1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Слагаемые L̂u, содержащие вторые производные, называются главной дифференциальной частью. Главная дифференциальная часть определяет тип уравнения.Поскольку уравнение (5.1) второго порядка, то для этого уравнения на кривой γв задаче Коши необходимо помимо значения функции u задавать ее производные uxи uy .Далее будем действовать по той же схеме, что и для системуравнений первого порядка, т. е.
строить разложение решенияyв окрестности точки (x0 , y0 ), лежащей на начальной кривой γ:(x 0 , y0 )xγ∂u∂u(x − x0 ) +(y − y0 )∂x∂y1 ∂2u∂2u1 ∂2u2+(x−x)+(x−x)(y−y)+(y − y0 )2 + . . .0002 ∂x2∂x∂y2 ∂y 2u(x, y) = u(x0 , y0 ) +Отметим, что первые два члена этого разложения однозначно определены, так как значения функции u и ее первых производных заданы наγ.
Квадратичные слагаемые, которые определяются вторыми производными, могутбыть найдены только из решения уравнения. Поэтому, чтобы продолжить решение вокрестность начальной точки, нужно, по крайней мере, знать вторые производные u.Как и в случае систем уравнений первого порядка, характеристиками для уравнения второго порядка (5.1) будем называть такие кривые в плоскости x, y, с которыхрешение уравнения не может быть продолжено.39405. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКАДля отыскания характеристик для уравнения (5.1) перейдем к новым криволинейным координатам α = α(x, y), β = β(x, y), предполагая прямое и обратное преобразования неособыми, т. е.∂(α, β)J=6= 0, ∞.∂(x, y)При такой замене операторы дифференцирования по x, y будут выражаться черезновые переменные по формулам∂x = αx ∂α + βx ∂β ,∂y = αy ∂α + βy ∂β ,где ∂x ≡ ∂/∂ξ и т.
д.При этих преобразованиях оператор главной дифференциальной части запишетсяв видеL̂ = a (αx ∂α + βx ∂β )2 + 2b (αx ∂α + βx ∂β ) (αy ∂α + βy ∂β ) + c (αy ∂α + βy ∂β )2 .При такой записи квадрат оператора представляет собой произведение операторов.Действие оператора дифференцирования в нем применяется ко всем функциям, стоящим справа от него. Если далее раскрыть все скобки, то в новых координатах новаяглавная дифференциальная часть будет записываться в виде˜L̂ = ã ∂α2 + 2b̃ ∂α ∂β + c̃ ∂β2 ,(5.2)а новые преобразованные функции ã, b̃, c̃ выразятся через старые с помощью соотношенийã = a αx2 + 2b αx αy + c αy2 ,b̃ = a αx βx + b (αx βy + αy βx ) + c αy βy ,c̃ = a βx2 + 2b βx βy + c βy2 .(5.3)Обратим внимание на то, что между коэффициентами ã и c̃ есть определенная симметрия: c̃ может быть получен из ã, если заменить α на β, и наоборот.Если ã = 0, то мы не сможем из уравнения найти вторую производную uαα , а следовательно, и продолжить решение в окрестность начальной точки.
Поэтому уравнениемхарактеристики будетã = a αx2 + 2b αx αy + c αy2 = 0.(5.4)Это — квадратное уравнение относительно αx , его решение дает два корня:√−b ± Dαx =αy .(5.5)aТаким образом, чтобы характеристики существовали (были действительными), необходима неотрицательность дискриминанта квадратного уравнения: D = b2 − ac ≥ 0.Если D < 0, то корни квадратного уравнения являются комплексными и в соответствии с определением введение характеристик невозможно.Рассмотрим более подробно все три случая D > 0, D = 0, D < 0 и покажем, какимобразом уравнения могут быть приведены к так называемому каноническому виду.5.1.
