1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В действительности потоки частиц образуют волновые пакеты (1.2),и физические амплитуды рассеяния представляют собой свёртки обсуждавшихся выше монохроматических амплитуд с амплитудами волновых пакетовA(k). В большинстве случаев интервал усреднения волнового пакета меньше,чем масштаб изменения амплитуды рассеяния, и эта «пакетность» не вносит ничего нового.
Однако иногда амплитуда рассеяния заметно меняетсяпри изменении волнового вектора в пределах пакета. В таком случае понятие сечения рассеяния неприменимо для описания экспериментальных данных, наблюдаемые величины зависят от соотношения между распределениемчастиц в сталкивающихся сгустках и характерными длинами их волн. Этоявление наблюдалось как большой эффект в тормозном излучении сравнительнонизкоэнергетических фотонов в ИЯФ СО РАН (Новосибирск). Ниже мы не рассматриваем эту возможность.17.1.2. Оптическая теоремаРассеяние – стационарный процесс без накопления чего-нибудь в рассеивающемцентре.
Поэтому должно иметь место сохранение вероятности: в случае упругогорассеяния число выходящих за секунду частиц должно совпадать с числом входящих частиц, а в случае неупругого рассеяния разумным образом рассчитанныйполный расход частиц также должен совпадать с полным приходом.Проинтегрируем полный поток j (17.4б) по поверхности сферыбольшого раHдиуса. Источников при конечных r нет, поэтому должно быть j dS = 0. Вкладпадающего потока в этот интеграл обращается в нуль. Следовательно, должно бытьIjdS ≡ 0 ⇒ Jèíò + Jðàñ = 0.Подставим сюда полученное выражение Jèíò (17.11). В Jðàñ следует учесть потокичастиц во всех конечных состояниях, т. е. Jðàñ = (~k/m)σtot .
В итоге получаетсяоптическая теорема – важнейшее следствие сохранения вероятности:Im fel (k, 0) =kσtot .4π(17.12)(Значок el напоминает, что слева стоит амплитуда упругого рассеяния.)Иными словами, интерференция падающей волны с волной, рассеянной на нулевой угол («прошедшей через рассеиватель»), уменьшает поток частиц, летящихвперёд. Это обеспечивает сохранение вероятности – в полной аналогии с уравнением сохранения вероятности в одномерном случае (2.34). В частности, рассеяние неможет быть чисто неупругим.17.1. Постановка задачи . Общие соотношения279При рассеянии частиц очень высокой энергии рождается много новых частиц,наблюдать их все в каждом случае практически невозможно. Поэтому не удаётсяпрямо измерить полное сечение.
В этом случае нередко оказывает помощь оптическая теорема. Для упругого рассеяния удаётся определить амплитуду рассеяния наугол ноль, и отсюда с помощью (17.12) находят полное сечение.17.1.3. Конечность полного сеченияНапомним сначала смысл понятия сечения рассеяния в классической теории.Пусть частицы, летящие из бесконечности на рассеивающий центр и имеющие прицельный параметр ρ (момент импульса L = mvρ), рассеиваются на угол θ = θкл .Дифференциальное сечениерассеяния(dσ /dθ) sin θdθ = 2πρdρ, а соответствующее∫∫полное сечение σ = dσ = 2π ρdρ.
(Это определение и было воспроизведеноранее в квантовом случае.) Такое определение означает, что полное сечение естьплощадь той окружности в плоскости прицельных параметров, в которой частица испытывает хоть какое-то рассеяние. Во многих классических задачах полявызывают отклонение (хотя бы и очень небольшое) на сколь угодно больших расстояниях от рассеивателя, поэтому полные сечения в таких задачах бесконечны.♢ Полезно оценить зависимость угла отклонения от прицельного параметра θкл (ρ)в классической задаче при больших ρ, когда действующая на частицу сила невелика.
При этом движение частицы – почти прямолинейное. Тогда продольный импульсчастицы p ≡ pz можно считать неизменным, а поперечный импульс p⊥ определяетсяизвторогозаконаНьютоначерезпоперечнуюкомпонентусилыdp⊥ /dt = −dV(r) /dr · (ρ/r). Далее, dt = dz/v.
