1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 62
Текст из файла (страница 62)
При стремлении ε к нулювклад этой полосы сводится к разности интегралов на двух берегах разреза. Длянаглядности сделаем замену u = i(1 + w) и получим, например,∫∞dwI+ (β) = e −β e −βw √.w(2 + w) 30Этот интеграл монотонно падает с ростом β. При β ≪ 1 сходимость интегралаобеспечивается корнем в знаменателе, экспоненту можно отбросить.
Остающийсяинтеграл легко вычисляется. При β ≫ 1 интеграл сходится в области w . 1/β, гдеподкоренное выражение можно заменить просто на 8w. В итоге√πÏðè β ≪ 1 : I± (β) = 1; ïðè β ≫ 1 : I+ (β) ≈ 8βe −β .♢ Для медленного иона (v . αc) величина β ≫ 1 при всех допустимых нашимприближением (15.14) значениях прицельного параметра (ρ > aB). Получающаясявероятность экспоненциально мала:( )3aB217222 αcW = |a f +i | + |a f −i | = AZe −2β ; A = 11 π = 2, 32 .vρ3Мы не имеем разумной оценки для вклада небольших прицельных параметров,т. е.
не умеем определять полное сечение (15.13). Полученный результат можно использовать лишь в случаях, когда прицельный параметр удаётся измерить.♢ Для быстрого иона (v ≫ αc) при очень больших значениях прицельногопараметра вероятность перехода описывается предшествующей формулой, т. е. экспоненциально мала. Однако существует и область значений прицельного параметраρ ≪ (8/3) (v/cα)aB , где β ≪ 1, и вероятность перехода( )2 ( a )2217B2 cαW(ρ) = BZ; B = 10 = 2, 22 .vρ3В интеграле (15.13) вклад прицельных параметров ρ > (8/3) (v/cα)aB экспоненциально мал, и мы не будем его учитывать.
Вклад области ρ . aB не описываетсяГлава 15. Гамильтониан , зависящий от времени252нашим приближением, но нет причин, чтобы он был аномально большим. Поэтомуосновной вклад в сечение происходит из области aB < ρ < (8/3) (v/cα)aB (за счёт еёбольшой ширины), что даёт сечение нашего процесса с логарифмической точностью,(8/3)∫(v/cα)aBσ≈W(ρ)2πρdρ = 2πa2B BZ 2( cα )2vln(8v/3cα) πa2B .aBЗаметим, что получившийся логарифм не превосходит 6.
Поэтому качество оценки– не очень высокое.§ 15.4.Скачкообразное изменение гамильтонианаПусть гамильтониан меняется к новому значению Ĥ f очень быстро, т. е. за время∆t, малое по сравнению с характерными временами осцилляций между состоянием|i⟩ и другими состояниями ~/|Ei − Ek |. (Примеры : быстрое включение поля , действующего на атом внутри конденсатора ; β -распад ядра в атоме).
В этом случаес точностью до поправок ∼ ω fi ∆t ответ получается без предположения о слабостивозмущения.При ω fi ∆t ≪ 1 волновая функция не успевает измениться при изменении гамильтониана. Но далее она эволюционирует уже по закону, определяемому гамильтонианом Ĥ f . Амплитуда перехода в одно из его собственных состояний |n; f ⟩ есть⟨n; f |k; i⟩, а вероятность этого перехода w fn,ik = |⟨n; f |k; i⟩|2 . В этом интеграле обеволновые функции взяты в момент изменения потенциала (t = 0). В частности, соотношение (15.11) даёт в этом случае2w fi = V fi / (~ω fi) .(15.16)Примеры• Включение поля в осциллятореПусть заряженный осциллятор находится в основном состоянии |0⟩ в отсутствиевнешнего поля.
В некоторый момент включается постоянное внешнее поле E, т. е. постоянная сила F = eE, при этом к гамильтониану добавляется слагаемое V = −xF .Новый гамильтониан соответствует осциллятору с той же частотой и со смещённымположением равновесия x → x − a, где a = F/mω 2 . При этом ψk;i (x) = ψk (x − a),где ψk (x) – хорошо известная волновая функция осциллятора (4.26) (второй вариант конечных состояний) 1 .