Случай двух переменных411◦ D > 0 — гиперболический типКвадратное уравнение (5.4) имеет два разных действительных корня (5.5). Имсоответствуют два семейства характеристик. В силу симметрии между коэффициентами ã и c̃ можно одновременно обратить в нуль оба коэффициента ã = c̃ = 0, если вкачестве новой, канонической, переменной α ≡ ξ выбрать решение уравнения (5.5) сознаком плюс, а в качестве β ≡ η — решение со знаком минус.
Легко найти, что оставшийся коэффициент b̃ = −2Dξy ηy /a 6= 0. В результате уравнение сводится к виду2b̃ uξη = f˜. Здесь в f˜ вошли все члены, не содержащие вторых производных. Разделивуравнение на 2b̃, мы приходим к каноническому виду для уравнения гиперболическоготипа˜˜uξη = f.˜Здесь f˜ — преобразованная правая часть, куда входят и первые производные.
Иногдадля гиперболических уравнений пользуются вторым каноническим видом, которыйполучается из первого заменой ξ = 12 (φ + ψ), η = 12 (φ − ψ),˜˜uφφ − uψψ = f.В частности, уравнение (3.17) имеет как раз такой вид, поэтому одномерное волновоеуравнение относится к гиперболическому типу.2◦ D = 0 — параболический типВ этом промежуточном случае имеется вырождение: квадратное уравнение (5.4)имеет только одно решение αx = −bαy /a. Возьмем α = ξ в качестве первой канонической переменной, а η выберем произвольно. Тогда обращаются в нуль коэффициентыпри uξξ и при перекрестной производной uξη .
В результате уравнение преобразуется квиду˜˜uηη = f.Это есть канонический вид уравнения параболического типа, в него не вошла втораяпроизводная по ξ.Примером уравнения параболического типа может служить одномерное уравнениетеплопроводности или диффузии (1.14):ut = uxx .(5.6)Это уравнение первого порядка по времени.3◦ D < 0 — эллиптический типПри отрицательном дискриминанте корни квадратного уравнения (5.4) комплексно сопряжены. Возьмем один из них:√−b ± i −Dαx =αy , α = ξ ± iη.a425.
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКАВ качестве канонических переменных выберем вещественную ξ и мнимую η частифункции α(x, y). Если теперь подставить α = ξ + iη в квадратное уравнение (5.4) иразделить вещественную и мнимую часть,ã = a (ξx ± iηx )2 + 2b (ξx ± iηx )(ξy ± iηy ) + c (ξy ± iηy )2 == a (ξx2 − ηx2 ) + 2b (ξx ξy − ηx ηy ) + c (ξy2 − ηy2 ) + 2 ± i [aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ] = 0,то из сравнения с уравнениями (5.3) видно, что получившаяся мнимая часть — это˜коэффициент b̃, который входит в главную дифференциальную часть при переходе к˜ − c̃.˜ Равенство нулю мнимойкоординатам ξ, η, а вещественная часть — это разность 㘘 = c̃.˜ После деления на 㘠мы приходимчасти обеспечивает b̃ = 0, а вещественной дает ãканоническому виду для уравнений эллиптического типа:˜˜uξξ + uηη = f.Примером эллиптического уравнения служит двумерное уравнение Лапласа:(5.7)uxx + uyy = 0.Упражнение 5.1 .
Покажите, что если уравнение второго порядка (5.1) свести к системе уравнений первого порядка, то классификация по типам сохранится. Сравнитес двумя примерами 3.1 и 3.2 из лекции 3..5.2.Случай многих переменныхПри n > 2 линейное уравнение второго порядка можно записать в видеaij (x)∂2u∂u= f˜(x) = bk (x)+ c(x)u + f (x),∂xi ∂xj∂xkгде по индексам i, j, k подразумевается суммирование от 1 до n, а в левой части уравнения оставлена только главная дифференциальная часть. Для классификации, какмы видели, правая часть не важна, поэтому ограничимся рассмотрением однородногоуравнения:∂2uaij= 0.∂xi ∂xjГладкая невырожденная замена переменныхy = y(x),∂∂yk ∂=∂xi∂xi ∂ykприводит главную часть к виду, аналогичному (5.2):∂2u˜˜ãkl= f,∂yk ∂ylãkl = aij∂yk ∂yl,∂xi ∂xj5.2.
