1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Обозначив cos θ = z, получаем∫∑ (−2k2 r 2 (1 − z)) n2mfℓ (k) = − 2r 2 drV(r)dzPℓ (z).(17.35)~(2n + 1)!kФункции Pℓ (z) – полиномы (Лежандра) по z степени ℓ, ортогональные друг другуна отрезке (−1, 1). Поэтому вклад в fℓ дают только те слагаемые ряда, номеркоторых n > ℓ. При k → 0 это означает, что fℓ ∝ k2ℓ , что подтверждает вывод(17.34а).Такое вычисление даёт правильный ответ, если интеграл (17.35) сходится для всехn.
Это справедливо для ядерных сил, убывающих на больших расстояниях по законуe −(r/a) /r. Межатомные и межмолекулярные силы убывают обычно медленнее – постепенному закону V ∼ 1/r γ . Для таких потенциалов зависимость (17.34а) имеетместо только при ℓ < (γ − 3) /2. Для фаз с ℓ > (γ − 3) /2 оценка того же интеграладаёт зависимость δℓ ∝ kγ−2 .Итак, при низких энергиях fℓ ∝ k2ℓ . В частности, при этом основной вклад даётs-волна, для которой δ0 = −ak, f0 = −a.
Величина a называется длиной рассеяния.При этом в соответствии со сказанным в начале разделаdσ = a2 dΩ,1 Общийσ = 4πa2 .случай требует лишь небольших уточнений.(17.36)Глава 17. Рассеяние29017.4.3. Резонансное рассеяниеВыясним теперь, как проявляются в рассеянии квазистационарные состояния,подобные изучавшимся в разд. 2.8. Рассмотрим для этого амплитуду как функциюэнергии частицы E в комплексной плоскости энергии.Перепишем Rkℓ (r) ∼ sin(kr − πℓ/2 + δℓ) /r в виде]C[Rkℓ (r) →aℓ (E)e ikr + a∗ℓ (E)e −ikr ,aℓ (E) = −ie i(δℓ −πℓ/2) .rПри этом в соответствии с (17.30) парциальная амплитуда есть[])1 aℓ (E)1 ( 2iδℓℓe −1 =(−1)−1.(17.37)fℓ (E) =2ik2ik a∗ℓ (E)Пусть в рассматриваемом поле V(r) возможно квазистационарное состояние приE = E0 = Er − iΓ/2, и Γ ≪ E.
Тогда асимптотика Rkℓ (r) при данной энергии должнасодержать только расходящуюся волну1 , т. е. должно быть a∗ℓ (E0) = 0. В соответствии с этим простейшая аппроксимация вблизи резонанса имеет видa∗ℓ (E) ≈ βℓ∗ (E − E0) ≡ βℓ∗ (E − Er + iΓ/2).Иными словами, парциальная амплитуда имеет полюс при E = E0∗ = Er − iΓ/2(формула Брейта–Вигнера):[]()1ℓ βℓ2iδℓ0 E − Er − iΓ/22iδℓ0fℓ (E) == (−1) ∗ .e−1e(17.38)2ikE − Er + iΓ/2βℓ1.00.80.60.40.20.00.80.91.01.11.21.31.4Рис. 17.1. Зависимость фазы (17.37) от Eвблизи резонанса при |δℓ0 | ≪ 1.σℓ =π(2ℓ + 1)Γ2.2k (E − Er) 2 + Γ2 /41.00.80.60.40.20.00.80.91.01.11.21.31.4Рис. 17.2.
Зависимость парциального сечения σℓ от E вблизи резонанса при |δℓ0 | ≪ 1.σℓ =1 ТакоеПри этом δℓ = δℓ0 − arctg[Γ/2(E − Er)] ,где δℓ0 – фаза рассеяния вдали от резонанса. При прохождении через резонанс фазарассеяния изменяется на π.Обычно фаза δℓ0 невелика. В этом случае парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии, с "куполом"приE = Er и (ср. (2.44))(17.39а)Однако наличие даже постоянной, но неочень маленькой нерезонансной фазы сдвигает положение максимума и меняет егоформу.
