1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Уравненияразных типов требуют разных постановок задачи. Ниже мы рассмотрим методы решения уравнений и будем обсуждать постановки задач по мере изучения разных типовуравнений.1.3.Методы решенияВ таблице 1.1 перечислены основные методы решения уравнений в частных производных. Аналитические методы обычно основаны на сведении уравнения в частныхпроизводных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений. Хотя последние имеют явное решение достаточно редко, но справедливо считаются более простыми.
Сама возможность свести к обыкновенным уравнениям встречается очень редко.Счастливым исключением являются уравнения первого порядка, которые решаются (в том смысле, что сводятся к обыкновенным) методом характеристик. Методомхарактеристик решаются иногда и линейные уравнения второго порядка гиперболического типа и некоторые системы. Метод характеристик рассмотрен в лекциях 2–5.Для применимости автомодельных подстановок требуется симметрия уравненияотносительно масштабных преобразований независимых переменных (см. лекцию 6).Для того, чтобы в уравнении разделялись переменные, необходима высокая геометрическая симметрия самого уравнения и граничных условий.
Разделению переменныхпосвящена лекция 7.Для линейных уравнений имеются и другие аналитические методы. Прежде всего,это метод Фурье, рассмотренный в лекции 7 с многими примерами (лекции 8 и 9), атакже метод интегральных преобразований, который применим только к линейнымуравнениям с постоянными коэффициентами. Фактически возможность использования метода интегральных преобразований также связана с симметрией уравнений,в данном случае с трансляционной инвариантностью.
Иногда уравнение удается решить, если коэффициенты не постоянны, а линейны по пространственным переменным. Тогда интегральное преобразование понижает порядок уравнения. Линейныенеоднородные уравнения часто удается решить с помощью метода функций Грина.Если симметрии нет, применяются численные методы. Для численного решения1.4. Рекомендуемая литература13не слишком важно: линейное уравнение или нелинейное, какого оно порядка, естьли симметрия. На первый план выходит вопрос о размерности, не слишком существенный для аналитических методов.
Если для решения с необходимой точностьюна компьютере нам нужно 104 точек вдоль каждой оси, то двумерная задача требует108 точек, трехмерная — 1012 , а четырехмерную невозможно решить даже на самомсовременном суперкомпьютере. Численные методы разнообразны и хорошо развиты.Они не рассматриваются в данном курсе, но их знание — необходимый элемент современного образования. Наилучшие результаты в науке и технике получаются приудачном сочетании применения аналитических и численных методов.После разделения переменных в линейных уравнениях математической физикиполучаются обыкновенные дифференциальные уравнения того же порядка. Коэффициенты последних зависят от независимой переменной и их решение часто сводитсяне к элементарным, а к специальным функциям.
Лекции 8, 9 посвящены обыкновенным уравнениям, возникающим при разделении переменных в цилиндрических либосферических координатах. Там же выводятся простейшие свойства цилиндрических исферических функций: разложение в ряды, рекуррентные соотношения, интегральныепредставления, соотношения ортогональности. Лекции 10, 11 посвящены теории более общих специальных функций — гипергеометрических, которые в частных случаяхсводятся к цилиндрическим, сферическим и многим другим специальным и элементарным функциям. Излагать теорию гипергеометрических рядов можно по-разному,мы выбрали подход Фукса на основе аналитической теории обыкновенных уравнений.Последний раздел — простейшие асимптотические методы — состоит из 12-й лекции, где изложены простейшие методы оценки интегралов (оценка интеграла типаЛапласа и метод стационарной фазы), 13-й лекции, в которой рассмотрен более сложный и общий метод перевала, и 14-й лекции, посвященной методу усреднения дляобыкновенных дифференциальных уравнений.1.4.Рекомендуемая литератураГлавная цель обучения студентов-физиков математическим методам — научить ихрешать разнообразные задачи.
Задачи по уравнениям в частных производных, многие из которых снабжены подробными решениями, можно найти в сборнике [24]. Егосодержание примерно соответствует настоящим лекциям. Для более детального усвоения материала, в том числе разделов, не включенных в нашу программу, можнодополнительно решать задачи из других сборников, например из [11, 13, 15, 16, 35, 51].Решения некоторых линейных уравнений в частных производных можно найти в справочниках [7, 21, 48].