Случай многих переменных43˜где в f˜ входят первые производные. Отсюда видно, что матрица коэффициентов главной дифференциальной части преобразуется в каждой точке как квадратичная формаQ = aij pi pj и тем самым задача классификации уравнений второго порядка сводитсяк классификации квадратичных форм. Последние, как известно [37], элементарнымипреобразованиями сводятся к следующему каноническому виду:Q=pXk=1qk2 −mXqk2 ,k=p+1где m 6 n — ранг квадратичной формы, т. е. число ненулевых собственных значенийматрицы aij , а p 6 m — индекс, т. е. количество положительных значений. Отсюдаполучается классификация уравнений по типам:1◦ .
p = n (все собственные значения отличны от нуля и одного знака) — эллиптический тип.2◦ . m < n (имеются нулевые собственные числа) — параболический тип.3◦ . m = n, p < n (матрица невырождена, но имеются собственные значения того идругого знака) — гиперболический тип.Замечание 5.1 . Следует отметить, что преобразование многомерных уравнений к каноническому виду неоднозначно.Пример 5.1 . Трехмерное уравнение Лапласа△u ≡∂2u ∂2u ∂2u++ 2 =0∂x2 ∂y 2∂zинвариантно относительно ортогональных преобразований координат (вращений трехмерного пространства). Действительно, если за z выбрать ось вращения, тоx′ = x cos ϕ + y sin ϕ, y ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ ⇒∂x = cos ϕ ∂x′ − sin ϕ ∂y′ , ∂y = sin ϕ ∂x′ + cos ϕ ∂y′ ⇒ ∂x2 + ∂y2 = ∂x2′ + ∂y2′ .Мы показали, что оператор Лапласа инвариантен относительно вращений.Пример 5.2 . Трехмерное2 волновое уравнение (c = 1)u =∂2u− △u = 0∂t2инвариантно относительно преобразований Лоренца:∂t = ch β ∂t′ + sh β ∂x′ ,2t′ = t ch β + x sh β, x′ = t sh β + x ch β ⇒∂x = sh β ∂t′ + ch β ∂x′ ⇒ ∂t2 − ∂x2 = ∂t2′ − ∂x2′ .В физике при определении размерности уравнения в частных производных обычно учитываются только пространственные переменные.
С математической точки зрения данное уравнение —четырехмерное.445. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКАЗамечание 5.2 . Определение типа уравнения и его канонического вида локально (относится к каждой точке), поэтому все пространство может делиться на области эллиптичности и гиперболичности. На границах областей уравнение будет параболично.Например, уравнение xuyy − uxx = 0 гиперболично в правой полуплоскости и эллиптично в левой.Замечание 5.3 .
Характеристики многомерного гиперболического уравнения не кривые, а поверхности.Вычислим характеристики для двумерного волнового уравненияL̂u = utt − uxx − uyy = 0.При переходе к новым переменным α = α(t, x, y), β = β(t, x, y), γ = γ(t, x, y) операторыдифференцирования записываются в виде∂t = αt ∂α + βt ∂β + γt ∂γ ,∂x = αx ∂α + βx ∂β + γx ∂γ ,∂y = αy ∂α + βy ∂β + γy ∂γ .Подставляя эти выражения в оператор L̂ и приводя подобные при производной ∂α2 ,находим уравнение характеристик:ã = αt2 − αx2 − αy2 = 0.Получилось уравнение первого порядка — уравнение Гамильтона — Якоби. Его решение может быть найдено с помощью метода характеристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
