1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Соответствующее изменение постановки задачи обсуждается в § 15.5.§ 15.3.Теория возмущенийВо многих случаях возмущение V̂ (t) таково, что под его действием невозмущённое решение меняется «не очень сильно», т. е. |ak (t) − δkn | ≪ 1. В этом случае длярешения возникающих задач применима теория возмущений. Как и в гл. 5, удобно ввести в возмущение множитель ε и иметь в виду разложение коэффициентовak(n) по степеням ε.
Рассуждения проводятся при ε → 0, а в конечном результатеполагают ε = 1, говоря, что возмущение V̂ (t) является малым.Первое приближение в решении уравнения (15.4) получим, подставив в егоправую часть нулевое приближение, ak(n) = δkn . Тогда это уравнение легко решается:iam(n) (t) = δmn −~1 Этот∫t′Vmn (t ′)e iωmn t dt ′ .(15.7)0подход часто используют при описании сложных систем. В частности, принимают, что в твёрдомтеле при t → −∞ электроны были невзаимодействующими, затем включилось взаимодействие их другс другом и с колебаниями решётки (с фононами), а затем при t → ∞ взаимодействие выключается.Физически осмысленными является те результаты, которые не зависят от законов включенияи выключения взаимодействия (в широком интервале их видоизменения).Глава 15.
Гамильтониан , зависящий от времени248Полученное соотношение определяет закон эволюции состояний «старого» базиса {|k; i⟩} под действием нашего возмущения. В соответствии с (15.5) это означает,что состояние |n; i⟩ с течением времени переходит в состояние|ntV ⟩ = |n(t); i⟩−i ∑ ∫t′Vmn (t ′)e iωmn (t −t) dt ′ |m(t); i⟩.~ m 0(15.8)(Здесь |n(t); i⟩ – волновой вектор начального состояния |n; i⟩, каким он стал бы кмоменту времени t в отсутствие возмущения; вектор состояния |ntV ⟩ – то, во чтопревратился вектор |n; i⟩ к моменту времени t под действием возмущения V̂ (t).)Множитель e −iωmn t возник при переходе от базиса |m; i⟩ к базису |m(t); i⟩.Амплитуда перехода из состояния |n; i⟩ начального гамильтониана в состояние|m; f ⟩ вычисляется с помощью соотношения (15.6а).
Соотношение (15.8) описываетразложение вектора состояния |ntV ⟩, который получился из исходного под действием нашего возмущения, по векторам состояния исходного базиса {|k(t); i⟩}. Чтобывычислить амплитуды перехода, удобно разложить базисные векторы конечного состояния |r(t); f ⟩ по векторам начального базиса {|k(t); i⟩}.
В первом приближенииобычной теории возмущений (5.9), отвечающем выписанному приближению для |ntV ⟩,искомое разложение имеет вид∑ Vkn (∞)|n(t); f ⟩ = |n; i⟩e −iEn t/~ −|k; i⟩e −iEk t/~ .(15.9)~ωknk̸=nПокажем, как полученные результаты применяются в различных задачах.• A. Возмущение действует какое-то время, а затем выключается, V̂ (t) → 0при t → ∞ — вариант 1 § 15.2.
Тогда в конце мы опять имеем дело с невозмущённой системой, набор новых волновых векторов {|n; f ⟩} совпадает с исходным {|n; i⟩},амплитуды перехода совпадают с коэффициентами am(n) (15.7).Вероятность перехода из начального состояния |n; i⟩ в конечное состояние|m; f ⟩ ≡ |m; i⟩ равна (при m ̸= n)∞2∫∫∞1iiωmn tiωmn tVmn (t)edt ⇒ wmn = 2 Vmn (t)eAmn = −dt .(15.10)~~ 00• Б. Возмущение, раз возникнув, затем действует неограниченно долго,V̂ (t) → V̂ (∞) при t → ∞ – вариант 2 § 15.2.
