1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Посколькуу тяжёлых ядер нейтронный избыток N −Z ≡ A−2Z больше, чем у лёгких, при такомраспаде вылетает также несколько нейтронов (обычно 2−3). Этот процесс спонтанноразвивается только у самых тяжёлых ядер, соответствующие времена жизни оченьвелики (∼ 1015 лет и больше). В большинстве случаев такой распад происходитпосле предварительного поглощения медленного нейтрона (вынужденный распад).14.3.3. Использование ядерной энергииРеакция деления тяжёлого ядра – основа работы обычных ядерных реакторови атомной бомбы. Здесь используется тот факт, что для самых тяжёлых ядер из-закулоновского отталкивания энергия связи, приходящаяся на нуклон, меньше, чем дляядер со средними массами (см. рис.
12.1). По-видимому, один природный ядерныйреактор работал на Земле в Африке в доисторические времена.Термоядерный синтез изотопов водорода в He и более тяжёлые ядра использует тот факт, что при этом выделяется значительная энергия (см. рис. 12.1).Термоядерный синтез составляет основу энергии звёзд, водородной бомбы и – мынадеемся – будущего термоядерного энергетического реактора.§ 14.4.Задачи1. Найти поправку к энергии атома He за счёт взаимодействия электронов для основного состояния 1s 2 , используя и вариационный метод и теорию возмущений.Обсудить влияние спина на уровни возбуждённых состояний.2.
Измеренное значение энергии полной ионизации атома гелия (энергия, необходимая, чтобы оторвать оба электрона) составляет 5, 8 Ry. Определить энергиюоднократной ионизации этого атома.3. Рассмотрите атом гелия, разд. 14.1.2. Докажите, что полный орбитальный моменти полный спиновый момент системы двух электронов коммутируют с гамильтонианом, т. е. являются интегралами движения.
Рассматривая взаимодействие междуэлектронами как возмущение, рассчитайте энергетические уровни для конфигурации 1s2s и убедитесь в том, что благодаря обменному взаимодействию энергиятриплетного терма ниже энергии синглетного терма.4. Указать все термы конфигураций электронов nsn′ p; n pn′ p; p 2 ; p 3 ; d 2 ; d 3 .244Глава 14. Атомы , молекулы , ядра5.
Найти термы и магнитные моменты основных состояний атомовH, Ne, P, Cr, S, V, Al, C, N, O, Cl, Fe, Ti, Ge.Парамагнитные или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном полеатом углерода, находящийся в нормальном состоянии?6. Найти тонкую структуру первых двух уровней атома водорода.7. Найти сверхтонкое расщепление основного состояния атома водорода, вычисляямагнитное поле электрона в районе ядра B(0).8.
Атом бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s 2 2s 2 2 p. Оценить спин-орбитальное расщепление в этом состоянии. Как выглядит здесь эффект Зееманав слабом и в сильном поле?9. Найти среднее значение магнитного момента электрона в состоянии p1/2 .10.
Две частицы с моментами J1 = 1 и J2 = 4 взаимодействуют по закону U = C Jˆ 1 Jˆ 2 .Найти спектр стационарных состояний. Определить кратности вырождения. Найти среднее значение µ̂z = µB (g1 Ĵ1z + g2 Ĵ2z) при J = 5.11. Какое магнитное поле действует на ядро со стороны электрона в состоянии|n, ℓ, ℓz , jz ⟩?12. Найти сдвиги уровней в магнитном поле в состоянияхa) |J, M, L, S⟩, b) |L, mℓ , S, MS ⟩, c) |J, M, J1 , J2 ⟩; µ̂z = µB (g1 Ĵ1z + g2 Ĵ2z).13.
Оцените поправки к уровням энергии атома водорода, обусловленные взаимодействием магнитных моментов электрона и ядра (сверхтонкое расщепление).14. Оценки в модели Томаса–Ферми:(a) Найти зависимость от Z для среднего и среднеквадратичного расстоянийэлектрона от ядра.(b) Найти распределение электронов по импульсам. Найти зависимость от Zсредней кинетической энергии электрона.15.
Квантованные колебания поверхности атомного ядра имеют момент 2. Какие полные моменты допустимы для состояний, в которых имеются два или три такихкванта? Чему равно полное число состояний системы N квантов (с учётом разных значений проекции полного момента)?Глава 15Системы с гамильтонианом,зависящим от времениВ этой главе мы рассмотрим системы с гамильтонианом, зависящим от времени.Чаще всего это – системы, находящиеся под действием внешнего поля, но это могутбыть и распадающиеся системы, которые удобно описывать разными гамильтонианами до и после распада, и др.§ 15.1.Постановка вопросаДля систем с гамильтонианом, зависящим от времени, решавшиеся ранее задачиоб отыскании стационарных состояний и их эволюции теряют смысл. Здесь ставятсяи решаются совсем другие задачи. Обсудим сначала общую постановку вопроса длябольшинства таких задач.▽ Пусть до «начала событий» система описывалась гамильтонианом Ĥi(i – initial) с собственными состояниями |k; i⟩ и уровнями энергии Eik .