Вычислим вероятность того, что система останетсяв основном состоянии w00 , используя волновую функцию (4.25):∫ ∫2222 2222 2w00 = dxC 2 e −x /2x0 e −(x−a) /2x0 = dxC 2 e −(x −xa+a /2) /x0 =∫2222 223= dxC 2 e −(x−a/2) /x0 −a /4x0 = e −F / (2~mω ) .1 Это означает, что наше состояние– когерентное состояние нового гамильтониана (4.40)√с α = a/ (x0 2). Для амплитуд перехода и вероятностей можно воспользоваться теперь результатами раздела 4.4, что немедленно даёт (15.17).15.5.
Периодическое возмущение253Аналогичным образом вычисляется и вероятность перехода в n-е состояние. Простые, но громоздкие вычисления показывают, что вероятности переходов в состояния|n; f ⟩ распределены по закону Пуассона (4.46):wn0 =un −ue ,n!u=F2.2~mω 3(15.17)Видно, что при небольших значениях F вероятность возбуждения разных состояний быстро падает с ростом n, обычная теория возмущений работает только приочень малых F .• Изменение состояния атома при β-распаде.
Изотоп водорода тритий 3 H(с ядром, втрое более тяжёлым, чем протон) распадается с периодом полураспада12,26 года по схеме 3 H →3 He + + e + ν̄ и с выделением энергии ε = 18, 6 кэВна распад. Отдельный акт распада происходит за характерное время слабого взаимодействия ∼ 10−26 c, т.
е. мгновенно с точки зрения атомных времен (порядка 10−15 с). Вылет электрона и антинейтрино за пределы атома происходит стольбыстро, что атомный электрон «не успевает» сдвинуться сколько-нибудь заметным образом (отношениевремени вылета электрона к периоду атомного электро√на составляют ∼Ryε ∼ 1|30, соответствующее отношение для нейтрино естьcα/c ∼ 0, 01).
Поэтому атомный процесс состоит в мгновенном превращении атомаводорода с тяжёлым ядром 3 H , имеющим заряд e, в водородоподобный атом 3 He +с одним электроном, оставшимся от исходного атома и зарядом ядра 2e. Термы такихатомов описываются в точности так же, как термы атома водорода (§ 9.3).Пусть распадающийся атом трития находился в основном состоянии |1 , 0 , 0⟩H .Пренебрегая эффектами отдачи, найдём вероятность того, что получившийся водородоподобный атом 3He + перейдёт в состояние |f ⟩ ≡ |n, ℓ, m⟩He .
Как обсуждалосьвыше, амплитуда перехода в это состояние есть A fi =H ⟨1 , 0 , 0|n , ℓ , m⟩He . В силу сохранения момента импульса эта амплитуда отлична от нуля только при ℓ = 0,m = 0. Дальнейшие выкладки с использованием водородоподобных волновыхфунк√ций просты. В частности, простое использование (9.20) даёт A00 = (2 2/3) 3 ≈ 0, 84,и вероятность остаться в основном состоянии w00 = |A00 |2 ≈ 0, 7.Учёт отдачи сходен с тем, что делалось в начале § 7.7 для эффекта Мёссбауэрас тем различием, что в нашем случае распределение энергии между оставшимсяядром и лептонами (электрон и антинейтрино) не фиксировано, а зависит от угламежду импульсами вылетевших электрона и антинейтрино.§ 15.5.Периодическое возмущениеРассмотрим важный случай периодического возмущения:V̂ = F̂ e −iωt + Ĝe iωt ≡ F̂ e −iωt + F̂ + e iωt .(15.18)(Равенство Ĝ = F̂ + – следствие эрмитовости оператора V̂).Мы будем вычислять вероятности переходов к моменту времени t в первой постановке, полагая, что возмущение просто выключается в этот момент времени.Глава 15.
