1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Это эквивалентно соотношению du = ρc dρ или наличию функциональной зависимости между u и c: c = c(u).В этом случае уравнение (3.15) для инварианта J+ , равного 2u, приводится к одному(квазилинейному) уравнению:ut + (u + c(u))ux = 0,(3.16)которое после замены переменных U = u + c(u) превращается в уравнение Хопфа(2.15)Ut + UUx = 0.Решение уравнения Хопфа подробно рассмотрено нами в предыдущей лекции.
Напомним, что уравнение Хопфа описывает явление опрокидывания. Очевидно, что этимже свойством обладают как уравнение (3.16), так и сами уравнения гидродинамики(3.13). Подчеркнем, что простая волна Римана является частным интегралом уравнений (3.13). В дальнейшем мы покажем, как с помощью метода годографа может бытьпостроен общий интеграл уравнения гидродинамики (3.13) (лекция 4.).Дополнение: Неоднородное волновое уравнениеПокажем теперь, как решение неоднородного одномерного волнового уравнения сначальными условиямиψtt − ψxx = p(x, t),ψ(x, 0) = q(x), ψt (x, 0) = h(x)(3.17)можно свести к уже рассмотренным задачам в два этапа.
Разобьем сначала неоднородную задачу на две задачи Коши, называемые полуоднородными:wtt − wxx = 0,vtt − vxx = p(x, t),w(x, 0) = q(x), wt (x, 0) = h(x)v(x, 0) = 0, vt (x, 0) = 0.(3.18)(3.19)Первая задача представляет собой задачу Коши для однородного волнового уравнения, решение которой нам уже известно, и задается с помощью формулы Даламбера(3.11). Второе уравнение – неоднородное, с правой частью p(x, t) и нулевыми начальными условиями. Очевидно, что в силу линейности сумма решений задач (3.18) и343.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ(3.19) ψ = w(x, t) + v(x, t) удовлетворяет исходному уравнению (3.17). Таким образом, остается найти решение задачи (3.19). Для этого рассмотрим вспомогательнуюзадачу:utt − uxx = 0, u(x, t, τ )|t=τ = 0, ut (x, t, τ )|t=τ = p(x, τ ).(3.20)Здесь τ — параметр, задающий однопараметрическое семейство вспомогательных задач, начальные условия которых ставятся при t = τ . Вспомогательную задачу можнорешить с помощью формулы Даламбера (3.11), если заметить, что решение уравненияс постоянными коэффициентами может зависеть только от разности t − τ :x+(t−τZ )1u(x, t, τ ) =2p(x′ , τ ) dx′ .x−(t−τ )Теперь покажем, что интеграл вспомогательной функции u по параметру τv(x, t) =Ztu(x, t, τ ) dτ0дает решение задачи (3.19). Для этого, дифференцируя, найдем vt = u(x, t, τ )|τ =t +Rtu (x, t, τ ) dτ. Первое слагаемое обращается в нуль в силу первого начального усло0 tRtвия (3.20).
Можно продифференцировать еще раз и найти vtt = ut (x, t, τ )|τ =t + 0 utt dτ.Первое слагаемое обращается в p(x, t) в силу второго начального условия (3.20). Остается дифференцирование по x как по параметру. Применяя одномерный операторДаламбера, получимv ≡ vtt − vxx =Ztu(x, t, τ ) dτ = p(x, t).0Утверждение доказано. Таким образом, решение исходной неоднородной задачи (3.17)выписывается в виде11ψ(x, t) = [q(x − t) + q(x + t)] +22Zx+tZt1′′h(x , t) dx +dτ2x−t0x+(t−τZ )p(x′ , τ ) dx′ .x−(t−τ )Лекция 4.Метод годографа4.1.Преобразование годографаВ данной лекции мы покажем, как с помощью преобразования годографа [30] может быть найден общий интеграл квазилинейных уравнений одномерной газовой динамики (3.13):c2(4.1)ρt + uρx + ρux = 0, ut + uux + ρx = 0.ρСуть этого метода состоит в замене местами неизвестных функций и независимых переменных.