Однако без знания основ теории невозможно читать физическуюлитературу и даже в справочнике бывает трудно разобраться.Подробное теории уравнений в частных производных можно найти во многих книгах, среди которых учебник Годунова [17], выделяющийся строгостью и доступностьюизложения. Наиболее полная теория уравнений в частных производных представленав классических монографиях [28, 29, 40, 55]. Учебники [12, 39, 45, 49, 52–54] предназна-141. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХчены для студентов-математиков, поэтому содержат более общие утверждения. В качестве введения в предмет можно также рекомендовать зарубежные университетскиеучебники [6, 36, 61] для физиков, в которых изложение не такое общее и начинаетсяс более простых вопросов, чем в данном курсе: с правил вычисления производных иопределителей.
Мы предполагаем, что студент уже знаком с курсами линейной алгебры, математического анализа, теории функций комплексной переменной, обыкновенными дифференциальными уравнениями и основами функционального анализа.Можно порекомендовать книгу [41], в основном соответствующую программе нашегокурса, где приведено много простых разнообразных примеров. Дополнительные ссылки на литературу по отдельным разделам приведены в соответствующих лекциях.Лекция 2.Уравнения первого порядка2.1.Линейные уравненияОднородное уравнениеУравнение вида∂u= 0,(2.1)∂xгде a(x) = (a1 , a2 , . .
. , an ), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) — n-мерные векторы, является линейнымоднородным уравнением в частных производных первого порядка, если компонентывектора коэффициентов a не зависят от неизвестной функции u.a(x)Определение 2.1 . Уравнением характеристик называется система обыкновенныхуравненийẋ = a(x),(2.2)где точкой обозначена производная по параметру τ, который для динамической системы (2.2) играет роль времени.Система (2.2) содержит n уравнений, поэтому она имеет n первых интегралов(функций от x и τ , которые сохраняются при изменении τ ). Все множество первыхинтегралов называют полным интегралом. Поскольку данная система является автономной (т.
е. ее правая часть не содержит явной зависимости от τ ), то она имеет n − 1первых интегралов, не зависящих явно от параметра τ :F1 (x) = const, . . . , Fn−1 (x) = const.Фиксация функций Fi = Ci (где Ci — константы) задает кривую в пространстве Rn .Эти кривые называются характеристиками. Очевидно, что характеристики представляют собой траектории для динамической системы (2.2).Через первые интегралы Fi выражается общее решение или общий интеграл уравнения (2.1):u(x) = g(F1 (x), . .
. , Fn−1 (x)),(2.3)15162. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКАгде g — произвольная гладкая функция своих аргументов. Важно при этом, что решение (2.3) сохраняется несмотря на изменение параметра τ вдоль характеристики. Этоозначает, в частности, что определение характеристики не зависит от выбора самогопараметра — здесь имеется определенная свобода, о чем мы ещё будем говорить.Убедиться в том, что данная формула есть решение, можно подставив функцию(2.3) в уравнение (2.1), затем заменить a(x) согласно (2.2) и воспользоваться постоянством первых интегралов Fi вдоль характеристик:nnn−1n−1X X ∂g ∂FjX ∂g dFj∂u X ∂ua=ẋi=ẋi== 0.∂x∂xi∂Fj ∂xi∂Fj dτi=1i=1 j=1j=1Формулы (2.3) имеют наглядный геометрический смысл, что отражено, например,в книгах Арнольда [2, 5]. Уравнение (2.1) означает, что производная функции u(x)вдоль направления вектора a равна нулю.
Следовательно, решение уравнения (2.1)постоянно вдоль ≪силовых линий≫ этого поля — характеристик. Чтобы решить уравнение (2.1) методом характеристик, надо восстановить интегральные кривые по полюнаправлений. В каждой точке имеется одно направление вдоль характеристик (координата τ , параметризующая данную кривую) и n − 1 направление в ортогональномдополнении (F1 , . .
. , Fn−1 ). Уравнение сводится к видуdu= 0,dτ(2.4)а решение дается формулой (2.3).Пример 2.1 . Рассмотрим простейший пример — уравнение ut + cux = 0, где t — время,x — координата, а c = const, имеющая размерность скорости. Уравнения характеристикdtdx= 1,=cdτdτимеют решение t = τ + C1 , x = ct + C2 . Отсюда видно, что время t совпадает с τ сточностью до сдвига C1 (общее свойство автономной системы (2.2)). Эта константа неимеет никакого отношения к интегралам F , без ограничения общности ее можно считать равной нулю, так что t = τ .
Константа C2 представляет собой искомый интеграл.Очевидно, что C2 есть значение x при t = 0, которое будем обозначать через x0 , т. е.x0 = x−ct. Соответственно общее решение уравнения имеет вид u = u0 (x0 ) ≡ u0 (x−ct),где u0 (x) есть значение u при t = 0. Данное решение описывает распространение волны вправо со скоростью c без изменения своего профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