Гамильтониан , зависящий от времени25415.5.1. Нерезонансное возмущениеЕсли нерезонансное возмущение мало, можно использовать теорию возмущений.Подставив (15.18) в (15.7), найдём (без учёта начального условия)()( i(ω +ω)t)∗Fmn e i(ωmn −ω)t −1Fnme mn−1(15.19)am(n) (t) = δmn −−.~(ωmn − ω)~(ωmn + ω)Это решение справедливо только при |Fmn | ≪ ~|ωmn ± ω|.15.5.2. Почти резонансное возмущениеТеория возмущений неприменима, если для какого-то уровня m «расстройка»ε ≡ ωmn − ω близка к нулю, т. е.
если возмущение почти резонансное. В этом случаеследует решать уравнение (15.4) в совсем другом приближении, учитывая в первуюочередь «резонирующие» уровни. «Резонирующие» уровни в таком случае следуетучесть точно, а остальные учесть (если нужно) как малые возмущения.Будем считать, что «резонирует» только одна пара уровней, т. е. нет других паруровней m, n таких, что «расстройка» ωmn − ω очень мала и будем вычислять величины, усреднённые по таким временам t, что |ωmn + ω|T ≫ 1, а |ωmn − ω|T ≪ 1.При этом усреднении все средние ⟨e iαt ⟩ обращаются в нуль, если |α| ≫ |ωmn − ω|.В результате в уравнениях (15.4) остаётся только пара резонирующих уровней и наша система уподобляется паре связанных классических осцилляторов под воздействием почти резонансной силы.
В частности, в этом уравнении исчезают слагаемые,содержащие exp(±i(ωmn + ω)t). В итоге эволюция пары рассматриваемых состоянийописывается системой уравнений:i~dam(n)= Fmn e iεt an(n) ,dti~dan(n)∗ −iεt= Fmneam(n) .dt(15.20)Подставим an(n) из первого уравнения во второе и найдёмd 2 am(n)dam(n)|Fmn |2−iε+am(n) = 0.dt 2dt~2√Обозначив η = Fmn /~ и Ω = ε2 /4 + |η|2 , с использованием начального условияak(n) = δkn получим теперь решение этого уравнения:()iη iεt/2iεam(n) = − esin Ωt,an(n) = cos Ωt +sin Ωt e −iεt/2 .(15.21а)Ω2ΩПолезно выписать также|am(n) |2 =|η|2sin2 Ωt,Ω2|an(n) |2 = 1−|η|2sin2 Ωt.Ω2(15.21б)Полученное решение означает, что система периодически, с частотой Ω, переходит из состояния |n; i⟩ в |m; i⟩ и обратно.
Появившиеся биения с приближениемк резонансу (с уменьшением ε) становятся всё полнее.15.6. Переходы в непрерывный спектр255▽ Разумеется, это решение справедливо, только если получившаяся частота биений Ω ≪ ω. Это условие, кроме требования ε ≪ ωmn , налагает также и требованиеобычной теории возмущений |Fmn | ≪ ~ωmn .• Учёт в уравнениях (15.20) для an(n) и am(n) отброшенных высокочастотных слагаемых, содержащих частоты ω + ωmn (т.
е. отказ от усреднения по времени), лишьнесущественно изменит картину биений. Рассмотрение таких слагаемых обычно неимеет смысла без учёта переходов в другие состояния. Возможность таких переходов приводит к уменьшению вероятности того, что система находится в резонирующих состояниях, это выглядит как затухание. Поскольку число этих нерезонансныхсостояний бесконечно велико, через очень большое время система может совсем«уплыть» из резонирующих состояний. Наше рассмотрение справедливо для умеренно больших интервалов времени.§ 15.6.Переходы в непрерывный спектрРассмотрим теперь задачу о переходе в непрерывный спектр под действием периодической внешней силы.
Важным примером здесь является фотоэффект – вылетэлектронов из атома (или другой системы) под действием света (периодическогоэлектромагнитного поля). У этих задач есть две особенности.I. Состояния непрерывного спектра не локализуются в какой-то конечной области,они соответствуют почти свободно движущимся частицам, которые уходят далеко отнашей системы и потому не могут в неё вернуться (электрон просто улетает от ядраи не может быть захвачен им).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
