1625914367-0103c1bc5bd39b709a5edb45239f58a9 (532775), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Между этими гармоникамивозможны резонансы, если выполняются условияωn1 = −ω0 + n2 Ω.Первыми и соответственно главными являются резонансы с n1 = −1, n2 = 0 и n1 = 0,n2 = 1, что эквивалентно одному и тому же резонансному условию:2ω0 = Ω.(14.9)В гамильтониане этому резонансу отвечают два слагаемых, пропорциональных ǫ:1H̄ = ω0 a∗ a + (ha∗ a∗ + h∗ aa),2(14.10)гдеω04— так называемая «накачка». Черта над H означает усреднение с учетом резонанса(14.9). Остальные члены вблизи этого резонанса являются быстро осциллирующимии после усреднения по высокой частоте выпадают.

Согласно правилу (14.6) уравнениядвижения, соответствующие данному H̄, будут иметь видh = h0 e−iΩt , h0 = ǫȧ + iω0 a + ih0 e−iΩt a∗ = 0, ȧ∗ − iω0 a∗ − ih∗0 eiΩt a = 0.Эти два связанных уравнения содержат явную зависимость от времени. С помощьюзаменыa = ce−iΩt/2 , a∗ = c∗ eiΩt/2эта зависимость исключается:ċ + i(ω0 −ΩΩ)a + ih0 c∗ = 0, ċ∗ − i(ω0 − )c∗ − ih∗0 c = 0.22Решения полученной системы ищутся в виде c, c∗ ∼ eγt . Для γ получается характеристическое уравнение, которое имеет два корня:pΩγ = ± |h0 |2 − (∆ω)2 , ∆ω = ω0 − .214.2.

Примеры117Отсюда видно, что неустойчивость (соответствует знаку плюс) возникает при |h0 |2 >(∆ω)2 . Максимум инкремента γmax = |h0 | достигается при выполнении резонансного условия (14.9). Ширина этого резонанса по частотам равна 2γmax . Эта неустойчивость называется параметрической. Условие параметрического резонанса (14.9) имеетпростую квантово-механическую интерпретацию. Второе слагаемое в гамильтониане(14.10) соответствует процессу одновременного рождения двух квантов с частотой ω0при уничтожении одного кванта накачки.

В результате энергия одного кванта накачки (совпадающая с точностью до постоянной Планка с частотой Ω) передается двумквантам осциллятора, что в точности дает условие резонанса (14.9).Учет трения с декрементом ν приводит в появлению порога неустойчивости поамплитуде накачки: параметрическая неустойчивость раскачивается при γmax = |h0 | ≥ν.Пример 14.6 . (Нелинейное трение). Уравнениеẍ + ǫẋ3 + x = 0описывает осциллятор с трением, пропорциональным кубу скорости. По функции F =−ẋ3 , пользуясь тождеством13sin4 ϕ = (1 − cos2 2ϕ)2 = ,48найдем из (14.8) усредненное уравнение3J˙ = − ǫJ 3 .8Его решение дается формулойJ2 =1J021.+ 34 ǫtАмплитуда колебаний затухает на больших временах медленнее, чем в случае линейного трения: как t−1/2 вместо экспоненты.

Объясните, почему?ПриложениеСводка формулпо специальным функциям1.Гамма-функция ЭйлераИнтегральные представления:Γ(z) =Z∞z−1 −tte11=Γ(z)2πidt,0Zt−z et dt,γконтур γ изображен на рис. П.1. Тождества:Γ(x + 1) = x Γ(x),2.Γ(x)Γ(1 − x) =π.sin πxГипергеометрические функцииФункция Гаусса 2F1Дифференциальное уравнение для 2 F1 (a, b; c; x):hi′′x(1 − x) y + c − (a + b + 1)x y ′ − ab y = 0.Разложение в степенной ряд возле x = 0:2 F1 (a, b; c; x) = 1 +ab xa(a + 1)b(b + 1) x2++ ...c 1!c(c + 1)2!Преобразование Эйлера:2 F1 (a, b; c; x) = (1 − x) 2 F1 c − a, b; c;−bx.x−1Интегральное представление:Γ(c)2 F1 (a, b; c; x) =Γ(c − b)Γ(b)Z10tb−1 (1 − t)c−b−1dt.(1 − tx)aФункция Куммера 1 F1Дифференциальное уравнение для 1 F1 (a; c; x):x y ′′ + (c − x) y ′ − a y = 0.Разложение в степенной ряд возле x = 0:1 F1 (a; c; x)= lim 2 F1 (a, b; c; x/b) = 1 +b→∞axa(a + 1) x2++ ...c 1! c(c + 1) 2!Второе решение:Преобразование Куммера:y = x1−c 1 F1 (a − c + 1; 2 − c; x).1 F1 (a; c; x)= ex 1 F1 (c − a; c; −x).Интегральное представление:Γ(c)1 F1 (a; c; x) =Γ(a)Γ(c − a)Z10ta−1 (1 − t)c−a−1 ext dt,Re c > Re a > 0 .Асимптотическое поведение:Γ(c) x a−ce x ,x → +∞,Γ(a)Γ(c)(−x)−a , x → −∞.1 F1 (a; c; x) ≃Γ(c − a)1 F1 (a; c; x)3.≃Цилиндрические функцииФункции Бесселя Jνи Неймана YνДифференциальное уравнение для Jν (x):x2 y ′′ + x y ′ + (x2 − ν 2 ) y = 0.Разложение в степенной ряд возле x = 0:Jν (x) =∞X(−1)n (x/2)2n+νn=0n!Γ(n + ν + 1)119.t0Рис.

