1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 69
Текст из файла (страница 69)
В итоге f(q) = f0 ≡ −(8m/~2) V(r)r 2 dr,т. е. амплитуда не зависит от угла.♢ При больших энергиях (быстрые частицы) (ka ≫ 1) и таких малых углахрассеяния, что qa ≡ 2ka sin(θ/2) < 1 (т. е. при малых импульсах передачи), амплитуда имеет примерно то же значение f0 , что и для медленных частиц. С ростомугла θ (импульса передачи q) осцилляции экспоненты e iqr (или синуса sin(qr)) подинтегралами (17.18) гасят друг друга, и амплитуда быстро убывает. Таким образом,угловое распределение имеет пик шириной θ ∼ 1/ (ka) вблизи направления вперёди быстро убывает с ростом угла рассеяния.♢ Оценим ещё поведение амплитуды рассеяния на малый угол в случае, когдаV(r) ∝ r −n при r → ∞.
Для больших q применимо борновское приближение, и из(17.18а) получается f(q) ∝ q n−3 ∝ θn−3 . Итак, дифференциальное сечение конечнопри θ → 0, если n > 3, а полное сечение конечно при n > 2.• Вычисление второго и последующих приближений не составляет принципиальных трудностей, но выходит за рамки нашего курса.17.3.1. Рассеяние на потенциале ЮкавыДля многих физических задач зависимость потенциальной энергии от расстоянияимеет видV(r) = ge −µr /r .(17.19)Глава 17.
Рассеяние282Такой вид имеет, например, затравочное ядерное взаимодействие (потенциал Юкавы), для которого ~µ/c есть масса частицы – переносчика ядерных взаимодействий(π-мезона) и 1/µ – радиус действия сил. Такой вид имеет и поле точечного зарядав плазме или металле с учётом экранирования ионами в плазме или из-за перераспределения зарядов в металле.Простое вычисление интеграла (17.18б) даётf(q) = −2mg.~2 (q 2 + µ2)(17.20)Отсюда по общим формулам получается222m g d cos θdϕ ⇒ σ = 4π (2mg)dσ = 2 2.2422~ (q + µ )~ µ (µ + 4k2)(17.21)17.3.2. Формула РезерфордаДля кулоновского поля V = −Ze 2 /r борновское приближение непосредственнонеприменимо. Чтобы решить задачу, вспомним, что практически всегда хотя бы наочень больших расстояниях поле нашего кулоновского центра экранируется другимизарядами, т.
е. начинает убывать с расстоянием значительно быстрее, и борновскаятеория начинает работать. Для имитации этого эффекта удобно использовать амплитуду (17.20), вычисленную для потенциала Юкавы (17.19). Переход к пределу µ → 0даёт искомую амплитуду рассеяния на кулоновском центре. Получающееся дифференциальное сечение не зависит от направления сил (притяжение или отталкивание)и совпадает с классическим ответом:f(q) =()22mZe 2dσmZe 2Z2e4.⇒=≡222~ qdΩ2p 2 sin (θ/2)16E 2 sin4 (θ/2)(17.22)Зависимость от знака взаимодействия обнаруживается только при учёте следующегоприближения борновской теории возмущений.Надёжность использованной процедуры обеспечена тем, что детали экранирования (т. е.
способ стремления µ к 0) не существенны при описании дифференциальногосечения рассеяния на фиксированный угол. При очень малых углах зависимость отдеталей экранирования становится существенной.Точное решение кулоновской задачи даёт точно то же значение для сечения рассеяния, что и первое Борновское приближение (17.22), зато фаза рассеянной волнывыглядит совсем по-другому (см. подробнее разд. 17.6).17.3.3. Атомный формфакторПри упругом рассеянии электронов на атоме последний можно рассматривать какисточник потенциала φ(r), создаваемого средним распределением зарядов в атоме(электроны + ядро) ρ(r) = Zeδ (r) − en(r) (в уравнение Шредингера входит V = eφ).17.3. Борновское приближение283Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ∆φ = −4πρ.
