Главная » Просмотр файлов » 1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9

1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 9

Файл №532775 1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (Кузнецов, Шапиро 2011 - Методы математической физики ч1) 9 страница1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775) страница 92021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Оно представляет собойповерхность α(t, x, y) = const. Геометрически можно понять, как устроена данная поверхность. Компоненты вектора градиента (τ, ξ, η) = (αt , αx , αy ) удовлетворяют уравнению конусаτ 2 − ξ 2 − η 2 = 0.Градиент α(t, x, y) ортогонален поверхности α(t, x, y) = const. Значит и характеристическая поверхность будет конусом. Этот конус ограничивает верхней полостью область влияния вершины. Нижняя полость окружает область зависимости.Сечение светового конуса плоскостью t = const пересекаетtхарактеристику (поверхность конуса) по окружности, которая является волновым фронтом. Проекция нормали на ту жеплоскость есть луч, указывающий направление распространения возмущения.

В любом вертикальном сечении конуса плоскостью, проходящей через ось t, характеристики — это параoyпрямых, как и в случае одной пространственной переменной.(τ,ξ,η)Замечание 5.4 . Для квазилинейных систем характеристики (вмногомерном случае — характеристические поверхности) могут быть введены как лучи (или лучевые поверхности), вдолькоторых распространяются малые возмущения высокой частоты ω и малой длины волны λ. Высокая частота и малая длина волны означают ωT ≫ 1и λ/L ≪ 1, где соответственно T и L есть характерные время и масштаб измененияx5.2.

Случай многих переменных45основного решения. В оптике выполнение критериев ωT ≫ 1 и λ/L ≪ 1 соответствуетгеометрической оптике, а для уравнений гидродинамики (1.5, 1.6, 1.7) — геометрической акустике. Как известно, в квантовой механике эти критерии соответствуютквазиклассическому приближению.В качестве иллюстрации рассмотрим линеаризованную систему уравнений гидродинамики, которая эквивалентна уравнению акустики (1.9) - волновому уравнению,записанному для возмущения плотности ρ1 . Представим возмущение плотности в видеρ1 = exp(iS), где S — медленная фаза относительно своих аргументовpt и r.

Последнее,в частности, означает, что частота ω = St велика по сравнению с |Stt |. Аналогичный критерий предполагается выполненным для производных по пространственнымпеременным. Подставляя далее ρ1 = exp(iS) в (1.9), получим1−St2 + iStt − i △ S − (∇S)2 = 0.2cВторые производные малы в силу выполнения критериев. Пренебрегая ими, мы получим уравнение эйконала: 21 ∂S− (∇S)2 = 0.2c∂tЭто уравнение есть не что иное, как уравнение характеристик для волнового уравнения. Итак, характеристики в многомерном случае — это поверхности постояннойфазы (эйконала).Лекция 6.Автомодельность и бегущие волны6.1.Понятие автомодельностиОпределение 6.1 .

Автомодельность — это симметрия задачи, позволяющая скомпенсировать масштабные преобразования независимых переменных соответствующимрастяжением решения.При n = 2 (время t и координата x) автомодельность означает выбор новых масштабов для координаты l(t) и решения u(t), таких, что в новых переменных решениеявляется функцией одной переменной ξ:u(x, t) = A(t)f (ξ),ξ=x.l(t)(6.1)Когда такое преобразование удается найти, задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. При n ≥ 3 переход к автомодельным переменным ξ = x/l(t)понижает порядок дифференциального уравнения, по крайней мере, на единицу.

Часто преобразование проще всего найти с помощью анализа размерности физическихвеличин, входящих в уравнение. Иногда удобнее прямо анализировать преобразованиярастяжения неизвестных функций и независимых переменных и искать, какую группу преобразований допускает уравнение, т. е. какие растяжения оставляют уравнениянеизменными. Важным частным случаем автомодельных решений является решениетипа бегущей волны u(x, t) = A(t)g(x − V t), где g — функция одной переменной, а V —скорость данной волны. Легко видеть, что в этом случае замена exp(x − V t) = x̃/t̃переводит решение типа бегущей волны в (6.1). Если A(t) = const, то такое решениеописывает стационарную волну, которая распространяется с постоянной скоростьюV без искажения своего профиля. Подробности теории автомодельных решений, особенно хорошо развитой в механике сплошных сред, физике плазмы и астрофизике,можно найти в литературе, посвященной методам размерности и подобия [8,19,20,50].466.2.