Если, в частности, δℓ0 = π /2, зависимость сечения от энергии имеет совсемдругой вид, с двумя максимумами и нулёмпри E = Er :4π (2ℓ + 1) (E − Er) 2.k2 (E − Er) 2 + Γ2 /4же условие использовалось в § 2.8 для определения ширины квазиуровня Γ.(17.39б)17.5. Особенности рассеяния частиц со спином291Поэтому наблюдение пика в сечении при некоторой энергии E p говорит толькоо том, что резонанс скорее всего есть, и его положение Er близко к E p , утверждатьже, что Er = E p , нельзя. Чтобы найти истинные параметры резонанса из данныхпо рассеянию, необходимо выполнить довольно громоздкий анализ, включающий иопределение медленно меняющейся фазы δℓ0 .▽ Чтобы выяснить смысл величины βℓ , вернёмся к нестационарной задаче, изучавшейся в § 2.8. При E = Er − iΓ/2 радиальная волновая функция на большихрасстояниях есть Rkℓ (r) = βℓ∗ (−iΓ) e ikr /r.
Если Rkℓ (r) нормирована во внутреннейобласти на единицу, то полный поток в расходящейся волне vΓ2 |βℓ |2 должен равняться вероятности распада Γ/~. Отсюда |βℓ |2 = 1/ (~vΓ).♢ Соотношение (17.38) представляет собой ясную иллюстрацию общего утверждения, содержащегося в § 17.4.1 о том, что резонансам в рассеянии отвечаютполюса в нижней полуплоскости комплексной энергии.§ 17.5.Особенности рассеяния частиц со спином• При рассеянии спинорных частиц все амплитуды и сечения зависят ещёи от спинов. Обычным приёмом является изучение рассеяния при различных значениях спинов каждой из частиц в начальном и конечном состояниях.Если взаимодействие сохраняет суммарный спин частиц (например, не зависит отспина или зависит от скалярного произведения спинов), полезно разложить начальное состояние по состояниям с различными значениями полного спина и вычислитьпо отдельности амплитуды рассеяния в каждом случае.Во многих случаях оказывается достаточным изучить зависимость только от спина сталкивающихся частиц и усреднить по конечным спиновым состояниям.
В этомслучае, например, для описания первого Борновского приближения удобно обозначить через |i⟩ и |f ⟩ начальное и конечное спиновые состояния и через n f – кратностьвозможных конечных спиновых состояний, обычно n f = (2s1 + 1) (2s2 + 1). При этомdσ ∝∫∫1 ∑′|⟨i| d 3 rV(r)e −iqr |f ⟩⟨ f | d 3 r′ V(r′)e iqr |i⟩ ≡nf f∫∫1′≡⟨i| d 3 rV(r)e −iqr d 3 r′ V(r′)e iqr |i⟩.nf(Здесь выписаны только спиновые усреднения).• При рассеянии тождественных частиц результат зависит от суммарного спина начального состояния. Фактически здесь проявляется обменное взаимодействие.Пространственная волновая функция относительного движения симметрична относительно перестановки частиц (θ ↔ π − θ), если суммарный спин системы чётный,пространственная волновая функция относительного движения антисимметрична относительно перестановки частиц, если суммарный спин системы нечётный (13.6).
Этоозначает, в частности, что в состояниях с чётным суммарным спином амплитуда рассеяния содержит лишь чётные парциальные волны, а в состояниях с нечётным суммарным спином амплитуда рассеяния содержит лишь нечётные парциальные волны.Так, для рассеяния электрона на электроне в состоянии с полным спином 1 (спины параллельны) амплитуда рассеяния меняет знак при отражении,Глава 17. Рассеяние292т. е. f(π − θ) = − f(θ), а для состояния с полным спином 0 (спины антипараллельны)амплитуда рассеяния не меняется при отражении, т. е. f(π − θ) = f(θ).