Построим его фурьеобраз, т. е. умножим на e −iqr и проинтегрируем по r. Тогда для фурье-гармоникполучается соотношение φq = 4πρq /q 2 . Поэтомуf(q) = −2me 2F(q), F(q) = Z −~2 q 2∫d 3 re −iqr n(r).(17.23)Функцию F(q) называют атомным формфактором.• Рассмотрим асимптотики атомного формфактора.♢ При qa ≪ 1 (малые углы) можно разложить экспоненту под интегралом (17.23)в ряд∫F(q) = Z −d 3 rn(r) [1 − iqr + i 2 (qr) 2 /2 + ...] .Первое слагаемое в ряду под интегралом даёт суммарный заряд электронов Z, оноуничтожается с вкладом заряда ядра, второе слагаемое под интегралом обращаетсяв нуль в силу сферическойсимметрии; по той же причине третий член имеет вид∫−q 2 ⟨r 2 ⟩/6, где ⟨r 2 ⟩ = d 3 r r 2 n(r).
В итоге получается F(q) ≈ (q 2 /6)⟨r 2 ⟩. Отсюдаполучается dσ /dΩ = (⟨r 2 ⟩/3aB) 2 . (При рассеянии на атоме полное сечение конечно.)♢ При qa ≫ 1, т. е. при θ ≫ (1/ka) быстро осциллирующий фактор под интегралом приводит к тому, что |Z − F | ≪ Z, т. е. электрон «видит» только ядро.В этой области параметров сечение совпадает с резерфордовским.Пример – рассеяние на атоме водорода в основном состоянии.
Здесьn(r) = |ψ100 (r)|2 . Обозначив u = (qaB /2) 2 , имеем поэтомуF(q) = 1−1dσ aB (1+u/2) 27πaB e 2;=;σ=.(1 + u) 2 dΩ(1+u) 46E♢ Простое описание с помощью формфактора хорошо работает до тех пор, покаможно пренебречь смещениями атомных электронов за время пролёта рассеиваемогоэлектрона. Для этого скорость рассеиваемого электрона должна быть больше характерных скоростей атомных электронов, которые по порядку величины составляютcα (9.23б). При усреднении по ансамблю пролетевших в разное время электроновпроисходит усреднение по мгновенным позициям атомных электронов, и использование формфактора даёт определяющий вклад в результат.Если скорость рассеиваемого электрона невелика, становится необходимым учестьдвижение атомных электронов за время пролёта, искажаемое полем рассеиваемогоэлектрона, а также обменное взаимодействие этого электрона с атомными.• Подобным образом определяются формфакторы ядер и элементарных частиц, описывающие их внутреннюю структуру.
Согласно общему подходу к задачамупругого рассеяния, импульс передачи должен определяться в системе центра масссталкивающихся частиц. При изучении рассеяния электрона не слишком большойэнергии на атоме или ядре (мишени) система центра масс практически совпадает ссистемой покоя мишени. С ростом энергии электрона это отличие становится существенным, в произвольной системе отсчёта надо учесть, что энергия E ′ и величинаимпульса k′ рассеянного электрона отличаются от их начальных значений E и k. ВГлава 17. Рассеяние284ответ входят релятивистски инвариантный квадрат импульса передачи Q 2 и квадратполной энергии сталкивающихся частиц в системе их центра масс s′Q 2 = (k − k ) 2 − (E − E ′) 2 /c 2 ,s = (Ee + EA) 2 − (pe + pA) 2 c 2 .(17.24)Если ядро первоначально покоилось, то s = m2e c 4 + M2A c 4 + 2Ee MA c 2 .При изучении структуры нуклона различают электрический GE и магнитный GMформфакторы.
Вычисление методами квантовой электродинамики при Q 2 ≫ (me c) 2даёт после азимутального усреднения для дифференциального сечения упругого рассеяния электрона на нуклоне (протоне или нейтроне)4πα2 ~2 M2N c 6 dQ 2Φ,(s − M2N c 4) 2 (Q 2) 2)( 2 2 2)(2(2s − Q 2 c 2 − 2M2N c 4) 2Q GM (Q )Q 2 GM(Q 2)22222Φ=+Q− GE (Q )GE (Q ) +4MN c 2 + Q 24M2N c 24M2N c 2dσ =Эксперимент показал, что с хорошей точностью в очень широком диапазоне значений импульсов передачи формфакторы протона и нейтрона имеют сходное поведение (индексы p и n относятся к протону и нейтрону соответственно) (ср. (11.5))1,(1+v) 2vGEn =,(1+v) 2pGE =gp,(1+v) 2gnnGM(q 2) =,(1+v) 2pGM (q 2) =(v=Q2(µc 2) 2).(17.25)Входящая в эти формулы величина µ близка к массе ρ-мезона, µc 2 ≈ 770 МэВ.Как и следовало ожидать, существование нетривиальной чисто электрической структуры нейтрона становится заметным только при не слишком маленьких значениях импульса передачи.