Для уравнений (4.1) вместо u = u(x, t), ρ = ρ(x, t) ищутся обратные зависимости x = x(u, ρ), t = t(u, ρ). Такого рода преобразования хорошо известны в курсахклассической механики и термодинамики [33], они называются преобразованиями Лежандра. Особенность преобразования годографа применительно к одномерным уравнениям гидродинамики состоит в том, что обратные функции x = x(u, ρ), t = t(u, ρ)подчиняются линейным уравнениям первого порядка, а производящая функция этогопреобразования — линейному уравнению второго порядка.Итак, первая задача применения этого метода состоит в пересчете всех производных, входящих в (4.1), через производные∂t ∂x ∂t ∂x,,,.∂ρ ∂ρ ∂u ∂uНаиболее простой способ такого пересчета основан на применении якобианов и ихсвойств.
В качестве примера рассмотрим производную ρt . Это частная производная,взятая при постоянном x; она преобразуется через якобианы следующим образом:ρt ≡где∂(ρ, x)∂(ρ, x) ∂(ρ, u)1 ∂x==,∂(t, x)∂(ρ, u) ∂(t, x)J ∂u ∂t∂(t, x)J=≡ ∂ρ∂t∂(ρ, u)∂u35∂x ∂ρ ∂x —∂u364. МЕТОД ГОДОГРАФАякобиан преобразования годографа. Аналогичным образом вычисляются остальныепроизводные:1 ∂t1 ∂x1 ∂tρx = −, ut = −, ux =.J ∂uJ ∂ρJ ∂ρПодставляя эти выражения в систему (4.1), видим, что множитель J −1 сокращается,для t и x получается система линейных уравнений первого порядка:∂t∂t∂x−u+ρ= 0,∂u∂u∂ρ−∂x c2 ∂t∂t−+u= 0.∂ρρ ∂u∂ρ(4.2)Второе уравнение этой системы может быть переписано в виде−∂c2 ∂t(x − ut) =∂ρρ ∂uили−∂∂t(x − ut) =,∂w∂u(4.3)где w – энтальпия, для изэнтропических течений зависящая только от плотности.
Длянее dw = c2 (ρ) dρ/ρ.Теперь от системы линейных уравнений мы перейдем к одному уравнению второгопорядка для нового потенциала χ – производящей функции преобразования годографа.4.2.Потенциал χВначале для скорости введем потенциал φ: u = φx . Тогда уравнение Эйлера удаетсяодин раз проинтегрировать:φ2φt + x + w = 0.(4.4)2Константа интегрирования определяет начало отсчета энтальпии, поэтому несущественна. Отсюда можно записать дифференциал потенциала скорости: 2u+ w dt + u dx.dφ ≡ φt dt + φx dx = −2Здесь потенциал φ зависит от старых переменных t, x.
Чтобы перейти к новым переменным ρ, u, вместо потенциала φ нужно ввести новый потенциал χ, собственнымипеременными которого будут переменные ρ, u (удобно в дальнейшем вместо ρ использовать функцию w(ρ)). Переход к новым переменным в потенциале осуществляется спомощью преобразования Лежандра, как это делается в термодинамике [33]: 2u+ w t − ux, dχ = t dw − (x − ut) duχ(w, u) = φ +2откудаt=∂χ,∂wx − ut = −∂χ.∂u(4.5)4.3. Политропный газ37Эти соотношения задают искомую замену переменных x = x(u, ρ), t = t(u, ρ) посредством потенциала χ(w, u) – производящей функции преобразования.Подстановка выражений (4.5) в уравнение Эйлера (4.3) дает тождество.
Инымисловами, функция χ(w, u) является интегратором уравнения (4.3). Она имеет тот жесмысл, что скалярный и векторные потенциалы для уравнений Максвелла. Нахождение интегратора для (4.3) можно рассматривать как другой способ введения потенциала χ(w, u).Уравнение для χ(w, u) получается из уравнения непрерывности (первое уравнениесистемы (4.2)) при подстановке соотношений (4.5):c2∂ 2 χ ∂ 2 χ ∂χ−+= 0.∂w 2 ∂u2 ∂w(4.6)Полученное уравнение отличается от одномерного волнового только последним слагаемым с первой производной и зависимостью скорости c от плотности. Но и этихнебольших различий хватает, чтобы оно не решалось в общем виде.