Например,для «игрушечного» потенциала V = f(s1 s2)δ (r1 − r2) в состоянии с полным спином1 амплитуда рассеяния равна нулю, а в состоянии с полным спином 0 это – легковычисляемая константа.• При рассеянии строго вперёд или назад (в системе центра масс) проекцияполного орбитального момента на импульс равна нулю, и сохранение момента импульса означает, что сохраняется проекция суммарного спина на импульс (суммарная спиральность, равная разности спиральностей сталкивающихся или разлетающихся частиц). Так, для рассеяния электрона на протоне (спины 1/2) эти проекцииλe и λ p могут быть равны ±1/2 (±) и суммарная спиральность есть λ ≡ λe − λ p .Для рассеяния вперёд отличны от нуля только амплитудыf (+,+)→(+,+) ≡ f (−,−)→(−,−) , f (+,+)→(−,−) ≡ f (−,−)→(+,+)f (+,−)→(+,−) ≡ f (−,+)→(−,+) (λ = ±1).(λ = 0),Равенства между амплитудами с противоположными спиральностями следуют изсохранения чётности.
Наличие переходов (+, +) → (−, −) означает, что для рассеяния вперёд закон сохранения момента импульса допускает изменение поляризацииотдельных электронов.Если сечение рассеяния мало, то слой рассеивателей практически прозрачен дляпадающих частиц (как Земля для потока нейтрино). При этом, однако, амплитударассеяния может оказаться не настолько малой, и вычисление, подобное тому, чтопривело нас к оптической теореме, показывает, что интерференция падающей волныс рассеянной на поляризованной мишени, различная для разных переходов, можетпривести к перераспределению прошедших частиц по поляризациям (как в прозрачной среде с двоякопреломлением) при сохранении полного их числа.
Такое явлениеимеет место при прохождении поляризованных фотонов большой энергии через достаточно плотный поляризованный лазерный сгусток, фотоны которого в этом случаеможно считать мишенями (Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо).§ 17.6.Некоторые особенности рассеяния заряженных частицНа больших расстояниях взаимодействие пары заряженных частиц друг с другомостаётся чисто кулоновским, это поле недостаточно быстро убывает с расстоянием,и асимптотическое условие (17.2) для рассеяния в этом случае записать невозможно. Прямое решение уравнения Шредингера даёт для этой задачи взамен (9.12) совсем другую асимптотику. В этом случае сходящаяся волна появляется не только изпадающей волны, но и из рассеянной. В итоге взамен (17.2) при r → ∞ следует писать полученное в [1] решение для волновой функции и амплитуды рассеяния (здесьaB,Z = ~2 / (mZe 2) )[]if(θ) i (kr−ln(qr) / (kaB,Z) ]ψ = 1− 2 2e i [kz+ln(qr) / (kaB,Z) ] +e,raB,Z k (qr)(17.40а)Γ(1 + i/ (kaB,Z))1·.f(θ) = −2k2 aB,Z sin2 (θ/2) Γ(1 − i/ (kaB,Z))17.7.
Рассеяние при наличии неупругости293Получающееся отсюда выражение для сечения совпадает с результатом борновского приближения (17.22). Сильному изменению подверглась в сравнении с этимприближением фаза амплитуды рассеяния и фаза волновой функции.Соответствующее выражение для парциальной волны имеет вид()1π2ln(kr) − ℓ + δℓc ,Rkℓ ≈ sin kr +rkaB2(17.40б)δℓc = arg Γ(ℓ + 1 − i/k) .Важной новой чертой (17.40) является появление медленно меняющейся величиныln(kr) в показателе экспоненты или под аргументом синуса («кулоновская фаза»).Ситуация меняется в условиях, когда наряду с электростатическими действуютдругие, короткодействующие силы, вклад которых при очень малых углах рассеянияпренебрежимо мал по сравнению с кулоновским. Грубо говоря, амплитуда, получающаяся из короткодействующей силы, складывается с кулоновской.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
