффициенты cn :2c2 − λc0 = 0, c2 = λ2 c01:x:2 · 3c3 − (2 + λ)c1 = 0, c3 =x2 : 3 · 4c4 − (2 + 4 + λ)c2 = 0, c4 =λ+2c2·3 1λ+4+2c2 , .
. .3·4Из выписанных трех соотношений легко увидеть, что связанными оказываются междусобой коэффициенты при четных степенях и нечетных степенях по отдельности. Длячетных коэффициентов в общем случае имеем:c2n+2 =λ + 2... + 2nc2n ,(2n + 1)(2n + 2)(9.5)а для нечетных —λ + 2 + ... + 2nc2n−1 .(9.6)2n(2n + 1)При произвольном фиксированном λ коэффициенты с большим номером будут практически одинаковыми, так как в числителе рекуррентных соотношений получаетсяλ + 2 + 4 + ... + 2k = λ + k(k + 1) ∼ k 2 (k → ∞), а в знаменателе (k + 1)(k + 2) ∼ k 2 .Пусть c0 6= 0, c1 = 0, тогда останутся только четные коэффициенты. Такой рядбудет сходиться при x2 < 1 как геометрическая прогрессия 1+x2 +x4 +· · · = 1/(1−x2 ).Таким образом, у решения имеется особенность при x → ±1. То же самое происходити для нечетных решений, когда c0 = 0, c1 6= 0.
Особенности не будет только придискретных значениях λ, при которых ряд обрывается. Из соотношений (9.5), (9.6)следует, что обрыв ряда происходит приc2n+1 =λ = −l(l + 1), где l − целое число.Следовательно, условие регулярности на полюсах позволяет найти не только решение, но и собственные значения λ. Решения уравнения Лежандра, не имеющие особенности при x2 → 1, содержат конечное число членов разложения.
Эти многочлены называются полиномами Лежандра. Степень полинома равна l. В квантовой механике l называется орбитальным квантовым числом. Оно совпадает с числом нулей полинома Лежандра. Четность этих полиномов равна (−1)l , т. е. при заменеx → −x Pl (x) → (−1)l Pl (−x). Полиномы Лежандра Pl (x) нормируются в точке x = 1:Pl (1) = 1.При этой нормировке полиномы Лежандра могут быть представлены с помощьюформулы Родрига:1 dl 2Pl (x) = l(x − 1)l .(9.7)2 l! dxlВторое линейно независимое решение дается функциями Ql (x), которые имеют особенности в точках x = ±1 и называются функциями Лежандра второго рода. ФункцииЛежандра называют также сферическими функциями (рис.
9.1).749. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХPl10.75Ql10.750.50.50.25-1 -0.75-0.5-0.25-0.250.25 0.5 0.75 10.25x-1 -0.75-0.5-0.25-0.25-0.5-0.5-0.75-0.75-1-10.25 0.5 0.75 1xРис. 9.1. Функции Лежандра первого рода Pl (x) (слева) и второго рода Ql (x) (справа): толстаялиния — l = 0, тонкая — l = 1, пунктир — l = 2, точки — l = 3Покажем теперь, что (9.7) есть решение уравнения (9.4).
Для этого введем вспомогательную функцию Wl (x) = (x2 − 1)l и будем ее дифференцировать. Первое дифференцирование дает(x2 − 1)Wl′ − 2lxWl = 0.Три следующих дифференцирования(x2 − 1)Wl′′ + (2 − 2l)xWl′ − 2lWl = 0(x2 − 1)Wl′′′ + (4 − 2l)xWl′′ + (2 − 4l)Wl′ = 0(x2 − 1)WlIV + (6 − 2l)xWl′′′ + (4 + 2 − 6l)Wl′′ = 0 . .
.позволяют написать результат l + 1 шага:(l+2)(1 − x2 )Wl(l+1)− 2xWl(l)− l(l + 1)Wl(l)= 0.(l)Для функции Wl это есть уравнение Лежандра, т. е. Wl удовлетворяет уравнению(9.4) и тем самым формула Родрига (9.7) доказана.Вернемся к уравнению (9.3), его решения — производные полиномов Лежандра —называются присоединенными функциями Лежандра:mPlm (x) = (1 − x2 ) 2dmPl (x),dxmm ≥ 0.Полное решение угловой задачи, собственные функции оператора △Ω ,△Ω Ylm (θ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (θ, ϕ),называются сферическими гармониками. Сферические гармоники просто выражаются через присоединенные функции Лежандра первого рода:|m|Ylm (θ, ϕ) = Clm eimϕ Pl (cos θ),9.2.
Угловое уравнение. Функции Лежандра75l=0l=1l=2m=0m=1m=2Рис. 9.2. Сферические гармоники |Ylm (θ, ϕ)| при l = 0, 1, 2, 0 6 m 6 l769. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХгде Cml — нормировочные коэффициенты, подобранные так, чтобы сферические гармоники стали ортонормированными на единичной сфереZ∗Ylm(θ, ϕ)Yl′ m′ (θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δll′ δmm′ .Для небольших значений орбитального квантового числа l 6 2 графики сферическихгармоник как функций полярного и азимутального углов изображены на рис.
9.2.При l = 0 получилась сфера, по мере увеличения l поверхность становится все болееизрезанной. Функции с максимальным числом m = l сосредоточены вблизи экватора. То, что мы изобразили абсолютную величину |Ylm|, сделало картинки аксиальносимметричными, не зависящими от азимутального угла ϕ. Фактически на рис. 9.2показаны присоединенные функции Лежандра. Теорию сферических функций можнонайти в книге [9], включая обобщение на комплексный аргумент и дробные индексы.Упражнение 9.1 . Найдите коэффициенты Clm .9.3.Радиальное уравнение.Сферические функции БесселяВернемся к радиальному уравнению (9.1) и попробуем решить его для свободнойчастицы U = 0, когда оно сводится к уравнению Гельмгольца:2 ′l(l + 1)′′2Rl + Rl + k −Rl = 0.(9.8)rr2Введем переменную x = kr и новую неизвестную функцию χl (r) = Rl (r)r.
В результате этой замены уравнение (9.8) превращается в одномерное стационарное уравнениеШредингера:l(l + 1)′′χl + 1 −χl = 0.r2При l = 0 это уравнение легко решается: χ0 = sin x, а второе решение R0 = cos x/xмы вынуждены отбросить как имеющее особенность при x = 0.√Теперь выполним другую замену неизвестной функции R = u(x)/ x. В результатеимеем:" #1 2l+12u′′ + u′ + 1 −u = 0.xx2Это уравнение — уже знакомое нам уравнение Бесселя (8.2), но для функций с полуцелым индексом u = Jl+1/2 (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