Рассмотрим частный случай политропного газа, где иногда удается выписать решение.4.3.Политропный газДля политропного газа уравнение состояния pρ−γ = const. Для такого газа энтальпия и скорость звука явно выражаются через энтальпию w:Z 2pc dργ pdp2=γ , w==⇒ c2 = (γ − 1)w.c =dρρργ −1ρРассмотрим частный случай, когда показатель адиабатыγ=2n + 35 7= 3, , , .
. . ,2n + 13 5где n — целое положительное число. Значение γ при n = 0 соответствует показателюадиабаты газа с одной степенью свободы. Такая ситуация реализуется для газа заряженных частиц в сильном магнитном поле, когда движение поперек магнитного полясильно заморожено, остается движение только вдоль поля. Два следующих значения γ при n = 1, 2 отвечают показателю адиабаты для одноатомного и двухатомногомолекулярного газа.Оказывается, что при таких дискретных значениях γ можно найти общий интегралдля уравнения на потенциал χ(w, u).
Мы получим эти решения по индукции, начав сn = 0, а затем выполнив переход n −→ n + 1.При n = 0 уравнение (4.6) для χ = χ0 имеет вид2w∂ 2 χ0 ∂ 2 χ0 ∂χ0−+= 0.∂w 2∂u2∂w(4.7)384. МЕТОД ГОДОГРАФА√С помощью замены переменной ξ = 2w это уравнение сводится к одномерномуволновому∂ 2 χ0 ∂ 2 χ0−= 0,∂ξ 2∂u2общее решение (3.9) которого известно. Отсюда√√χ0 (w, u) = f ( 2w − u) + g( 2w + u).Отметим, что переход к переменной ξ в уравнении (4.7) есть частный случай приведения линейного уравнения второго порядка к каноническому виду, которое будетрассмотрено в лекции 5..Уравнение для χn2w ∂ 2 χn ∂ 2 χn ∂χn−+=02n + 1 ∂w 2∂u2∂wпродифференцируем по w. Умножая его на (2n + 1)/(2n + 3), находим:2w ∂ 3 χn 2n + 1 ∂ 3 χn∂ 2 χn−+= 0.2n + 3 ∂w 32n + 3 ∂w∂u2∂w 2Нетрудно убедиться, что для первой производной потенциала ∂χn /∂w почти получилось (n + 1)-е уравнение.
Чтобы убрать лишний множитель во втором слагаемом и тем самымзавершить второй шаг индукции, изменим масштаб переменнойpu −→ u′ = u (2n + 3)/(2n + 1). В итоге получаем рекуррентную формулу:!r2n + 3∂u, w =χn (u, w).χn+12n + 1∂wПо известному χ0 мы теперь можем построить решение для любых n.Полученное решение представляет собой общий интеграл уравнения (4.6) для заданных значений γ, который зависит от двух произвольных функций f и g. Решениеуравнений гидродинамики (4.1) получается отсюда с помощью соотношений (4.5). Врезультате решение записывается в неявном виде.Следует сказать несколько слов о частном интеграле уравнений гидродинамики(4.1) в виде простой волны Римана.
Как мы видели в прошлой лекции, для этогорешения плотность ρ и скорость u функционально связаны между собой: ρ = ρ(u).В этом случае J −1 = 0. Поэтому при выводе уравнения (4.2), когда мы сокращаеммножитель J −1 , этот частный интеграл теряется. Более подробную информацию обэтом можно найти в [30].В заключение этой лекции укажем на несколько других интересных примеров сведения нелинейных уравнений к линейным методом годографа, которые приведены всправочнике [47].Лекция 5.Канонический вид уравнений 2-гопорядка5.1.Случай двух переменныхЛинейное уравнение второго порядка на неизвестную функцию u, зависящую отдвух переменных x, y, записывается в видеL̂u = f,L̂u ≡ a uxx + 2b uxy + c uyyf = Aux + Buy + Cu + f0 .(5.1)Здесь a, b, c, A, B, C, D, f0 — заданные функции x, y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
