1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Мультипольныепереходы отвечают излучению фотонов, имеющих, помимо спина, ещё и дополнительный орбитальный момент вокруг какой-то оси, связанной с устройством излучающей системы.▽ Отметим, что переходы ju = 0 → jd = 0 с излучением одного фотона запрещены. Они могут реализовываться лишь с излучением пары фотонов (второй порядокпо взаимодействию), и соответственно значительно менее вероятны, чем разрешённые дипольные переходы.§ 16.4.Ширина спектральной линии16.4.1.
Собственная ширина уровняРассматривая атомные системы до сих пор, мы учитывали только (кулоновскиепо происхождению) взаимодействия электронов и ядер друг с другом. Это привело нас к концепции стационарных уровней энергии этих систем. Учёт запаздыванияфактически вводит дополнительное взаимодействие с электромагнитным полем внеядер и электронов. Это взаимодействие ничтожным образом смещает уровни энергии. Более важно, что при этом уровни перестают быть в точности стационарными,в этом приближении необходимо учитывать обсуждавшуюся выше возможность спонтанного перехода с верхнего уровня u на один из нижних d с одновременным излучением фотона частоты ωud .
Скорость этих переходов при электрическом дипольномизлучении описывается соотношением (16.6), (16.14). Эта скорость определяет парциальную собственную ширину спектральной линии Γud = ~rud .Собственная ширина уровня Γ определяется полной скоростью уходов с уровня u, которая даётся суммированием по всем нижележащим уровням d (т. е. это– сумма парциальных ширин).
Она связана с временем жизни τc соотношениями(ср. (2.41)):∑∑1~rc =rud , τc = , Γ =Γud =≡ ~ · rc .(16.21)rcτcddГлава 16. Испускание и поглощение излучения270♢ Используя (16.6), получим сначала грубую оценку ширины уровня, обусловленной (E1) переходом (ниже мы опускаем значок ud у частоты):( 2) ( )eωa 2e 2 ω2∼ ~ωα(ka) 2 .(16.22)Γud ∼ ~ω 3 ⟨|r|2 ⟩ ∼ ~ω~c~ccЗдесь среднее значение матричного элемента r2 оценивается как квадрат характерного атомного размера a и k = ω /c. Для атома водорода обычно ka ∼ α, поэтому(Γ/~ω) ∼ α3 .Вычислим это отношение для перехода 2p → 1s в атоме водорода.
В этом случае~ωud = (3/4)Ry, а матричный элемент ⟨2p|r|1s⟩ вычисляется с помощью (9.21).Выберем для определённости |2p⟩ = |2, 1, 0⟩. Тогдаz21 = ⟨2, 1, 0|z|1, 0, 0⟩ =∫=−r/2aB−r/aB15/2irecosθe √ r cos θ √ r 2 drdΩ = iaB 2.3532πa5Bπa3B(Матричные элементы ⟨2, 1, 0|x|1, 0, 0⟩ = ⟨2, 1, 0|y|1, 0, 0⟩ = 0.)Вспоминая теперь, что в силу теоремы вириала для атома водорода 1Ry = e 2 /2aBи собирая все коэффициенты из (16.6), найдём()[(3/4) (Ry/~)] 2 a2B4 215211 3Γ=α~ω=α ≈ 0, 1α3 ~ω .3 310c239Выполним подобную оценку для переходов из состояния |n + 1, ℓ = n, m⟩ атомаводорода при n ≫ 1 (Ридберговский атом).
Согласно правилам отбора, возможентолько переход |n + 1, ℓ = n, m⟩ → |n, ℓ = n − 1, m⟩. Энергии рассматриваемыхсостояний Eu = −Ry/ (n + 1) 2 и Ed = −Ry/n2 , т. е. ωud ≈ 2Ry/~n3 . Матричныйэлемент zud близок к радиусу соответствующей орбиты aB n2 (разд. 9.3.1). Тогдаоценка (16.22) приобретает видΓ∼α[Ry/ (~n3)] 2 (aB n2) 2~ω ∼ (α3 /n2)~ω ∼ (α3 /n5)Ry ,c2(16.23)c ростом n ширина рассматриваемого уровня становится всё меньше.Время жизни состояния уменьшается, а его собственная ширина увеличиваетсядля состояний |n + 1, ℓ, m⟩ с ℓ < n, поскольку для них становятся возможнымипереходы на множество нижележащих уровней со значительно бо́льшими частотамипереходов (см.
задачу 16.2).Оценим собственную ширину состояния |i⟩ ≡ |n, 1, 0⟩ при n ≫ 1. Основнойвклад в эту ширину даёт переход в основное состояние |i⟩ ≡ |n, 1, 0⟩ → | f ⟩ ≡ |1, 0, 0⟩с частотой перехода ω = Ry(1 − 1/n2) /~ ≈ Ry/~. В этом случае матричный элементперехода(∫) (∫)∗d fi = eRn,1 rR1,0 r 2 dr ·Y10cos θY00 dΩ ≡ er fi c fi .16.4. Ширина спектральной линии271Угловой интеграл c fi легко вычисляется с помощью (8.27). Для вычисления радиального интеграла r fi заметим, что при условии n ≫ 1 множитель R1,0 обеспечиваетбыстрое падение подынтегрального выражения при r > 1. Поэтому в рассматриваемом интеграле можно использовать взамен функции Rn,1 её асимптотическое представление (9.18), после чего легко получается r fi = 8aB n−5/2 .
