1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если в задаче имеется несколько неподвижных изолированных стационарных точек, через которые проходит минимаксный контур, оценка интегралаполучается из (13.6) суммированием по всем таким точкам.Замечание 13.3 . Если функция S зависит от дополнительного параметра µ, при изменении которого стационарные точки сливаются, а нам необходима равномерная поµ оценка, то интеграл сводится к другому более сложному эталонному. Подробностисм.
в справочнике [57], где приведены и другие особые случаи: слияние стационарнойточки с полюсом, концом контура интегрирования, точкой ветвления.13.3.ПримерыПример 13.1 (Функция Эйри при p → +∞). Найдем асимптотику функции Эйри вклассически запрещенной области:1Ai(p) =2πZ∞−∞ei(t) dt,3 /3+ptp → +∞.10413.
МЕТОД ПЕРЕВАЛА2 yγ1 z1420-3-2-2-1123x-4-4-2024-1z2-2Рис. 13.2. Линии Стокса функции S = i(z 3 /3 + z). Стрелками показано направление уменьшенияu(x, y). На врезке показаны линии уровня u(x, y) = const. Высокие области светлее, низкие — темнееСначала «остановим» стационарную точку:t = p1/2 z,dt = p1/2 dz,S = i(z 3 /3 + z),λ = p3/2 .Дифференцируя фазовую функцию, найдем:S ′ = i(z 2 + 1) = 0 ⇒ z1,2 = ±i,2S(±i) = ∓ ,3S ′′ (±i) = ∓2.Чтобы понять, через какую точку пройдет минимаксный контур, построим те линии Стокса, которые проходят через стационарные точки, т. е. в которых Im S(z) =Im S(z1,2 ): 3x + 3ix2 y − 3xy 2 − iy 3x3v(x, y) = Im S = Im i+ x + iy =− xy 2 + x = 0.33В результате имеем гиперболу x2 /3 − y 2 = −1 с асимптотами, наклоненными подуглами ±π/6, и прямую x = 0 (рис.
13.2).Теперь найдем секторы абсолютной сходимости интеграла. Для этого надо взятьz = Reiα при R → ∞ и посмотреть, когда вещественная часть фазы отрицательна.Получается α ∈ (0, π/3) ∪ (2π/3, π) ∪ (4π/3, 5π/3). Значит мы можем деформироватьконтур γ, проходящий по действительной оси, так, чтобы он проходил через точку z1 =i. Контур, проходящий через вторую стационарную точку, не относится ко множествудопустимых, поскольку при деформации контура его концы не должны выходить засекторы сходимости.
Можно непрерывно преобразовать контур γ в верхнюю ветвь13.3. Примеры10543y202-2-4-4-20241-3-2-1 γ2z2γ1 12z1x3-1-2-3Рис. 13.3. Линии Стокса функции S = i(z 3 /3 − z): v(x, y) = −2/3 (сплошные линии) или v(x, y) =+2/3 (пунктир). Врезка — линии уровня u(x, y) = const. Чем светлее область, тем больше высотагиперболы, не выходя за область аналитичности подынтегральной функции. Такойконтур является и допустимым, и минимаксным.Если выбрать из φ1,2 = 0, π направление φ = 0, вдоль которого ведется интегрирование, то асимптотическая оценка получается из формулы (13.6):2 3/2e− 3 pAi(p) ≈ √ 1/4 .2 πp(13.7)Полученная асимптотика функции Эйри экспоненциально затухающая, как и должнобыть для волновой функции частицы в классически запрещенной области.Пример 13.2 (Функция Эйри при p → −∞).
Рассмотрим вновь функцию Эйри:1Ai(−p) =2πZ∞ei(t) dt,3 /3−pt−∞и методом перевала найдем ее асимптотику при p → +∞. (Это та же асимптотика,что и в примере 12.4 .) После замены переменной t = p1/2 z фазовая функция S(z) =10613. МЕТОД ПЕРЕВАЛАi(z 3 /3 − z) получится с другим знаком перед z. Асимптотические ее свойства при|z| → ∞ определяются кубическим членом, поэтому секторы сходимости останутсятеми же, что и в предыдущем примере.
Найдем стационарные точки:S ′ = i(z 2 − 1) = 0 ⇒ z1,2 = ±1,2S(±1) = ∓ i,3S ′′ (±i) = ±2i.Построим далее граф Стокса Im S(z) = Im S(z1 ): 3x32x + 3ix2 y − 3xy 2 − iy 3− x − iy =− xy 2 − x = − .v(x, y) = Im S = Im i333Можно качественно построить кривые, если решить уравнение относительноrx22y=±−1+ .3x3На рисунке 13.3 изображены линии для v = ±2/3. Чтобы пройти по минимаксномуконтуру, надо серьезно деформировать исходный контур: действительную ось превратить в ветви γ1 ∪ γ2 . Как и в методе стационарной фазы, точки перевала мы должныпройти под углами φ = π/4 при z1 = 1 и φ = 3π/4 при z2 = −1.
Получится та жеосциллирующая асимптотика, что и в методе стационарной фазы:12 3/2 πAi(−p) ≈ √ 1/4 cosp −.(13.8)πp34Пример 13.3 (Полиномы Лежандра). Рассмотрим интегральное представление полиномов Лежандра:Z1 dl 21dz (z 2 − 1)ll(ξ−1)=,Pl (ξ) = l2 l! dξ l2πi2l (z − ξ)l+1γкоторое, например, можно получить из формулы Родрига, если воспользоваться формулой для вычета в полюсе порядка l + 1. Контур γ в этом интеграле обходит точкуz = ξ ≡ cos θ в положительном направлении. Выберем амплитуду A(z) = (z − ξ)−1 ифазуz2 − 1S(z) = ln.z − cos θПусть l ≫ 1 — большой параметр. Найдем стационарные точки:S′ =√2z1−=0⇒z=cosθ±cos2 θ − 1 = e±iθ ,1,2z 2 − 1 z − cos θe∓iθS(e±iθ ) = ln 2eiθ = ln 2 + iθ, S ′′ (e±iθ ) =.i sin θ13.3. Примеры107y1.51z1b0.5-1.5-1-0.50.51x-0.52b-1z210-1-1.5-2-2-1012Рис. 13.4.
