1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775)
Текст из файла
Е. А. Кузнецов, Д. А. ШапироМЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть IНовосибирск, 2011МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра теоретической физикиЕ. А. Кузнецов, Д. А.ШапироМЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть Iкурс лекцийНовосибирск2011УДКББКККузнецов Е.А., Шапиро Д.А. Методы математической физики: курс лекций// Новосибирский государственный университет, 2011. Ч.I. 131 стр.Представлен курс лекций по математическим методам физики для студентов 3-гокурса физического факультетов НГУ. Авторы читают лекции по данному курсу с 1985года.
Курс охватывает следующие разделы: уравнения в частных производных первого порядка, системы линейных уравнений, линейные уравнения второго порядка,автомодельные решения и бегущие волны, разделение переменных в ортогональныхкоординатах и метод Фурье, специальные функции: полиномы Лежандра, Эрмита иЛагерра, функции Бесселя и Неймана, гипергеометрические функции Гаусса и Куммера, методы перевала и усреднения. В приложение вынесены основные формулы поспециальным функциям.Рецензентчлен-корр.
РАН И. Б. ХрипловичИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственногообразовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.ISBNc Новосибирский государственныйуниверситет, 2011c Кузнецов Е. А., Шапиро Д. А.,2011Оглавление1. Уравнения в частных производных1.1. Основные понятия .
. . . . . . . . . .1.2. Примеры из физики . . . . . . . . . .Колебания струны . . . . . . . . . . .Гидродинамика идеальной жидкостиУравнения Максвелла . . . . . . . . .Уравнение Шредингера . . . . . . . .Уравнение теплопроводности . . . . .1.3. Методы решения . . . . . . . . . . . .1.4. Рекомендуемая литература . . . . . ..........667781010111213........151515171920222425.....2727293031334. Метод годографа4.1. Преобразование годографа . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .4.2. Потенциал χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Политропный газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353536372. Уравнения первого порядка2.1.
Линейные уравнения . . . . . .Однородное уравнение . . . . .Задача Коши . . . . . . . . . . .Неоднородное уравнение . . . .2.2. Квазилинейные уравнения . . .Уравнение Хопфа . . . . . . . .2.3. Нелинейные уравнения . . . . .Уравнение Гамильтона — Якоби.............................................................................................................3. Системы линейных уравнений3.1.
Характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Канонический вид гиперболической системы .3.3. Формула Даламбера . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Инварианты Римана . . . . . . . . . . . . . . .Дополнение: Неоднородное волновое уравнение . .3....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................4ОГЛАВЛЕНИЕ5. Канонический вид уравнений 2-го порядка5.1.
Случай двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Случай многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3939426. Автомодельность и бегущие волны6.1. Понятие автомодельности . . . .
. . . . .6.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . .Линейное уравнение теплопроводности .Нелинейное уравнение теплопроводностиУравнение Бюргерса . . . . . . . . . . . .Уравнение Кортевега — де Вриза . . . .......464647495152537. Разделение переменных7.1. Полное разделение переменных . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .7.2. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5555598. Разделение переменных в цилиндрических координатах8.1. Задача о круглой мембране . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Функции Бесселя . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .Разложение в ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Рекуррентное соотношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Интегральные представления и производящие функции . .Соотношение ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . .......636365656666699. Разделение переменных в сферических координатах9.1. Частица в центральном поле . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .9.2. Угловое уравнение. Функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Радиальное уравнение. Сферические функции Бесселя . . . . . . . . . .7171727610.Аналитическая теория дифференциальных10.1. Канонический вид . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Разложение вблизи обыкновенной точки . .10.3.
Разложение вблизи особой точки . . . . . .10.4. Критерий Фукса . . . . . . . . . . . . . . . .10.5. Уравнения класса Фукса . . . . . . . . . . .............................................................уравнений. . . . . . . ..
. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .11.Гипергеометрические функции11.1. Функция Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2. Вырожденная гипергеометрическая функция . . . . . .11.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лагерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции параболического цилиндра. Полиномы Эрмита.............................................................................................................................787879818384........................................................8686878888888990ОГЛАВЛЕНИЕ5Дополнение: Свойства полиномов Лагерра . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .9112.Асимптотические методы12.1. Асимптотическое разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Метод Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Метод стационарной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .9393949713.Метод перевала13.1. Седловая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Топологический и аналитический этапы . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .10010010110314.Метод усреднения10914.1. Усредненное уравнение. Преобразование Боголюбова — Крылова . . . . 11014.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Приложение: Сводка формул по специальным функциям1. Гамма-функция Эйлера . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Гипергеометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функция Гаусса 2 F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функция Куммера 1 F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .3. Цилиндрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Бесселя Jν и Неймана Yν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Функции Бесселя целого порядка Jn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Модифицированная функция Бесселя Iν и функция Макдональда Kν(1)(2)Функции Ганкеля Hm , Hm . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Ортогональные полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лежандра Pl и присоединенные функции Лежандра Plm .Сферические гармоники Ylm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .Полиномы Эрмита Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Полиномы Лагерра Lνn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............118118118118119119119121121122123123124124125Список литературы127Предметный указатель131Лекция 1.Уравнения в частных производных1.1.Основные понятияОпределение 1.1 . Уравнением в частных производных называется уравнение∂u ∂ 2 u ∂ 2 u∂mu∂u= 0,(1.1)F x; u;,...,;,, .
. . , k1∂x1∂xn ∂x21 ∂x1 ∂x2∂x1 . . . ∂xknnгде F — произвольная функция многих переменных, которую мы будем полагать гладкой, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) — действительный вектор из n-мерного евклидова пространства Rn , u = u(x) — неизвестная функция1 , k1 + k2 + · · · + kn = m.Мы не будем обсуждать степень гладкости функции F , полагая ее дифференцируемой столько раз, сколько нам потребуется. Порядком уравнения называется порядокm старшей производной, входящей в (1.1).Если функция F является линейной относительно u и ее производных, то такоеуравнение называется линейным.
Линейное уравнение можно записать в виде(1.2)L̂u = b(x),гдеL̂ = a0 (x) +nXi=1ai1 (x)∂+∂xi kXak21 k2 ... kn (x) k1∂x11 .k2 ,...,kn >0k1 +k2 +···=2+Xakm1 k2 ... kn (x)k1 .k2 ,...,kn >0k1 +k2 +···=m∂2+ .... . . ∂xknn∂m−∂xk11 . . . ∂xknnлинейный оператор. Если b 6= 0, то решение уравнения (1.2) может быть записано спомощью обратного оператора L̂−1 :u = u0 + L̂−1 b,1В примерах для координат мы будем использовать обозначения x, y, z вместо x1 , x2 , x3 .61.2. Примеры из физики7где u0 подчиняется линейному однородному уравнению L̂u0 = 0. Решение однородногоуравнения в силу линейности оператора, L̂(u1 + u2 ) = L̂u1 + L̂u2 , представимо в видесуммы решений. Поскольку оператор L̂ является дифференциальным, то обратный кнему оператор L̂−1 уже является интегральным.В большинстве стандартных курсов по уравнениям математической физики обычно ограничиваются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка.
Вданном курсе помимо линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков мы рассмотрим также нелинейные дифференциальные уравнения: уравнениеГамильтона — Якоби, уравнение Бюргерса, уравнение Кортевега — де Вриза (КДВ) идр.Общим решением называется решение, зависящее от произвольной функции. Здесьпроявляется отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых общее решение зависит от произвольных постоянных.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
