1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Поэтому обратные переходы здесь не происходят,и биения не возникают.II. Конечных состояний с данной энергией много (например, при фотоэффекте электрон может вылететь в произвольном направлении). Скорость ухода из начального(связанного) состояния домножается на число возможных конечных состояний.Для таких систем немного меняется постановка задачи.Вероятность перехода выражается через амплитуду перехода (15.6а) и плотностьчисла состояний ρ(ν) соотношениемdw fi = |A fi (ν)|2 ρ(ν)dν .(15.22)Будем считать, что в начальном состоянии находится много одинаковых атомных систем.
Физический интерес представляет скорость переходов (число переходовв единицу времени) r fi , усреднённая по времени t, большому по сравнению со временем характерных процессов в системе и во внешнем поле 1/ω:∫∫ddr fi =⟨dw fi ⟩ωt→∞ ≡⟨|A fi (ν)|2 ρ(ν f )dν f ⟩ωt→∞ .(15.23)dtdt∫(Это отвечает предположению, что r fi → dw fi /t при ωt → ∞ и что r fi t ≪ 1.)15.6.1. Плотность числа состоянийВ изучаемых задачах физический интерес представляют вероятности переходане в одно состояние |f ⟩, но в целую группу близких состояний. Мы нумеруем этиГлава 15. Гамильтониан , зависящий от времени256состояния значком ν и интересуемся переходами в состояния, лежащие в интервалеот ν до ν + dν. Обычно это число пропорционально объёму системы V . Обозначимчерез dN = V ρ(ν)dν число различных конечных состояний системы, принадлежащих этому интервалу.
Функцию ρ(ν) называют плотностью числа состояний поν (в единице объёма). Если энергии частиц велики по сравнению с энергией взаимодействия U , то бо́льшую часть времени частица проводит в области, где её движениепочти свободное. Далее всю систему заключают в большой кубический ящик со стороной L (объём V = L3) с непрозрачными стенками. Получив решение, переходятк пределу L → ∞ там, где это возможно.Найдём сначала число состояний ∆N с величиной импульса (по модулю) в интервале (p, p + ∆ p). Для рассматриваемых состояний волновая функция частицы– стоячая волна ψ = A sin(πnx x/L) sin(πny y/L) sin(πnz z/L). Это – суперпозицияплоских волн, отвечающих значениям импульса p = π~(±nx , ±ny , ±nz) /L с положительными целыми значениями nx , ny , nz . Количество целочисленных значенийni , при которых импульс попадает в интервал ∆3 p (число возможных квантовых состояний в этом интервале), равно ∆N = 2L3 ∆3 p/ (π~) 3 (дополнительныймножитель 2 появился из-за наличия двух спиновых состояний для электрона илидвух поляризаций для фотона).
С учётом того, что при переходе к распределениюпо величине импульса p надо учесть только положительные ni , ∆3 p ⇒ 4π p 2 ∆ p/8,и ∆N = V π p 2 ∆ p/ (π~) 3 .То же число состояний можно получить, считая ящик периодически продолженным на всё пространство и наложив условие периодичности на границах. Здесь могутраспространяться бегущие волны так, что на период приходится целое число волнn′i λ = L. При этом числа n′i могут быть и положительными и отрицательными. Числовозможных квантовых состояний в интервале ∆3 p есть ∆N = 2L3 ∆3 p/ (2π~) 3 .Третий способ получить тот же ответ состоит в использовании квазиклассического приближения, согласно которому на элемент ∆ p∆q фазового объёма приходится∆ p∆q/ (2π~) квантовых состояний (6.11).▽ В полярных координатах, обозначая элемент телесного угла в пространствеимпульсов через dΩ p , мы имеем ∆N и ρ(| p|):∆N =V2p 2 ∆ pdΩ pV8π p 2 dp⇒⇒ ρ(|p|) = 8π p 2 / (2π~) 3 .3(2π~)(2π~) 3(15.24а)♢ Для перехода к распределению по энергиям (ν = E)√ выразим импульс черезэнергию, т.
е. для электронов (e) положим в (15.24а) p = 2mE; а для фотонов (γ)запишем p = E/c или для распределения по частотам (ν = ω) запишем p = ~ω /c.Это даёт√4π E (2m) 3/2dNe = V ρe (E)dE, ρe (E) =,(15.24б)(2π~) 3ω2(15.24в)dNγ = V ργ (ω)dω,ργ (ω) = 2 3 .π cВ более сложных системах может обнаружиться другая форма зависимости ρ(ν).15.6. Переходы в непрерывный спектр25715.6.2.
Переходы под действием слабого периодического поляРассмотрим переход в непрерывный спектр под действием слабого периодического возмущения (15.10). Теория возмущений (15.19) работает в этом случае внезависимости от частоты внешней силы. Перепишем ответ (15.19) в другой формедля случая, когда энергия конечного состояния выше энергии начального состояния,т. е. приняв ω fi > 0, запишемa fi = Aε + A∆ ,ãäåAε = −F fie iεt/2 2i sin(εt/2)~ε(ε = ω fi − ω) ,i∆t/22i sin(∆t/2) A = −F ∗ e∆fi~∆(∆ = ω fi + ω).По общим формулам,∫вероятностьперехода[]w fi =|Aε |2 + 2Re(Aε A∗∆) + |A∆ |2 ρ(E f )dE f ,где, в частности, |Aε |2 = |F fi |2 sin2 (εt/2) / (~ε) 2 .
С ростом времени t относительныевеличины слагаемых Re(Aε A∗∆) и |A∆ |2 уменьшаются, а вклад слагаемого |Aε |2 сосредоточивается во всё более узкой области |ε| = |E f − Ei − ~ω|/~ . 1/t. Скоростьперехода (15.23) получается из этой вероятности делением на t и переходом t → ∞.После этого остаётся лишь квадрат первого слагаемого и интеграл по области, содержащей состояние f , для которого ω fi = ω:∫r fi = limt→∞∆E f 2 F fi 4 sin2 (εt/2)ρ(E f )dE f .~ε2 tМатематическая вставкаРассмотрим выражениеf(α) = lim f(α, t),t→∞Заметим, что{f(α, t) →0t/π{еслиеслиf(α, t) =sin2 αt.πα2 tα ̸= 0α→0при t → ∞ .}∫δ sin2 αtf(α, t)ϕ(α)dα ≡Кроме того,limϕ(α)dα =2t→∞ −δ−δ πα t1 ∫δt sin2 y1 ∫∞ sin2 y= limϕ(yt)dy→ϕ(0)dy → ϕ(0) ./t→∞ π −δty2π −∞ y 2∫δПоследний интеграл, несомненно, сходится.
Это – число. Коэффициент подобрантак, что оно равно 1. Таким образом, функция f(α) обладает всеми свойствамиδ-функции, т. е.sin2 αtf(α) = lim= δ (α) .(15.25)t→∞ πα2 tГлава 15. Гамильтониан , зависящий от времени258С помощью (15.25) находим скорость перехода (золотое правило Ферми)22∫r fi =ρ(E f )dE f F fi /~ 2πδ (ω fi − ω) = F fi /~ · 2π~ρ(E f )|E f =Ei +~ω .(15.26)∆EИтак, при t → ∞ выполняется закон сохранения энергии: энергия системы меняется в точности на величину энергии одного кванта внешнего поля.
При конечных временах существенными становятся другие значения энергииE f ̸= Ei + ~ω. Их характерный разброс увеличивается с уменьшением t – в соответствии с соотношением неопределённостей ∆E∆t > ~/2.Заметим, что приведённая интерпретация (15.26) становится точной, только еслииметь в виду, что к зависящему от времени гамильтониану (15.2) добавлен вторичноквантованный гамильтониан поля Ĥ field . Вторичное квантование Ĥ field – необходимое условие появления понятия фотонов с энергией ~ω.
Без этого золотое правилоФерми – просто свойство конкретного класса задач.§ 15.7.ФотоэффектПусть на атомную систему, находящуюся в стационарном состоянии i, падаетэлектромагнитная плоская монохроматическая волна. Под действием поля этой волны электрон может вылететь из атома (конечное состояние f – состояние электронав поле атомного остатка). Такое явление называют фотоэффектом1 .Явление фотоэффекта дало первые важнейшие аргументы в пользу существования фотонов как квантов электромагнитного излучения (Эйнштейн, 1905). Припрохождении фотонов не слишком больших энергий (~ω .
1 МэВ) через веществополное сечение их поглощения определяется в основном фотоэффектом.В качестве важного примера рассмотрим фотоэффект на атоме водорода, находящемся в основном состоянии (9.20) с энергией Ei = −1 Ry. Чтобыне усложнять вычисления, мы рассмотрим здесь случай только умеренно большихчастот поляRy = mc 2 α2 /2 ≪ ~ ω ≪ me c 2 .(15.27а)При этом энергия вылетевшего электрона E f ≈ ~ω − 1 Ry мало отличается от энергии фотона в волне, а импульс фотона ~k = ~ω /c мал по сравнению с импульсомвылетевшего электрона p:E f ≡ p2 / (2m) ≈ ~ω,~k =2E f~ω~kv≪p=⇒≈.cpp2c(15.27б)Условия (15.27а) означают также, что скорость вылетевшего электрона v = p/mзначительно больше характерной скорости электрона в атоме cα и мала по сравнению со скоростью света c (что обеспечивает возможность нерелятивистского рассмотрения):ppaBcα ≪ v =≪ c , кроме того≫ 1.(15.27в)m~1 В задачах физики твёрдого тела различают внешний фотоэффект с вылетом электрона из исследуемого образца и внутренний фотоэффект с вылетом ранее связанного электрона в зону проводимости.Во втором случае выражение для плотности числа состояний может заметно отличаться от (15.24б).15.7.
Фотоэффект259В этих условиях вылетевший электрон задерживается вблизи оставшегося ионана время, меньшее характерного атомного времени (9.14). Поэтому для него можнос хорошей точностью использовать волновую функцию свободного движения2ψ f = e ipr/~ .(15.28)Для вычисления вероятности перехода мы используем результат (15.26). Входящий в ответ оператор возмущения F̂ (15.18) в соответствии с (11.6) имеет вид))e (e (F̂ = −A0 e ikr + A∗0 e −ikr p̂ ≡ iE0 e ikr − E∗0 e −ikr p̂.mcmω(Мы воспользовались здесь выражением вектора-потенциала через электрическоеполе в кулоновской калибровке E = (iω /c)A (13.21).) В соответствии с (13.26) оператору уничтожения фотона отвечает первое слагаемое этого выражения.Матричный элемент оператора возмущения между начальным состоянием электрона в основном состоянии атома водорода (9.20) и его конечным состоянием(15.28) (с поглощением фотона) вычисляется следующим образом.
Сначала выполняется интегрирование по частям и отбрасывается ~k по сравнению с p – в силу(15.27б). Затем выполняется интегрирование по направлениям вектора r относительно направления p, и в конце выполняется интегрирование по r:√−ra/πa3B8eB∫ −i(pr ~−kr) ee~(pE0)3/E0 e∇√F fi = −≈d r=imωmω(1+p 2 a2B /~2) 2πa3B√8e~4 (pE0)π≈i.mω p 4a5BВведём ещё единичный вектор, направленный вдоль импульса вылетевшего электрона n = p/ p, и частоту ω0 = Ry/~.
В этих обозначениях выражение для числавылетов электрона в элемент телесного угла dΩ за единицу времени (15.26) при( ω )9/264a3B0нимает вид dr fi =|(nE0)|2dΩ. Деление этого выражения на полныйπ~ωпоток падающих фотонов в волне cE02 / (2π~ω) (величину вектора Пойнтинга (13.17),делённую на энергию одного фотона ~ω) даёт дифференциальное сечение( ω )7/20dσ = 64 α a2Bcos2 θdΩ,(15.29)ωгде θ – угол вылета электрона по отношению к направлению вектора поляризациипадающей волны. Полное сечение фотоэффекта быстро падает с ростом частотыфотона,( ω )72560σ=απa2B.(15.30)3ωВ области параметров, описываемых нашим расчётом (15.27), эта величина меняетсяна 7 порядков!2 Стоит заметить, что для возбуждённых состояний атома водорода и для молекулярных термов условие(15.27), обеспечивающееприменимость приближения(15.28), ослабляется, например, для атома водорода()(~ω > mc 2 α2 /2) → ~ω > mc 2 α2 / (2n2) .Глава 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