П.1. Контур интегрирования γ в плоскости комплексного t, обходящий разрез −∞ < t ≤ 0 вположительном направлении. Разрез показан зигзагом.Выражение через гипергеометрическую функцию:(x/2)ν −ix1Jν (x) =e 1 F1 ν + ; 2ν + 1; 2ix .Γ(ν + 1)2Рекуррентное соотношение:2νJν (x) = Jν−1 (x) + Jν+1 (x).xФормулы дифференцирования:dJν (x) = Jν−1 (x) − Jν+1 (x) ,dxdx±ν Jν (x) = ±x±ν Jν∓1 (x) .dx2Интегральные представления Шлефли и Пуассона: Z1dzx1Jν (x) =expz−2πi γ z ν+12zπZZ∞dϕ ix sin ϕ−iνϕ sin πνe−e−x sh t−νt dt.=2ππ−π x ν2Jν (x) = √πΓ(ν + 1/2) 2 x ν1= √πΓ(ν + 1/2) 20Zπ/2cos2ν ϕ cos (x sin ϕ) dϕ0Z1−1eix t (1 − t2 )ν−1/2 dt,1Re ν > − .2Интегрирование идет по контуру γ (рис. П.1), начинающемуся и заканчивающемусяв −∞, обходящему точку z = 0 в положительном направлении.120Второе решение:Yν (x) =Асимптотическое поведение:Jν (x) ≃rСлучай полуцелого индекса:J1/2 (x) =i1 hJν (x) cos πν − J−ν (x) .sin πν2νπ π cos x −−,πx24r2sin x,πxJ−1/2 (x) =x → +∞.r2cos x.πxФункции Бесселя целого порядка JnФункции отрицательного порядка:J−n (x) = (−1)n Jn (x).Производящие функции:∞Xeix sin φ =eimφ Jm (x),m=−∞ ∞X1xz−=z n Jn (x).exp2zn=−∞Соотношения ортогональности:Z1δnmxJk (γn x)Jk (γm x) dx =2dJk (γm )dγmZ1δnmxJk (λn x)Jk (λm x) dx =2k21− 2λm002,Jk2 (λm ),Модифицированная функция Бесселя Iνи функция Макдональда KνДифференциальное уравнение для Iν (x), Kν (x):x2 y ′′ + x y ′ − (x2 + ν 2 ) y = 0.Разложение в степенной ряд возле x = 0:Iν (x) =∞Xn=0(x/2)2n+ν.n!Γ(n + ν + 1)121Jk (γm ) = 0 ,dJk (λm )= 0.dλmВыражение через обычные функции Бесселя:Iν (x) = e−iνπ/2 Jν (ix).Выражение для Kν через Iν , I−ν :Kν (x) =π [I−ν (x) − Iν (x)].2 sin πνИнтегральные представления:(x/2)νIν (x) = √πΓ(ν + 1/2)Z1−1Kν (x) =Z∞e−xt (1 − t2 )ν−1/2 dt,e−x ch t ch νt dt,Re ν > −1/2 ,Re x > 0 ,0√1Kν (2 pq) =2 ν/2 Z∞pxν−1 e−px−q/x dx,qRe p > 0, Re q > 0 .0Асимптотическое поведение:rπx xIν (x) ≃e ,2Kν (x) ≃rπ −xe ,2xx → +∞.(x/2)ν, K0 (x) ≃ − ln x, x → +0;Γ(ν + 1)Γ(ν) x −νKν (x) ≃, x → +0, ν 6= 0.22Iν (x) ≃(1)(2)Функции Ганкеля Hm , HmВыражение через функции Бесселя и Неймана:(1)Hm(z) = Jm (z) + iYm (z),Асимптотика при z → ∞:r(2)Hm(z) = Jm (z) − iYm (z).2 i(z−πν/2−π/4)e, −π + δ < arg z < 2π − δ,Hν(1) (z) ∼πzr2 −i(z−πν/2−π/4)(2)Hν (z) ∼e, −2π + δ < arg z < π − δ.πzИнтегральные представленияZe−πiν/2 ∞ iz ch t−νt(1)Hν (z) =edt, 0 < arg z < π,πi−∞Zeπiν/2 ∞ −iz ch t−νt(2)Hν (z) = −edt, 0 < arg z < π.πi −∞1224.Ортогональные полиномыПолиномы Лежандра Plи присоединенные функции Лежандра PlmДифференциальное уравнение для Pl (x):(1 − x2 ) y ′′ − 2x y ′ + l(l + 1) y = 0.Дифференциальное уравнение для Plm (x):2′′′(1 − x ) y − 2x y + l(l + 1) −Формулы Родрига:m21 − x2y = 0.1 dl 2(x − 1)l ,2l l! dxlmm2 m/2 dPl (x) = (1 − x )Pl (x) .dxmPl (x) ≡ Pl0 (x) =Первые 3 полинома:P0 (x) = 1,P1 (x) = x,P2 (x) =3x2 − 1.2Соотношение ортогональности:Z1Plm (x)Plm′ (x) dx =−12 (l + m)!δll′ .2l + 1 (l − m)!