В итоге (напомним,что RyaB = e 2 /2 и e 2 / (~c) = α)Γ=4 · 64e 2 Ry3 a2B4e 2 ω 36422|c||r|== α3 Ry 5 .fifi3335c3~ c n3n(16.24)Эта парциальная ширина – того же порядка, что и ширина, связанная с переходомна близко лежащий уровень (16.23). Полная ширина уровня складывается из n − 1парциальных ширин излучения с переходами на все нижележащие уровни, каждаяиз которых имеет примерно одинаковую величину.16.4.2. Ширина спектральной линии.
Когерентность• Из чего складывается наблюдаемая ширина линии. Оценка разд. 16.4.1 аккуратно описывает собственную ширину уровня Γсобств только в разреженном газе,где влияние других атомов на излучение данного атома пренебрежимо мало. Приповышении плотности время жизни возбуждённого состояния уменьшается из-засоударений (ударное уширение), в конденсированных средах – из-за взаимодействий с соседями.Видимое уширение спектральной линии Γvis обычно значительно больше того,что дают рассмотренные эффекты, в частности, потому, что оно включает разбросчастот, обусловленный тепловым движением атомов (из-за эффекта Доплера).
Характерная величина этого уширения Γterm / (~ω) ∼ v/c, где v – характернаятепловая√скорость молекул, близкая к скорости звука в среде, Γterm / (~ω) ∼ kT/ (Mc 2), гдеT – температура, а M – масса молекулы, (14.1). Для излучения видимого света прикомнатной температуре последнее отношение составляет примерно 10−6 , т. е. тепловое уширение линии больше уширения линии каждого излучённого кванта, определяемого собственной шириной. Поэтому прямое измерение собственной ширинылинии обычно – трудная задача.• Что излучается.
Состояние, из которого происходит излучение, имеет конечнуюширину. В одном переходе излучается один фотон (однофотонный волновой пакет), направление вылета которого определяется случайным образом в соответствиис распределением, например (16.6). Подчеркнём, что этот фотон – не вполнемонохроматический, его распределение по энергиям определяется собственнойшириной уровня, а распределение по направлениям вылета (вблизи направленияизлучатель – приемник) – размерами излучателя (атома) и импульсом отдачи.Таким образом свет, идущий в заданном направлении от какого-нибудь природного источника, представляет собой набор параллельных однофотонных волновыхпакетов длиной L1 ≈ ~c/Γсобств со случайно распределёнными «началами». Двигаясьвдоль луча, мы наблюдаем в некоторой точке какие-то фазовые соотношения между полями разных пакетов. При дальнейшем движении вдоль луча эти соотношения272Глава 16.
Испускание и поглощение излучениямедленно меняются. На расстояниях Lcorr ∼ ~c/Γvis эти соотношения уже ничем ненапоминают того, что было в начальной точке. Именно эта длина имеет смысл длиныкорреляции луча, или – что то же – длины когерентности.I0xОб интерференции волн. Когерентность.
Чтобы проиллюстрироватьсмысл понятия длины когерентности, рассмотрим простейшую схему (Юнга) по наблюдению интерференции в оптике. Плоская волна от монохроматического источника проходит через щель S, имитирующую точечный источник, далее свет проходитчерез пару щелей S1 и S2 , расположенных на расстоянии d ≪ L друг от друга.Сигнал регистрируется на экране, расположенном на расстоянии L от пары щелей. Фазы волн, пришедших через разные щели в точку экрана с координатой x поотношению к проекции середины расстояния между щелями O, различаются на величину kxd/L, где k – волновой вектор. Это приводит к интерференционной картинес максимумами, расположенными на расстоянии λL/d друг от друга.Принято считать, что такая схема обеспечивает одинаковость частот двух интерферирующихлучей.
Однако в большинстве случаев (кроме лаλзеров), как уже говорилось, источник испускаетS1 r 1сильно не монохроматический свет (например, изd r2за теплового уширения). Как же обеспечиваетSS2ся возможность наблюдения интерференционнойкартины?Рассмотрим для простоты газовый источникLсвета (чтобы можно было пренебречь влиянием Рис. 16.1. Схема Юнга интерференсоседних излучателей друг на друга). Как уже гоции волнворилось выше, один возбуждённый атом испускает один фотон.
Волна вероятности, соответствующая этому фотону, проходит черезобе щели S1 и S2 и далее регистрируется (фиксируется) в какой-нибудь точке экрана.В приближении строгой монохроматичности источника вероятность этой регистрации определяется обычными интерференционными расчётами, в частности максимумы вероятности расположены на расстоянии λL/d друг от друга до тех пор, покаразность длин хода лучей не достигает величины L1 . Соседний атом излучает светсовсем другой длины волны λ1 (в силу эффекта Доплера), он порождает распределение вероятностей с максимумами на расстоянии λ1 L/d друг от друга.
Посколькуотличие λ1 от λ не слишком велико ((|λ1 − λ|/λ ∼ Γvis /~ω ∼ 10−6), максимумыневысокого порядка, доставляемые разными фотонами, лежат вблизи друг от друга,и суммарный эффект демонстрирует нам классическую интерференционную картину.Для разностей хода ρ ≈ Lcorr ≈ ~c/Γvis максимумы и минимумы, отвечающие разнымисточникам, перекрываются, именно величина Lcorr играет роль продольной длиныкогерентности (см. подробнее в [17]).§ 16.5.Принципы работы лазеровРассмотрим тело, чьи атомы (или молекулы) имеют возбуждённые состояния uс запрещённым переходом в основное состояние d и с кратностями вырождения этих16.5. Принципы работы лазеров273состояний gu и gd .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