В этой главемы различаем вектор |k; i⟩ – не зависящее от времени решение стационарного уравнения Шредингера c гамильтонианом Ĥi , и зависящий от времени вектор |k(t); i⟩– решение полного уравнения Шредингера с тем же гамильтонианом и с той жеэнергией:d|k(t); i⟩(15.1)i~= Ĥi |k(t); i⟩,|k(t); i⟩ = |k; i⟩e −iEik t/~ .dt▽ Начиная с момента t = t0 гамильтониан начал меняться под действием возмущения V̂ (t) (обычно принимают t0 = 0):Ĥi → Ĥ = Ĥi + V̂ (t),V̂ (t < t0) = 0.(15.2)▽ «После конца событий», при t → ∞, система переходит в конечное состояние,которое описывается гамильтонианом Ĥ f = Ĥi + V̂ (∞) с аналогичными собственными векторами |r; f ⟩ и |r(t); f)⟩ и уровнями энергии E fr (f – final).
В такой системеГлава 15. Гамильтониан , зависящий от времени246нет стационарных состояний.Здесь основная задача – найти вероятности переходовиз начального состояния |k; i⟩ в одно из состояний |r; f ⟩.Наблюдение за системой в промежуточный момент времени необратимо изменяет её, результат последующей эволюции искажается. Поэтому ответ на вопрос, чтослучалось с системой «по дороге» из |k; i⟩ в |r; f ⟩, не содержит измеримой информации, относящейся к изучаемому процессу. Избранный метод описания можетвключать высказывания, выглядящие как рассказ о промежуточных этапах эволюции.
При другом способе описания промежуточные этапы эволюции могут выглядетьсовсем по-другому. Содержательный вопрос касается только сопоставления картин«до начала событий» и «после конца событий». Разумеется, ответ на него не зависитот способа описания.§ 15.2. Уравнение Шредингера в представлениивзаимодействияПринято искать решения уравнения Шредингера |α(t)⟩ в виде разложения пособственным функциям исходного гамильтониана1 Ĥi (15.1):i~)∂|α(t)⟩ (= Ĥi + V̂ (t) |α(t)⟩,∂t|α(t)⟩ =∑ak (t)|k(t); i⟩.(15.3)kПодставим это разложение в выписанное уравнение Шредингера.
Производнаяпо времени от множителя |k(t); i⟩ в левой части уравнения даёт вклад, компенсирующий Ĥi |k(t); i⟩ в правой части. Умножая после этого результат слева на ⟨m(t); i|,получим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия (§ 3.4):i~∑ tdam= Vmk(t)ak (t),dtk(15.4)tVmk(t) = ⟨m(t); i|V̂ (t)|k(t); i⟩ ≡ Vmk (t)e iωmk t , ωmk = (Em,i − Ek,i) /~.Это уравнение показывает, во что переходят состояния «старого» базиса {|k; i⟩} подtдействием нашего возмущения. Подчеркнём, что оба матричных элемента Vmk(t)tи Vmk (t) зависят от времени.
(Оператор V̂ получился из V̂ с помощью оператораэволюции Û0 (3.1а), (3.2) так же, как получались операторы физических величин(3.4) в гайзенберговской картине.)▽ Обычно в качестве начального берут одно из стационарных состояний исходнойсистемы |n; i⟩. При этом ak (t = 0) = δkn , а коэффициенты ak иногда снабжаются1 В этой«естественной» процедуре необходима осторожность.
Для всех полностью физически осмысленных гамильтонианов спектр собственных состояний может служить базисом одного и того же гильбертова пространства, быть может, оснащённого, и описываемый подход оправдан. Однако, нередко используются приближенные потенциалы, набор собственных функций которых образует базис лишь некоторойчасти общего гильбертова пространства, и эти части различны для начального и конечного состояний.В этом случае нужны другие методы.
Такой пример даёт переход от узкой прямоугольной бесконечнойпотенциальной ямы к подобной широкой яме.15.3. Теория возмущений247вторым индексом (n), т. е. ak → ak(n) . Для состояния |ψ⟩ (15.3), получающегосяв этом случае, мы используем специальное обозначение |ntV ⟩:∑()|ntV (t)⟩ =ak(n) (t)|k(t); i⟩, |ntV (t = 0)⟩ = |n; i⟩ .(15.5)k♢ Амплитудами перехода называют коэффициенты разложения этого векторапо собственным векторам конечного состояния при t → ∞,Amn ≡ Am(f)n(i) = ⟨m(t); f |ntV (t)⟩t→∞ .(15.6а)Вероятности перехода получаются отсюда стандартным образом:wmn = |Amn |2 .(15.6б)Рассматривают три варианта конечных состояний.1. «После событий» возмущение выключается, и форма гамильтониана восстанавливается1 , т. е.
набор {|k; f ⟩} совпадает с набором {|k; i⟩}.2. После действия возмущения (например, при распаде ядер, ионизации и т. п.)возникает новая система, с новым гамильтонианом, и нужно ещё найти стационарныесостояния |k; f ⟩.3. Включается периодическое поле (например, на систему действует поле лазерной волны), в котором стационарных состояний вообще нет, и даже наше понятиеамплитуды перехода не определено. Обычно здесь предполагают, что внешнее полев некоторый момент выключается (как в первом варианте).♢ При описании переходов в непрерывный спектр физический интерес представляет вероятность перехода из состояния |k; i⟩ не в одно состояние |r; f ⟩, но в целуюгруппу близких состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
