1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 12
Текст из файла (страница 12)
7.2, a). Вычисляя интеграл как предел суммы вычетов при R → ∞, получим то же самое разложение решения параболического√уравнения. Для гиперболического уравнения полюсы p = ±iωi = ±i −λi лежат намнимой оси, как показано на рис. 7.2, b.Замечание 7.3 . Если уравнение неоднородное, его можно решить, разлагая правуючасть по системе функций ψn .Упражнение 7.1 . Методом преобразования Лапласа получите решение задачи Кошидля неоднородных уравнений utt = L̂u + f и ut = L̂u + f .3Для полноты системы собственных функций дифференциального оператора в бесконечномерномгильбертовом пространстве самосопряженности недостаточно.
Требуется, чтобы собственные значения были ограничены сверху (или снизу) и λn → −∞ (или → ∞) при n → ∞. Подробное изложениетеории, не предполагающей ограниченности операторов, можно найти в учебнике Михлина [39].Лекция 8.Разделение переменныхв цилиндрических координатах8.1.Задача о круглой мембранеВ данной лекции мы разделим переменные двумерного уравнения Гельмгольца вполярных координатах. В качестве физического примера рассмотрим задачу о малых гармонических колебаниях круглой мембраны радиуса a с закрепленным краем.Осцилляции мембраны описываются двумерным волновым уравнением1 ∂2u− △2 u = 0,c2 ∂t2u(a, ϕ, t) = 0,где c — скорость звука, а1 ∂21 ∂ ∂r + 2 2r ∂r ∂r r ∂ϕ— двумерный оператор Лапласа в полярных координатах.
Для гармонических колебаний мембраны частоты ω решение следует искать в виде△2 =u(r, ϕ, t) = U(r, ϕ)e−iωt .Для функции U(r, ϕ) получается спектральная задача — уравнение Гельмгольца:△2U = −k 2 U,k2 =ω2,c2U(a, ϕ) = 0,(8.1)где −k 2 представляет собой собственное значение оператора Лапласа.Уравнение (8.1) допускает разделение переменных U = R(r)Φ(ϕ):(rR′ )′Φ′′+ 2 = −k 2 .rRr ΦОтсюда на функцию Φ(ϕ) получается уравнение Φ′′ + m2 Φ = 0, где m — параметр разделения, принимающий только целые значения, как в формуле (7.6). На радиальную63648.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХYnJn110.810.62345678x-10.4-20.22468x-3-0.2-4-0.4-5Рис. 8.1. Функции Бесселя Jn (x) (слева) и Неймана Yn (x) (справа): толстая линия — n = 0, тонкая —n = 1, пунктир — n = 2, точки — n = 3часть R(r) возникает уравнениеm21 ′2R + R + k − 2 R = 0,rr′′которое с помощью замены x = kr записывается в универсальном, не зависящем от kвиде1 ′m2′′R + R + 1 − 2 R = 0.(8.2)xxЭто уравнение называется уравнением Бесселя. Решением уравнения являются функции Бесселя Jm (x) и функции Неймана 4 Ym (x), изображенные на рис.
8.1. В нашейзадаче о мембране надо искать решение, не имеющее особенностей при x = 0, поэтомуостаются только функции Бесселя.Граничные условия при r = a соответствуют требованию Jm (ka) = 0, из которогоопределяются собственные значения kmn = jmn /a, где jmn означает n-й нуль функцииБесселя порядка m. Таким образом, решение задачи Коши для волнового уравненияможно записать в виде ряда Фурье:Xu(r, ϕ, t) =(Amn cos ωmn t + Bmn sin ωmn t) Jm (kmn r)eimϕ ,m,nгде коэффициенты Amn , Bmn определяются исходя из начальных условий. Таким образом, мы решили задачу о мембране.Перейдем теперь к рассмотрению свойств функции Бесселя.
Функции Бесселя относятся к цилиндрическим функциям. В физических задачах эти функции возникаютпри разделении переменных различных уравнений в цилиндрических координатах.Сводку формул и таблицы всех цилиндрических функций можно найти в справочниках [1, 60, 62]. Там же содержатся таблицы других основных специальных функций.Теорию цилиндрических функций, а также вывод различных соотношений между цилиндрическими функциями можно найти в книге [10].4Иногда, особенно часто в физической литературе, их обозначают Nm .8.2.
