1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда мы можем написать общий вид разложения решений в окрестности начала координат:w̃1,2 = zρ1,2∞Xcn(1,2) z n ,(10.3)n=−∞(1,2)где cn — наборы коэффициентов.2◦ . Жорданова клетка отвечает преобразованиюw̃1+ = λw̃1 + w̃2 ,w̃2 = λw̃2 .Второе решение w̃2 умножается на число, поэтому имеет такой же вид (10.3) степеннойфункции, умноженной на ряд Лорана. Если разделить первое уравнение на второе, мыувидим, что отношение решений приобретает при обходе не множитель, а слагаемое:1u+ = u + ,λu≡w̃1.w̃210.4.
Критерий Фукса83Эталоном такого поведения при обходе служит логарифмическая функция f (z) =ln z, f + = f + 2πi. Чтобы добавка к функции u(z) имела правильную величину, надопоставить перед логарифмом коэффициент 1/2πiλ, тогда разность u(z) − ln z/2πiλстановится однозначной функцией, разлагающийся в ряд Лорана. Отсюда найдем,что общий вид отношения решений u в логарифмическом случае∞Xw̃1ln z=+cn z nw̃22πiλ n=−∞(10.4)представляет собой сумму логарифма и ряда Лорана.Определение 10.3 . Если в ряде Лорана (10.3) или (10.4) содержится лишь конечноечисло слагаемых с отрицательными степенями, то точка z0 называется регулярнойили правильной особой точкой уравнения (10.1). Если имеется бесконечный наборчленов с отрицательными показателями, то точка z0 называется иррегулярной илинеправильной особой точкой.10.4.Критерий ФуксаВозникает естественный вопрос: можно ли по виду коэффициентов уравненияопределить, какая у него особая точка? Ответ на него дает следующая теорема.Теорема 10.2 .
Теорема Фукса. Точка z0 является регулярной особой точкой уравнения (10.1) тогда и только тогда, когда p(z) имеет при z = z0 полюс не выше первогопорядка, а q(z) — не выше второго порядка.Достаточность следует из явного вида уравнения (10.1) в окрестности точкиz0 = 0:q0p0w ′′ + w ′ + 2 w = 0,(10.5)zzгде p0 , q0 — постоянные. Это уравнение однородное, его решение дается степеннойфункцией w = z ρ . Отсюда получаем определяющее уравнениеρ2 + (p0 − 1)ρ + q0 = 0,решение которого дает два характеристических показателя. Теперь можно искать решение уравнения (10.1) в виде w = z ρ u(z), где u — новая неизвестная функция, а ρ = ρ1или ρ2 — один из характеристических показателей.
Из решения уравнения (10.5) следует, что u = const, т. е. разложение Лорана функции u(z) не содержит отрицательныхстепеней, и поэтому z0 = 0 — регулярная особая точка. Заметим, что характеристические показатели определены с точностью до целочисленного слагаемого, поэтомув регулярной особой точке вместо общего ряда Лорана всегда можно выписать разложение в ряд Тейлора. Если q0 = 0, то один из характеристических показателейполучается целым.8410. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙНеобходимость можно продемонстрировать, записывая оба решения в виде произведения степенной функции на аналитическую: w1,2 = z ρ1,2 u1,2 (z). Функцию p(z)тогда можно определить из вронскиана p = −(ln ∆)′ .
В окрестности точки z0 = 0 разложение p имеет полюс первого порядка: p ∼ (1 − ρ1 − ρ2 )/z. Функцию q(z) найдем изуравнения q = −w ′′ /w − pw ′ /w. Отсюда следует, что q имеет полюс не выше второгопорядка: q0 = ρ1 ρ2 .Замечание 10.1 . Для бесконечно удаленной особой точки замена независимой переменной t = 1/z переведет особую точку в t = 0.
Далее остается применить теоремуФукса к задаче:q(1/t)2 p(1/t)ẅ +−ẇ +w = 0.(10.6)2ttt4Отсюда следует, что для регулярности точки z = ∞ функция p(z) должна иметьна бесконечности нуль не ниже первого порядка, а функция q(z) — не ниже второгопорядка.10.5.Уравнения класса ФуксаТеперь мы знаем, как локально определить тип особой точки. Перейдем к рассмотрению глобальных свойств уравнений на всей комплексной плоскости. Оказывается,регулярность особых точек (если их немного) накладывает сильные ограничения науравнение.Определение 10.4 .
Уравнение принадлежит к классу Фукса, если на всей расширеннойкомплексной плоскости оно имеет только регулярные особые точки.Для уравнений класса Фукса, пользуясь теоремой 10.2 , можно выписать функцииp, q в виде разложения по полюсам в точках z = αk :X BkX AkCkp(z) =, q(z) =+,z − αk(z − αk )2 z − αkkkгде все точки αk лежат на конечном расстоянии. Требование регулярности для бесконечной точки (при этом согласно (10.6) разложениеq̃(t) =q(1/t)B∞ C∞→+t4t2tпри t → 0) дает ограничение на коэффициенты Ck :XkCk = 0.(10.7)10.5. Уравнения класса Фукса85Рис. 10.2. Уравнения класса Фукса с одной, двумя, тремя и четырьмя особыми точками (слеванаправо)1. Одна регулярная особая точка.