Соответствующие пространственные распределения зарядаи магнитного момента описывают «рыхлые» структуры с характерным размером~/ (µc) ≈ 0, 7 фм,ρE ∝ ρM ∝ ρnM ∝ e −µcr/~ ,ppρnE ∝ [1 + ~/ (µcr)] e −µcr/~ .Для тяжёлых ядер характерный масштаб убывания формфактора с ростом импульса передачи составляет 60 − 70 МэВ /с, что отвечает размеру в десяток ферми.♢ Введённое выше понятие формфактора определялось для первого приближения Борновской теории возмущений. Разумеется, это понятие полезно использоватьи при расчётах более высокого порядка, однако в этих приближениях уже не всеэффекты структуры собираются в формфактор.17.3.4.
Критерий применимости приближенияБорновское приближение хорошо описывает рассеяние, если вклад поправки ψ (1)в амплитуду значительно меньше вклада невозмущённой функции ψ (0) , или – чтото же – в области действия потенциала (1) ψ ≪ ψ (0) при r < a .(17.26)17.3. Борновское приближение285Для конкретизации этой оценки мы будем считать, что потенциал V(r) сосредоточенв области r < a и исчезает при r > a, его характерное значение в области r < a мыобозначаем через V .Разберём отдельно случаи медленных и быстрых частиц.♢ Пусть импульс налетающей частицы невелик, её длина волны больше характерных размеров рассеивателя ka < 1.
Определим ψ (1) из интегрального уравнения′(17.15). В области действия потенциала все экспоненты e ikz , e ik|r−r | можно положить равными 1, и в выражении для ψ (1) интеграл ∼ 2πa2 V . Теперь условие применимости приближения (17.26) принимает вид [m/ (2π~2)] 2πa2 |V | ≪ 1, что можнопереписать как |V | ≪ Eõàð = ~2 /2ma2 – среднее значение потенциальной энергии меньше кинетической энергии, обусловленной локализацией внутри размера a.Это условие нарушается, если в поле притяжения существуют связанныесостояния.♢ Пусть теперь ka ≫ 1 (частица быстро «проходит через рассеиватель»).В этом случае функцию ψ (1) удобно оценить уже с помощью дифференциальногоуравнения (17.3) (∆ + k2)ψ (1) = (2mV(r) /~2)e ikz .
Его решение удобно искать в видеψ (1) = g(r)e ikz . Для функции g это уравнение принимает вид∆ g + 2ik(∂ g/∂z) = 2mV/~2 .По условию, k – большая величина. Поэтому в левой части достаточно удержатьтолько второе слагаемое. Тогда уравнение легко решается:∫ψ (1) = −e ikz (im/k~2) Udz ∼ −e ikz (im/k~2)V a.При этом условие применимости приближения (17.26) принимает простой видV ≪ ~v/a, где скорость падающей частицы v = ~k/m. Иными словами, при большихпереданных импульсах борновское приближение применимо, если неопределённостьв энергии, связанная с конечностью времени пролёта через область взаимодействия,больше энергии взаимодействия1 .♢ Итак, борновское приближение применимо, если{~2 / (ma2) при qa .
1,|V(a)| ≪(17.27)~v/aпри ka > qa ≫ 1.Типичной является ситуация, когда при больших энергиях борновское приближениесправедливо в области больших углов рассеяния и несправедливо при малых углахрассеяния.• Заметим, наконец, что в первом борновском приближении амплитуда рассеяния(17.18б) действительна. В этом приближении оптическая теорема не имеет содержания. Напомним, что в этом приближении амплитуда – порядка ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