Функции Бесселя8.2.65Функции БесселяРазложение в рядСначала найдем, как ведет себя решение уравнения Бесселя в нуле, положив R ∼xσ , x → 0. Старшей степенью в уравнении (8.2) будет xσ−2 . Чтобы коэффициент пристаршей степени обратился в нуль, должно выполняться условие σ 2 − m2 = 0, откуда оставляем σ = +|m|, а второй корень отбрасываем, поскольку соответствующеерешение имеет особенность при x → 0 и дается функцией Неймана Ym (x)5 . Теперь выделим степенное поведение в начале координат явно R = xm w(x), считая, что m ≥ 0.В результате подстановки в исходное уравнение получаем:w ′′ +2m + 1 ′w + w = 0.xPРешение этого уравнения ищем в виде разложения по степеням x: w =cn xn , подставляем в уравнение и затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:x−1 :c1 = 01:2c2 + 2(2m + 1)c2 + c0 = 0x:6c3 + 3(2m + 1)c3 + c1 = 0x2 :12c4 + 4(2m + 1)c4 + c2 = 0c2 = −c04(m + 1)c4 = −c28(m + 2)В левом столбце перед знаком двоеточия записана степень x, в среднем — уравнение,получившееся прираванием коэффициентов при данной степени, а в правом — получившаяся рекуррентная формула для коэффициента.
Видно, что коэффициенты принечетных степенях исчезают. Отсюда получается общая формула для коэффициентовпри четных степенях.Все коэффициенты разложения пропорциональны нормировочному коэффициентуc0 , который из уравнения найти нельзя. Его выбирают равным c0 = 2−m /m!, так,чтобы разложение функции Бесселя в ряд выглядело наиболее просто:Jm (x) =∞Xn=0(−1)n x 2n+m21.n!(m + n)!Заменяя факториалы на Γ-функцию ЭйлераZ ∞Γ(z) =tz−1 e−t dt,(8.3)(8.4)05В задачах дифракции и рассеяния иногда удобно перейти к линейным комбинациям функций(1,2)Бесселя и Неймана Hm (z) = Jm (z) ± iYm (z). Такие комбинации называются функциями Ганкеля.668.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХможно обобщить формулу (8.3) на дробные и комплексные индексы:Jν (x) =∞X(−1)nn=0 x 2n+ν21.Γ(n + 1)Γ(ν + n + 1)(8.5)В частности, для отрицательного целого ν = −m можно заменить индекс суммирования на n′ = n − m = 0, 1, . . . В этом случае суммирование начинается с n′ = 0.Предыдущие слагаемые при этом обратятся в нуль из-за того, что Γ-функция, стоящая в знаменателе, обращается в бесконечность при целых отрицательных аргументах.
Возникающая сумма снова сводится к ряду (8.3). В результате получаетсяформула J−m (x) = (−1)m Jm (x).Рекуррентное соотношениеРекуррентное соотношение для функций Бесселя может быть выведено с помощьютого же разложения (8.3):∞ X(−1)nx 2n+m+1(−1)n+=Jm−1 + Jm+1 =2n!(m+n−1)!2n!(m+n+1)!n=0n=0∞ Xm−12n+m−11xx(−1)n=+(m − 1)! 22n!(m + n − 1)!n=1′∞ ′Xx 2n +m−1(−1)n −12m+=Jm .2(n′ − 1)!(m + n′ )!x′∞ Xx 2n+m−1n =1Здесь мы в первой сумме выделили нулевое слагаемое, а во второй заменили индекссуммирования на n′ = n+1.
В результате обе суммы объединились в одну и получиласьформула2mJm−1 + Jm+1 =Jm .(8.6)xУпражнение 8.1 . Получите тем же способом рекуррентное соотношение для разности′Jm−1 − Jm+1 = 2Jm.(8.7)Такое соотношение называется формулой дифференцирования.Замечание 8.1 . Данные соотношения можно также получить используя определениефункции Бесселя как решение дифференциального уравнения (8.2).Интегральные представления и производящие функцииДвумерное уравнение Гельмгольца (8.1) имеет частное решение U(r, ϕ) = eiky , которое легко проверить в декартовых координатах. Его можно разложить по собственным8.2.