В качестве такой точки можно взять z = ∞.Тогда все коэффициенты Ak = Bk = Ck = 0 и уравнение приобретает простойвид w ′′ = 0. Решение — линейная функция w(z) = c0 + c1 z.2. Две регулярные особые точки. Одну из этих точек можно считать находящейсяна бесконечности. Тогда в силу (10.7) коэффициент C = 0 для другой особойточки. В результате получается уравнение Эйлера: w ′′ + Az0 w ′ + Bz 20 w = 0. Уравнение оказалось однородным, поэтому заменой ζ = ln z сводится к уравнению спостоянными коэффициентами. Если обе особые точки находятся на конечномрасстоянии, то с помощью дробно-линейного преобразования z → (z−α1 )/(z−α2 )переводим точку α2 в бесконечность.3.
Три регулярные особые точки. Переводим с помощью преобразования z → (z −α1 )(α2 − α3 )/(z − α3 )(α2 − α1 ) особые точки в стандартные положения α1 → 0,α2 → 1, α3 → ∞. В этом случае уравнение сводится к гипергеометрическомууравнению Гаусса, которое мы выпишем в следующей лекции.4. Четыре регулярные особые точки и более. Никакими дробно-линейными преобразованиями не удается перевести особые точки в стандартные положения,поэтому каждое уравнение надо рассматривать отдельно, и для таких специальных функций полная теория до сих пор не построена.На рис. 10.2 схематически показано стандартное положение особых точек на сфере Римана. Одна особая точка всегда может быть переведена на «северный полюс»сферы.
Две особые точки уравнения Эйлера можно преобразовать в полюса сферы.Три особые точки уравнения Гаусса можно дробно-линейным преобразованием расположить в полюсах, соответствующих z = 0, ∞ и на «экваторе» z = 1. Четыре особыеточки никаким дробно-линейным преобразованием невозможно перевести в заданныестандартные места сферы Римана.Цель, поставленная в начале лекции, достигнута. Исследование уравнения с полиномиальными коэффициентами сводится к подсчету числа полюсов и их порядка. Если в расширенной комплексной плоскости C имеется одна или две регулярные особыеточки, решение уравнения — элементарная функция. Если регулярных особых точектри, решение находится в классе гипергеометрических функций, а если четыре илибольше — то анализ кардинально усложняется.Лекция 11.Гипергеометрические функции11.1.Функция ГауссаГипергеометрическое уравнения Гауссаz(1 − z)w ′′ + [γ − (α + β + 1)z] w ′ − αβw = 0.(11.1)имеет три регулярные особые точки z = 0, 1, ∞.
На сфере Римана они расположенына полюсах и экваторе (рис. 11.1, a). Если искать решение в виде ряда, выбрать c0 = 1и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях, то получится гипергеометрический ряд, или гипергеометрическая функция (Гаусса):w = 2 F1 (α, β; γ; z) = 1 +α(α + 1)β(β + 1) z 2αβ z++···γ 1!γ(γ + 1)2!(11.2)Здесь α, β, γ — параметры, а z — переменная. Точка с запятой отделяет параметры вчислителе, знаменателе и переменную. Нижний индекс слева указывает количествопараметров в числителе, а справа — в знаменателе каждого слагаемого.
Такие обозначения пришли из теории обобщенных гипергеометрических рядов, где индексы могутбыть любыми натуральными числами. Индексы в литературе чаще всего не пишут, афункции отличают друг от друга по числу параметров.Приведем несколько очевидных свойств гипергеометрической функции. Вывод этихи многих других свойств гипергеометрической функции, например, можно найти всправочнике [9].1. В единичном круге |z| < 1 гипергеометрический ряд сходится абсолютно.2. Параметры α, β входят симметрично: 2 F1 (α, β; γ; z) = 2 F1 (β, α; γ; z).3.
Если α (или β) — целое отрицательное число или нуль, то ряд обрывается истановится многочленом. Если γ (= −n) — целое отрицательное число или нуль,то ряд (11.2) не определен и надо пользоваться другим решением:w = z n+1 2 F1 (α + n + 1, β + n + 1; n + 2; z).8611.2. Вырожденная гипергеометрическая функцияab87cРис.
11.1. Схема расположения полюсов на сфере Римана для уравнений Гаусса (a), Куммера (b),Лежандра (c)Упражнение 11.1 . Найдите второе решение с помощью преобразования Лиувилляw(z) = z σ u(z). Надо подобрать σ так, чтобы новое уравнение на u стало гипергеометрическим.11.2.Вырожденная гипергеометрическая функцияОсобенно часто в задачах встречается предельный случай функции Гаусса — вырожденная (или конфлюентная, или Куммера) гипергеометрическая функция, которая дается рядом Куммера:1 F1 (α; γ; z)= limβ→∞2 F1 (α, β; γ;αzα(α + 1) z 2z)=1+++···βγ 1! γ(γ + 1) 2!(11.3)Дифференциальное уравнение получается из уравнения Гаусса (11.1) предельным переходом. Замена z → z/β переводит вторую регулярную особую точку из z = 1 вz = β. После предельного перехода β → ∞ вторая точка устремляется в бесконечностьи сливается с третьей (рис.
11.1, b). Получается вырожденное гипергеометрическоеуравнение:zw ′′ + (γ − z)w ′ − αw = 0.(11.4)1. Вырожденный гипергеометрический ряд имеет бесконечный радиус сходимости.При целом отрицательном параметре α ряд (11.3) обрывается и вырожденнаягипергеометрическая функция становится полиномом.2. Уравнение (11.4) имеет две особые точки: регулярную особую точку z = 0 схарактеристическими показателями ρ1 = 0, ρ2 = 1 − γ и иррегулярную z = ∞.Последняя образовалась из-за слияния двух регулярных точек уравнения Гаусса.Поведение одного из решений на бесконечности экспоненциальное: w ∼ ez .3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