При этом новый набор собственныхфункций отличается от старого, {|n; f ⟩} ̸= {|n; i⟩}, см. (15.9). Проинтегрируем выражение am(n) (15.7) при m ̸= n по частям (до перехода к пределу t → ∞) и учтем, чтов подстановке вклад на нижнем пределе исчезает («до начала событий» возмущениеотсутствовало):t′∫t dVmn (t ′) e iωmn ti ∫tVmn (t)e iωmn t ′ iωmn t ′′am(n) = −Vmn (t )edt = −dt ′ .
+~0~ωmndt ′~ωmn00Подставляя теперь в выражение для амплитуды перехода (15.6) найденные выражения для проэволюционировавшего вектора начального состояния |ntV (t)⟩ (15.8)15.3. Теория возмущений249и для базисного вектора конечного состояния (15.9), найдём при t → ∞ амплитудуперехода и его вероятность:Amn1=~ωmn∫∞dVmn iωmn tedt ⇒ wmn = |Amn |2 .dt(15.11)0▽ При медленном (адиабатическом) включении возмущения V̂ (с характернымвременем изменения T) экспонента под интегралом множится на малую величину⟨d V̂ /dt⟩ ∼ ⟨V̂ ⟩/T , что даёт для интеграла величину порядка 1/ω(fi T .
Иными) словами,состояние системы не изменяется с точностью до поправок O 1/ (ω fi T) 2 .Второе приближение. Амплитуда вероятности перехода в некоторые состояния в первом порядке теории возмущений иногда оказывается малой или простоисчезает. В этих случаях необходимо учесть следующее приближение теории возмущений. В частности, второе приближение получается при подстановке в правуючасть уравнения (15.4) первого приближения (15.7), что выглядит как последовательность переходов через промежуточные состояния |n⟩ → |r⟩ → |m⟩:am(n) (t) = δmn −′i ∫tVm n (t ′)e iωmn t dt ′ −~0∫t11 ∑ ∫t− 2dt1 dt2 Vm r (t1)e iωmr t1 Vr n (t2)e iωrn t2 .~ r̸=m,n 00(15.12)Последующая процедура та же, что развита при обсуждении первого приближения.Связь со стационарной теорией возмущений § 5.2. Чтобы описать действиепостоянного во времени возмущения V̂ , введём вспомогательный объект – возмущение V̂ (t) = V̂ e t/τ (τ → ∞), совпадающее с V̂ в настоящее время и исчезающее«в далеком прошлом».
Экспоненциальный множитель обеспечивает сходимость интегралов (от t = −∞ до t = 0), и получившиеся результаты очень просто преобразуются в коэффициенты разложения волновой функции по невозмущённому базису§ 5.2. В сущности, именно это соответствие использовалось при выводе (15.11).15.3.1. Пример. Возбуждение атома водорода пролетающимиономПусть мимо атома водорода, находящегося в основном состоянии, пролетает тяжёлый ион с зарядом Z и массой M на достаточно большом расстоянии (прицельный параметр) 1 ρ ≫ aB . Требуется найти вероятность переходаатома W(ρ) в возбуждённое состояние, для определённости с n = 2.Рассматриваются переходы под действием пучка ионов, прицельный параметркаждого из которых обычно не измеряется.
Пока скорость иона не чрезмерно мала,неопределённость в значениях прицельного параметра ∆ρ ∼ ~/ (M∆v) значительно1 Можно считать, что вдали от атома ион движется по прямой, минимальное расстояние от этой прямойдо атома называют прицельным параметром.Глава 15. Гамильтониан , зависящий от времени250меньше характерного атомного размера aB . Поэтому можно считать, что вклады,доставляемые в вероятность перехода различными значениями ρ, не интерферируют,т. е. ответ определяется суммированием вероятностей перехода по всем значениямприцельного параметра, которое описывается сечением процесса∫σ = W(ρ)2πρdρ(15.13)(см.