Функции Бесселя67sργРис. 8.2. Контур интегрирования γ в плоскости комплексного переменного s для представленияГанкеля функции Эйлерафункциям лапласиана в полярных координатах:ikr sin ϕe∞X=cm eimϕ Jm (kr).m=−∞Коэффициенты этого ряда Фурье находятся, как обычно, интегрированием:cm Jm (kr) =Zπexp(ikr sin ϕ − imϕ)dϕ.2π−πПоследнее соотношение справедливо при любых x = kr, поэтому можно устремитьx → 0, получится:xmcm m= lim2 m! x→0Zπ−imϕe−πn∞ iϕXe − e−iϕ(ix)n dϕ.2in!2πn=0Самый большой член суммы, не обращающийся в нуль, появляется при n = m (именнов нем содержится экспонента eimϕ , которая сократится с e−imϕ ).
Интеграл равен 2π,поэтому все коэффициенты cm = 1. Таким способом мы сразу получили интегральноепредставление и производящую функцию:Jm (x) =Zπdϕ,2π(8.8)eimϕ Jm (x).(8.9)eix sin ϕ−imϕ−πix sin ϕe=∞Xm=−∞Это представление обычно называют представлением Бесселя, оно справедливо дляцелых m.688.
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХЧтобы обобщить интегральное представление на произвольные ν, сначала выведемдве формулы. Начнем с представления Ганкеля функции Эйлера (8.4):Z11=es s−z ds,(8.10)Γ(z)2πi γгде контур γ обходит отрицательную действительную полуось (вдоль которой идетразрез) в положительном направлении (рис. 8.2). Контур интегрирования разбиваетсяна две прямые и окружность cρ радиуса ρ → 0, интеграл по окружности стремится кнулю, а по нижнему и верхнему берегам разреза сводится к одинаковому виду:12πiZγs ze s dz =Z−ρ−∞Z−∞ ZZ∞h−z−z i1++ =e−t te+iπ− te−iπdt =2πi−ρcρ0sin πz=πZ∞t−z e−t dt =sin πzΓ(1 − z).π0Чтобы окончательно получить формулу (8.10), надо еще вывести соотношениемежду Γ-функциями:πΓ(z)Γ(1 − z) =.(8.11)sin πzВоспользуемся известным выражением для B-функции ЭйлераΓ(x)Γ(y)=B(x, y) =Γ(x + y)Z10tx−1 (1 − t)y−1 dt,из которого получаетсяB(z, 1 − z) = Γ(z)Γ(1 − z) =Z10tz−1 (1 − t)−z dt.Заменой переменной t = eξ / 1 + eξ сводим его к интегралу в бесконечных пределахZ∞ezξ dξ,1 + eξ−∞который в свою очередь можно найти в таблице или вычислить методом Ватсона —Зоммерфельда как сумму вычетов в полюсах ξ = πi, 3πi, 5πi, .
. . Получится геометрическая прогрессия∞Xez(2n+1)πiπ2πi=,(2n+1)πiesin πzn=08.2. Функции Бесселя69что доказывает формулу (8.11), а следовательно, и представление Ганкеля (8.10).Вернемся к выводу интегрального представления функции Бесселя при произвольном ν. Воспользуемся разложением (8.5), где в каждом слагаемом заменим функцию1/Γ(n + ν + 1) ее интегральным представлением. Далее поменяем порядок суммирования и интегрирования и заменим переменную интегрирования s = xt/2. Тогда суммасоберется в экспоненту, а контурный интеграл останется:1Jν (x) =2πi x1dtexpt−.ν+12ttγZ(8.12)Называют эту формулу интегральным представлением Шлефли.
При целых ν разрезна рис. 8.2 не нужен, контур γ можно замкнуть, тогда заменой z = eiϕ представлениеШлефли переводится в представление Бесселя (8.8).Соотношение ортогональностиСоотношение ортогональности мы выведем из дифференциального уравнения Бесселя, записав его для двух значений k, удовлетворяющих нулевым граничным условиям Jm (k1 a) = Jm (k2 a) = 0 :m21 d dr − 2r dr drrJm (k1 r) =−k12 Jm (k1 r),1 d dm2r − 2r dr drrJm (k2 r) = −k22 Jm (k2 r).Первое уравнение умножим на Jm (k2 r), второе — на Jm (k1 r), вычтем друг из друга ипроинтегрируем по r dr от 0 до a. Затем интегрируем по частям и находим:dJm (k1 r)dJm (k2 r)r Jm (k2 r)− Jm (k1 r)drdra0=(k22−k12 )ZaJm (k1 r)Jm (k2 r)r dr.0Сразу видно, что решения с k1 6= k2 ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