Граф Стокса функции S = ln(z 2 − 1) − ln(z − cos θ), θ = π/3. На врезке линии уровня2 z −1 u(x, y) = ln z−cosθ = constСледовательно, значение аргумента ψ второй производной S ′′ (z1 ) = ρeiψ равно ψ =−θ − π/2. Отсюда φ1 = 3π/4 + θ/2, φ2 = −π/4 + θ/2.
Из графа Стокса на рис. 13.4видно, что при интегрировании против часовой стрелки надо выбрать φ1 . Получаемасимптотикуs2θ πPl (cos θ) ≈cos lθ + −.πl| sin θ|2 4Нет никаких препятствий, мешающих деформировать исходный контур так, чтобы онпрошел вдоль линий Стокса, потому что полюс z = cos θ остается внутри контура.Найденная асимптотика справедлива при углах θ, не слишком близких к 0, π:1θ, π − θ ≫ .lНеравномерность разложения вблизи 0 и π связана с неприменимостью предположений об изолированности критических точек и аналитичности амплитуды. При θ → 0или π точки z1,2 = e±iθ сближаются. Впрочем, особенность оказалась интегрируемой,если вычислять интеграл от квадрата полинома Лежандра по sin θ dθ.Для получения равномерного при θ → 0 разложения можно воспользоваться уг-10813.
МЕТОД ПЕРЕВАЛАловым уравнением (9.2) при m = 0 :1 ddusin θ= −l(l + 1)u.sin θ dθdθПри малых углах заменяем ctg θ ≈ θ−1 , а l(l + 1) ≈ (l + 1/2)2 при l ≫ 1. Получаетсяуравнение Бесселя:21d2 u 1 du++ l+u = 0.dθ2 θ dθ2Решение дается функцией Бесселя нулевого порядка, которую при lθ ≫ 1 можнозаменить асимптотикой:r1π2u(θ) = J0 ((l + 1/2)θ) ≈cos l +θ−.πlθ24В общей области применимости, при 1/l ≪ θ ≪ 1, обе асимптотики совпадают. Заметим, что сами предельные значения при θ → 0, π можно получить непосредственно изформулы Родрига: Pl (1) = 1, Pl (−1) = (−1)l .Лекция 14.Метод усредненияВо многих физических задачах возникает ситуация, когда поведение системы является почти периодическим, при этом соответствующие колебания могут быть характеризованы мгновенной частотой ω и амплитудой. Мгновенная означает, что сигнална временах порядка нескольких колебаний представляет собой почти периодическуюфункцию, т.
е. с определенной точностью может быть аппроксимирована периодической функцией. Интересен вопрос, как ведет себя система на больших временах, вчастности, каким образом меняется частота и амплитуда колебаний. Если факторы,влияющие на изменение параметров колебаний, являются слабыми, то с математической точки зрения это означает наличие малого параметра:ǫ ≪ 1.Если при ǫ = 0 динамическая система может быть полностью описана, т. е. соответствующие уравнения допускают точное решение, то можно пытаться строить решениеуравнений при ǫ ≪ 1 в виде разложения по степеням параметра ǫ, используя методытеории возмущений. Конечно, при этом желательно, чтобы такое разложение былоравномерным по параметру.
Например, обычный ряд Тейлора не всегда дает равномерное разложение, как видно из простейшего примераsin ((1 + ǫ)t) = sin t + ǫt cos t −(ǫt)2sin t + . . .2!Разложение хорошо работает на малых временах вплоть до t ∼ 1, а при t ∼ 1/ǫнесколько первых членов разложения не дают даже приближенного представления оповедении функции. Один из методов теории возмущений, который позволяет найти тенденцию изменения решения на больших временах, называется методом усреднения. Метод усреднения используется в небесной механике со времен Лагранжа иЛапласа для расчета эволюции планетных орбит.
Однако до сих пор его обоснование нельзя считать законченным. Мы рассмотрим только простейшие случаи. Болееобщие результаты можно найти в книгах Арнольда по обыкновенным дифференциальным уравнениям [2, 4]. Более подробное изложение метода усреднения высших10911014. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯпорядков и его применений в механике и электронике можно найти в монографииБоголюбова — Митропольского [14].В данной лекции мы ограничимся рассмотрением механических систем с конечным числом степеней свободы. Будем предполагать, что система невозмущенных 2nуравнений представляет собой гамильтоновские уравненияẋ =∂H∂H, ṗ = −,∂p∂xгде x = (x1 , . .
. , xn ) и p = (p1 , . . . , pn ) – координаты и импульсы, а H(x, p) – (невозмущенный) гамильтониан. Пусть данная система описывает финитное движение схарактерным периодом T ∼ 1. Возмущенными назовем уравненияẋ =∂H∂H+ ǫv1 (x, p), ṗ = −+ ǫf1 (x, p),∂p∂xгде ǫ — малый параметр. Цель метода усреднения — найти разложение решения x(t), p(t),справедливое на больших временах t ∼ 1/ǫ.14.1.Усредненное уравнение. Преобразование Боголюбова — КрыловаПерепишем невозмущенные уравнения в новых переменных — переменных действиеугол I, ϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