обсуждение понятия сечения в курсе «Механика» и в гл. 17).Итак, в нашей задаче невозмущённый гамильтониан Ĥ0 = ĤH + K̂ , гдеĤH – обычный гамильтониан атома водорода, а K̂ = p̂è2 / (2M) – стандартный оператор кинетической энергии иона. Пусть R, re и r p – векторы положений иона,электрона и протона соответственно, а r = re − r p = (x, y, z) – вектор положенияэлектрона относительно ядра. Выберем за ось x направление движения иона, а за осьy – направление от ядра к иону в точке наибольшего сближения. При наших условиях движение иона можно считать прямолинейным так, что вектор R = (vt, ρ, 0).Возмущение складывается из взаимодействия иона с ядром и с электроном,Ze 2Ze 2V̂ (t) =−.
Поскольку ρ ≫ aB , а характерные значения расстояния|R − rp | |R − re |между электроном и протоном ∼ aB , то re /R ≪ 1 и r p /R ≪ 1. Разложив V̂ (t) поэтим малым параметрам, мы обнаруживаем, что возмущение сводится к воздействиюиона на атом в целом, а не на протон и электрон по отдельности:V̂ (t) = −Ze 2 (Rr)Ze 2 (xvt + yρ)≡− 23R(ρ + v 2 t 2) 3/2()r = re − r p .(15.14)Этот оператор линеен по координатам вектора r. Поэтому для него работают правила отбора разд. 12.2.1, переходы из основного s-состояния |i⟩ = |1, 0, 0⟩ возможнытолько в состояние |f ⟩ с ℓ = 1. Тот же вывод получается, если подставить в матричные элементы ⟨1, 0, 0|V̂ (t)|n, ℓ, m⟩ явные выражения для оператора возмущения(15.14) и для угловой части волновых функций в сферических координатах.Рассмотрим состояния | f ⟩ с n = 2, т.
е. |f ⟩ = |2, 1, ±1⟩ и ~ω fi = 1 − (1/4) = (3/4)(всё – в Ry). Используя волновые функции (9.20), (9.21), нетрудно вычислить теперьx fi = ±iy fi = −(27 /35)aB и после простых переобозначений с учётом (9.14) получитьматричные элементы переходов в состояния |f ⟩ = |2, 1, ±1⟩ в видеa f ±i (∞) =2Ze 2 x fi1 ∫∞ iβu 1 ± iuI± (β) , ãäå I± (β) =edu ,~vρ2 −∞(1 + u2) 3/2ω fi ρvt3 ρ cαu=,β==.ρv8 aB v(15.15)Определяющий параметр нашей задачи β – произведение двух величин. Величина αc/v представляет собой отношение характерной скорости движения электрона в атоме αc к скорости иона v, она может меняться в широких пределах – отM/me ∼ 104 до α ∼ 0, 01.
Наш анализ позволяет определить сечение (15.13), еслиобласть ρ/aB ≫ 1 даёт сюда основной вклад.15.3. Теория возмущений251Подынтегральная функции (15.15) функция аналитична во всех точках верхнейполуплоскости комплексной плоскости переменной u, кроме корневой точки ветвления при u = i.
Связной областью аналитичности эта полуплоскость становитсяпосле удаления разреза, начинающегося в точке ветвления. Удобно направить этотразрез вверх вдоль мнимой оси. Теперь продолжим путь интегрирования в интеграле(15.15), идущий по действительной оси от −∞ до +∞, дугой верхнего большого полукруга, за вычетом разреза, т. е. дойдём по этой дуге вверх до точки ε + i∞, затемпродолжим путь вниз справа от мнимой оси, обогнём снизу точку ветвления u = iи поднимемся с другой стороны мнимой оси вверх до точки −ε + i∞, затем контурзамкнём дугой большого круга в точку −∞. Внутри этого контура подынтегральноевыражение не содержит особенностей, поэтому полный интеграл по этому контуру обращается в нуль. Вклады интегралов по дугам большого круга обращаются внуль за счёт фактора e iβu под интегралом. В итоге интересующий нас интеграл равенинтегралу по разрезу (ε + i∞ → i(1 − ε) → −ε + i∞).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