Примеры6.2.47ПримерыРассмотрим четыре примера автомодельных решений. Первые два примера относятся к линейному и нелинейному уравнениям теплопроводности. В первой лекциимы привели вывод уравнения теплопроводности. Нелинейное уравнение теплопроводности отличается от линейного тем, что коэффициент теплопроводности зависит оттемпературы. Что касается двух других примеров — уравнения Кортевега — де Вриза(КДВ) и уравнения Бюргерса, то мы дадим их упрощенный вывод.Обратимся к простой волне Римана. Как было показано в третьей лекции, решение в виде простой волны Римана получается из уравнений гидродинамики, когдаодин из инвариантов Римана является константой.

В результате между скоростью uи скоростью звука c имеется функциональная зависимость c = c(u). В этом случаеуравнение (3.15) для инварианта J+ , равного 2u, приводится к одному (квазилинейному) уравнению:ut + (u + c(u))ux = 0.Для малых скоростей u ≪ c0 ≡ c(0) это уравнение в главном порядкеu t + c0 u x = 0описывает распространение звуковой волны со скоростью c0 вправо: u = u(x − c0 t).В следующем порядке это уравнение приобретает видut + c0 ux + (1 + c′ (0))uux = 0.Если перейти в систему координат, движущуюся со скоростью c0 ,t′ = t, x′ = x − c0 t,то это уравнение превращается в уравнение Хопфа (2.15):ut + (1 + c′ (0))uux = 0(здесь штрихи у t′ и x′ опущены).

Для уравнения Хопфа, как мы показали ранее,любое начальное локализованное распределение в результате эволюции опрокидывается, т. е. существует такой момент времени t = t∗ , когда на профиле скорости uвозникает бесконечная производная по x. Однако в реальных физических системахвозникновение бесконечных производных не происходит. Существуют два механизма, которые останавливают опрокидывание. Один из них диссипативный, связанныйс вязкостью и теплопроводностью. Этот механизм приводит к тому, что линейныезвуковые волны испытывают слабое затухание. Выражается это в том, что частота звуковых колебаний ω в зависимости от волнового числа k приобретает мнимуюдобавку, квадратичную относительно k:ω = kc0 − iµk 2 ,486.

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ И БЕГУЩИЕ ВОЛНЫгде µ есть обобщенный коэффициент вязкости (в дальнейшем мы его будем простоназывать коэффициентом вязкости). Данному закону дисперсии отвечает линейноеуравнениеut + c0 ux = µuxx ,в котором главным членом является второе слагаемое c0 ux , описывающее движениезвуковой волны со скоростью c0 . На фоне этого быстрого распространения член вправой части µuxx описывает более медленный процесс затухания звуковой волны.Медленным в этом случае является также процесс опрокидывания. Таким образом,при одновременном учете эффектов слабого затухания и слабой нелинейности уравнение движения записывается в видеut + c0 ux + (1 + c′ (0))uux = µuxx.Переходя в движущуюся со скоростью c0 систему координат, это уравнение приобретает вид уравнения Бюргерса:ut + uux = µuxx ,(6.2)где новое u равно старому u, умноженному на (1 + c′ (0)).Другой механизм, препятствующий опрокидыванию волны, связан с эффектомволновой дисперсии – зависимостью фазовой скорости V линейных звуковых волн отволнового числа k:V (k) = ω/k,где V (k) — аналитическая функция k, разложение которой в отсутствие диссипациипри k → 0 происходит по четным степеням k.

Это разложение при малых k записывается в видеV (k) = c0 − βk 2 .Одновременный учет слабой нелинейности и слабой дисперсии (βk 2 ≪ c0 ) приводитк уравнению Кортевега — де Вриза (КДВ):ut + 6uux + uxxx = 0.(6.3)Как и уравнение Бюргерса (6.2), это уравнение записано в системе координат, двигающейся со скоростью c0 . В этом уравнении коэффициент 6 выбран исходя из удобства,он получается после простого масштабирования.Это уравнение было выведено в конце XIX в.

Кортевегом и де Вризом для описаниядлинных гравитационных волн на поверхностижидкости малой глубины h (прибли√жение мелкой воды). В этом случае c0 = gh, где g — ускорение свободного падения,β = h2 /6 (более подробно об уравнении КДВ см., например, [23]).6.2. Примеры49Линейное уравнение теплопроводностиРассмотрим одномерное уравнение теплопроводности, которое задано на всей осиx (x ∈ (−∞, ∞)), с точечным начальным условием:ut = Duxx ,u(x, 0) = δ(x).(6.4)Далее удобно исключить коэффициент теплопроводности путем замены t → Dt. В результате уравнение записывается в видеut = uxx .Анализ размерностей выполним при преобразовании растяжения:t −→ µt,x −→ λx,u −→ νu.(6.5)Чтобы уравнение было инвариантным относительно такого преобразования, необходимо выполнение соотношения µ = λ2 . Начальное условие сохранит свой вид, когдаν = λ−1 (размерность δ-функции равна обратной размерности ее аргумента).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,41 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее