1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В соответствии с(16.4), поглощение света описывается такой же формулой с заменой nkλ +1 → nkλ .Угловое распределение, поляризация, интенсивность. При описании вынужденного излучения направления векторов k и ελ задаются источником поля, излучённый свет когерентно складывается с падающим. В этом случае формула (16.12)определяет характер возбуждения дипольного момента и интенсивность излучённого света. Ниже n – единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора,θ – полярный угол вылета фотона.При описании спонтанного излучения формула (16.12) по известному типу возбуждения дипольного момента определяет угловое распределение, поляризациюи интенсивность излучения. Суммирование по поляризациям вылетевшего фотонас учётом (13.22) даёт угловое распределение вероятности вылета фотонаdrkω32=| [dud × n]| ,dΩ2π~c 3n=k.k(16.13)Излучённый свет оказывается нетривиально поляризованным, если специальным образом поляризовать излучающую среду, организовав дело так, чтобы только некоторые компоненты матричного элемента dud отличались от нуля.
При этом различным оказывается и усреднённое по поляризациям угловое распределение излучения.Приведем примеры.▽ Если начальное u и (или) конечное d состояния организованы так, что dud ∝(0, 0, 1), то drk /dΩ ∝ sin2 θ – как в классической задаче об излучении частицы,которая колеблется вдоль оси z.▽ Если начальное и (или) конечное состояния организованы так, чтоdud ∝ (1, ±i, 0), то drk /dΩ ∝ (1 + cos2 θ) – как в классической задаче об излучении частицы, которая вращается по окружности в плоскости (xy).Полная вероятность излучения в единицу времени (скорость излучения) получается из предыдущего выражения интегрированием по углам, а интенсивность излучения (энергия, излучаемая в единицу времени) I получается домножением скоростиизлучения на энергию одного фотона ~ω:r ñïîíò =4ω 32|dud | ,3~c 3I = r ñïîíò ~ω =4ω 42|dud | .3c 3(16.14)Эти выражения, естественно, совпадают с полученными в подходе Ферми (16.6).Глава 16.
Испускание и поглощение излучения266♢ Результат (16.6), (16.14) очень похож на результат классической электродинамики I(ω) = 2ω 4 / (3c 3)⟨|dω |2 ⟩, но – на первый взгляд – отличается от него коэффициентом. В действительности эти результаты совпадают, просто в эти ответы входятразные объекты.В квантово-механическое выражение (16.6) входит матричный элемент дипольного момента, отвечающий переходам в одну сторону u → d. В классическое выражение входит Фурье-компонента дипольного момента с частотой ωud , отвечающаяколебаниям u ↔ d.
Эта Фурье-компонента состоит из двух слагаемых, отвечающихпереходам d → u и u → d, т. е.dω = dud e iωud t + ddu e −iωud t ,∗причём ddu = dud . Поэтому после возведения в квадрат и усреднения по времени получается ⟨|d(t)|2 ⟩ = 2⟨|dud |2 ⟩. При такой замене результат (16.6) по формесовпадает с классическим – в полном согласии с принципом соответствия.§ 16.2.Излучение высших мультиполейВ ряде важных случаев представляют интерес излучение при переходах, для которых правила отбора (16.20) не выполняются. Иногда это – уникальный способполучить излучение той или иной необходимой нам частоты или получить сведения о деталях спектра состояний, иногда же структура уровней системы такова, чтоправила отбора (16.20) не выполняются ни для каких уровней, лежащих ниже интересующего нас уровня u.
Переходы с нарушением правил отбора (16.20) называютзапрещёнными, поскольку их вероятности значительно меньше, чем для электрического дипольного излучения.Следующий член разложения по ka. Итак, пусть dud = 0. В этом случае вамплитуде перехода (16.8) необходимо учесть уже второй член разложения по kr впоказателях экспонент e ikr , входящих в разложение оператора поля по операторамрождения и уничтожения фотонов (13.25) 1 . Тот же порядок по ka имеет и операторспинового взаимодействия. В итоге взамен (16.10) оператор взаимодействия принимает вид:ieV̂ (2) = −(kr) (Â(0) p̂) − gµB (ŝâ) .(16.15а)mcДальнейшее вычисление очень похоже на то, что делается в курсе электродинамики.
В слагаемом, не содержащем спина, удобно перейти к покомпонентной записискалярных произведений и разбить возникший тензор ri p j на антисимметричнуюи симметричную части:ie(2)(2)ki ri  j (0) p̂ j = V̂a + V̂s ,mcieki  j (0)ieki  j (0)(2)=−(r̂i p̂ j − r̂ j p̂i) ,V̂s = −(r̂i p̂ j + r̂ j p̂i) .2mc2mc(2)V̂s=0 = −(2)V̂a(16.15б)1 В приводимых формулах учитываются только слагаемые, отвечающие операторам рождения фотонов.учёт слагаемых с операторами уничтожения, необходимый при изучении поглощения света, не вносяничего нового в результаты, сделал бы вычисления более громоздкими.16.2. Излучение высших мультиполей267Антисимметричное слагаемое содержит компоненту вектора момента импульса(r̂i p̂ j −r̂ j p̂i) = eijk L̂k ≡ ei jk ~ℓ̂k .
В итоге это слагаемое преобразуется к виду (ср. (11.9))V̂a = −)()ie~ (ℓ̂[k Â(0)] ≡ −µB ℓ̂ B̂(0) .2mcВторая форма здесь получена с помощью (13.26). Окончательно, добавляя ещё слагаемое, содержащее спин, мы получаем оператор, содержащий магнитный моментсистемы,V̂a(2) = −m̂B̂(0),m̂ = µB (ℓ̂ + g ŝ).(16.16)Он определяет магнитно-дипольное излучение.Для симметричной части V̂s мы пользуемся тем же преобразованием, что и приописании электрического дипольного излучения, с использованием первой формыв выражении для возмущения (16.7) :()e⟨ψd | ri p̂ j + r j p̂i + p̂ j ri + p̂i r j |ψu ⟩ =2()ime⟨ψd | ri Ĥ r j − ri r j Ĥ + r j Ĥ ri − r j ri Ĥ + Ĥ r j ri − r j Ĥri + Ĥri r j − ri Ĥ r j |ψu ⟩ ≡2~()imeime≡⟨ψd | −ri r j Ĥ − r j ri Ĥ + Ĥ r j ri + Ĥri r j |ψu ⟩ = −(Eu − Ed )⟨ψd |ri r j |ψu ⟩ =2~~im= −imeωud ⟨ψd |ri r j |ψu ⟩ ≡ − ωud ⟨ψd |Qij |ψu ⟩ + Gδij ,3ime2ãäåQi j = e(3ri r j − r δij),G=−ωud ⟨ψd |r 2 |ψu ⟩ .3=Здесь Qi j – квадрупольный момент системы.Подставляя получившееся выражение в симметричную часть оператора взаимодействия (16.15) с учётом (13.26), можно записать это взаимодействие в виде1V̂s(2) = −Qij ∂ Êi(0) .6 ∂r j(16.17)Это выражение определяет электрическое квадрупольное излучение.Вычисляя, наконец, матричные элементы (16.8) этих двух слагаемых по состояниям (частица + поле) с учётом (13.26), (13.30), найдём√iωdu 2π~c 2 √(2)Vdu,a = −nkλ + 1 · εkλ mdu ,(16.18а)cωL3√iωdu 2π~c 2 √(2)Vdu,s = −nkλ + 1 · εkλ;i k j Qij,du ,(16.18б)6cωL3При nkλ = 0 эти формулы описывают соответственно магнитное дипольное и электрическое квадрупольное излучение.
Соответствующие скорости переходов, угловыераспределения и интенсивности вычисляются точно так же, как и при выводе формулы для дипольного излучения (16.12). Из окончательного ответа объём L3 выпадает.1 СлагаемоеG из ответа выпало, ибо коэффициент при нём есть δi j ki A j ∝ (k ε) = 0.Глава 16. Испускание и поглощение излучения268Получающийся результат совпадает с результатом классической электродинамики(c учётом видоизменения, обсуждавшегося в конце разд. 16.1.3).По построению ясно, чтоа) чётности состояний u и d должны совпадать (произведение ri p̂ j не меняетзнак при отражении);б) соответствующие скорости переходов в (ka) 2 .
α2 раз меньше скоростейэлектрических дипольных переходов (если те возможны). Поэтому такие переходыназывают (однократно) запрещёнными.Иногда оказывается, что обращаются в ноль и матричные элементы, входящиев (16.18). В этом случае приходится учитывать следующие члены разложения экспоненты e i(kr) по (kr). Принято говорить, что N -му члену разложения экспонентыe i(kr) по (kr) отвечают магнитный мультипольный переход (MN) и электрическиймультипольный переход (E N + 1).В частности, при N = 0 мы имеем электрический дипольный переход (E1), приN = 1 – магнитный дипольный переход (M1) и электрический квадрупольный переход (E2).
В следующем за рассмотренным порядке по (k r) (N = 2) в покомпонентной записи возникает тензор ri rk p̂ j . Как и выше, его удобно разбить на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть отвечает за магнитноквадрупольное излучение M2, а симметричная часть за электрическое октупольноеизлучение E3 (дважды запрещённые переходы).По построению ясно, что в отсутствие запретов для спонтанного излученияс частотой ω ∼ ω0 = Ry/~ENE1E1 2(N −1)rud∼ rud(ka) 2(N −1) . rudα,MNE1E1 2Nrud∼ rud(ka) 2N .
rudα .(16.19)Иными словами, переходы высокой мультипольности очень маловероятны, это –двукратно, трёхкратно и т. д. запрещённые переходы. Как и в классической электродинамике, скорости переходов (MN) и (E N + 1) – одного порядка1 .Если свойства симметрии системы таковы, что кажется возможным только сильно запрещённый переход, вероятность реального перехода может оказаться большерассмотренной выше, поскольку более «выгодным» станет процесс c нерезонанснымизлучением пары фотонов (при фиксированной законом сохранения их суммарнойэнергии) за счёт слагаемого e 2 A2 / (2mc 2) в гамильтониане (11.6).§ 16.3.Правила отбора для излученияВ (16.6), (16.12) (16.14) входит матричный элемент электрического дипольногомомента между состояниями u и d в атомной системе.
Для заданного начального состояния u конечное состояние d, достижимое с помощью электрического дипольного перехода, не может быть произвольным. Набор возможных конечных состоянийдля данного начального и соответствующий набор неисчезающих матричных элементов при таких переходах даются правилами отбора для векторных операторов1 Переходы между близко расположенными уровнями, для которых частота излучения ω ≪ ω , до0полнительно подавлены множителями (ω /ω0) 3+2(N −1) или (ω /ω0) 3+2N соответственно. В большинствеслучаев рассмотрение этих переходов лишено смысла в силу их чрезвычайно малой вероятности.16.4. Ширина спектральной линии269(разд.
12.2.1), которые для электрических дипольных E1 переходов читаются какхорошо известные условия: моменты состояний u и d отличаются не более чем на 1,а их чётности противоположны. Схожая аргументация относится и к излучению высших мультиполей.Пусть полные моменты состояний |u⟩ и |d⟩ равны соответственно ju и jd , а ихчётности это Pu и Pd . Тогда (с учётом правил сложения моментов и сохранениячётности) должны выполняться правила отбора:для (EN) излучения|jd − ju | 6 N, Pu · Pd = (−1) N ,для (MN) излучения| jd − ju | 6 N, Pu · Pd = (−1) N+1 .(16.20)Полезно отметить, что для N > 3 эти правила отбора должны читаться как|jd − ju | = N . Действительно, при меньших | jd − ju | допустимо излучение со значительно более вероятными переходами меньшей мультипольности.Правила отбора для электрического дипольного перехода можно пониматькак следствие того, что фотон – это частица со спином 1, при таком переходефотон уносит наименьший возможный момент импульса, равный 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