Рекуррентное соотношение:x(2l + 1)Pl (x) = (l + 1)Pl+1 (x) + lPl−1 (x).Формулы дифференцирования:ddPl+1 (x) − Pl−1 (x) ,dxdxddlPl (x) = x Pl (x) − Pl−1 (x) .dxdx(2l + 1)Pl (x) =Производящие функции: ∞Xr l Pl (x),r < 1;1l=0√=∞X11 − 2xr + r 2 P (x), r > 1;l+1 lrl=0123− 1 < x < 1.Интегральные представления:I1z −l−1 dz√Pl (x) =,2πi1 − 2xz + z 2Zπ1Pl (cos θ) =(cos θ + i sin θ cos ϕ)l dϕ.π0Интегрирование идет по замкнутому контуру вокруг точки t = 0 в положительномнаправлении.Асимптотическое поведение:r2 sin l + 12 θ + π4√, l|sinθ| ≫ 1.Pl (cos θ) ≃πlsin θСферические гармоники YlmВыражение через присоединенные функции Лежандра:|m|Ylm (θ, ϕ) = Clm eimϕ Pl (cos θ).Дифференциальные уравнения для Ylm :∆Ω Ylm = −l(l + 1)Ylm,idYlm = −mYlm .dϕЗдесь ∆Ω — угловая часть трехмерного оператора Лапласа в сферических координатах.Соотношение ортогональности:Z∗Ylm(θ, ϕ)Yl′m′ (θ, ϕ) sin θ dθ dϕ = δll′ δmm′ .Соотношение полноты:∞ XlXl=0 m=−l∗Ylm (n)Ylm(n′ ) = δ(n − n′ ).Полиномы Эрмита HnДифференциальное уравнение для Hn (x):y ′′ − 2x y ′ + 2n y = 0.Формула Родрига:Hn (x) = (−1)n ex1242dn −x2e .dxnПервые 3 полинома:H0 (x) = 1,H2 (x) = 4x2 − 2.H1 (x) = 2x,Соотношение ортогональности:Z∞2e−x Hm (x)Hn (x) dx =√π2n n! δmn .−∞Соотношение полноты:2e−(x +x√π′ 2 )/2∞XHn (x)Hn (x′ )2n n!n=0= δ(x − x′ ).Рекуррентное соотношение:Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2nHn−1 (x) = 0.Формула дифференцирования:dHn (x) = 2nHn−1 (x).dxПроизводящая функция:exp 2xz − zИнтегральные представления:2n+1 ex√Hn (x) =π22Z∞=n=0n −z 2z e02n= √πZ∞∞Xznn!Hn (x).nπ cos 2xz −dz2(x + it)n e−t dt.2−∞Полиномы Лагерра LνnДифференциальное уравнение для Lνn (x):x y ′′ + (ν + 1 − x) y ′ + n y = 0.Формула Родрига:Lνn (x) =x−ν ex dn −x n+νe x .n! dxn125Первые 3 полинома:Lν0 (x) = 1, Lν1 (x) = ν + 1 − x,Lν2 (x) = 21 (ν + 1)(ν + 2) − (ν + 2)x + 12 x2 .Соотношение ортогональности:Z∞e−x xν Lνm (x)Lνn (x) dx =Γ(n + ν + 1)δmn .n!0Соотношение полноты:′ ν/2 −(x+x′ )/2(xx )e∞Xn!Lν (x)Lν (x′ )nn=0nΓ(n + ν + 1)= δ(x − x′ ).Рекуррентное соотношение:(n + 1)Lνn+1 (x) − (2n + ν + 1 − x)Lνn (x) + (n + ν)Lνn−1 (x) = 0.Формулы дифференцирования:xd νLn (x) = nLνn (x) − (n + ν)Lνn−1 (x) ,dxd νL (x) = −Lν+1n−1 (x) .dx nПроизводящая функция:(1 − z)−ν−1expxzz−1=∞Xz n Lνn (x).n=0Интегральное представление:Lνn (x)νI x n −ttdt1=1+e1+2πitxtIn+ν(−1)n(1 − t)dt=etx .n2πittЗдесь интегрирование идет по замкнутому контуру вокруг точки t = 0 в положительном направлении.126Список литературы1.

Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука,1979.2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978.3. Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными.М.: Фазис, 1997.4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.5. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.6. Арфкен Г. Математические методы в физике.

Характеристики

Список файлов книги