Подставляя, находим приобретённыйпоперечный импульс и классический угол отклонения:p⊥кл = −ρ ∫∞1 dV(r)1p⊥V(ρ)V(ρ)dz∼ V(ρ) ⇒ θ кл =∼∼.v −∞r drvppvE(17.13)♢ В квантовом случае угол рассеяния, отвечающий прицельному параметру ρ,имеет неопределённость, доставляемую соотношением неопределённостей. Соответствующая неопределённость поперечного импульса ∆ p⊥ > ~/∆r⊥ > ~/ρ, в итогеквантовая неопределённость угла отклонения составляетθêâàíò ∼ ∆p⊥ / pz > (~/ρ p).Пусть при r → ∞ поле убывает с расстоянием быстрее, чем 1/r, т.
е.rV(r) → 0 при r → ∞ .(17.14)(Это справедливо для ядерных сил, а также и для электростатического взаимодействия, если рассеиватель электрически нейтрален – атом или молекула.) В этомслучае при больших ρ, начиная с некоторого ρ0 , классический угол рассеяния становится меньше квантовой неопределённости этого угла θквант > θ кл . При этомрассеяние заметить невозможно, и полное сечение σ .
πρ20 , т. е. конечно.Глава 17. Рассеяние280§ 17.2.Уравнение Шредингера в интегральной формеОт дифференциального уравнения Шредингера (17.3) полезно перейти к интегральному уравнению. Для этого запишем (17.3) в виде неоднородного уравнения∆ψ + k2 ψ = Φ(r), где Φ(r) = (2m/~2)V(r)ψ (r).Используя далее известную функцию Грина для оператора ∆ + k2 и граничное условие (17.2), запишем решение в видеψ (r) = eikz1−4π∫′e ik|r−r |.d r Φ(r )|r − r ′ |3 ′′Подставляя сюда выражение для Φ(r), находим интегральную форму уравненияШредингера:∫′ ik|r−r ′ |m3 ′ V(r )eψ (r) = e ikz −ψ (r′) .(17.15)dr2π~2|r − r ′ |При r ≫ a отличием |r − r ′ | от r в знаменателе можно пренебречь. Для показателя экспоненты следуетвыписать более аккуратное разложение.
С учётом (17.1)√′′2найдём k|r − r | = k r − 2rr ′ + r′ 2 ≃ k(r − rr ′ /r) = kr − k r ′ . B итоге уравнение(17.15) переходит в соотношение (17.2) с∫′ ′mf(k, k′) = −d 3 r ′ e −ik r V(r′)ψ (r′).(17.16)22π~Далее (только для упрощения выкладок) мы считаем поле V(r) сферическисимметричным.§ 17.3.Борновское приближениеПри решении задачи рассеяния часто используют борновскую теорию возмущений, в которой потенциальная энергия рассматривается как возмущение.
Еслив теории возмущений для стационарных состояний, § 5.2, в качестве невозмущённойзадачи можно было выбирать любую точно решаемую задачу (невзирая на погрешности в определении параметров базового гамильтониана), то в задаче рассеяния заневозмущённую принимают только задачу о свободном движении, которая почтивсегда реализуется на достаточно больших расстояниях от рассеивателя. Этот подход разумен, если потенциал достаточно быстро убывает с расстоянием. При этомсреднее значение потенциала по всему пространству обращается в нуль, в то времякак среднее значение полной энергии совпадает со значением кинетической энергиичастицы на бесконечности.
Разумеется, это грубые соображения, реальный критерийприменимости борновского приближения обсуждается ниже.Формально борновская теория возмущений подобна теории возмущений для стационарных состояний, § 5.2, она отвечает следующей последовательности действий.Положим V → εV и разложим волновую функцию в ряд по степеням εψ = ψ (0) + εψ (1) + ... + εk ψ (k) + ...,ψ (0) = e ikz .(17.17)17.3.
Борновское приближение281Затем в уравнении (17.15) приравняем вклады с одинаковыми степенями ε, и последовательно определим ψ (1) , ψ (2) ... и соответствующие вкладыв амплитуду рассеяния (17.16), а в конце перейдём к пределу ε → 1.Первое борновское приближение. Чтобы получить амплитуду рассеяния в первом порядке (часто – просто борновское приближение), подставим подинтеграл (17.16) вместо ψ (r) невозмущённую волновую функцию ψ (0) = e ikz ≡ e ikr .Полученная амплитуда рассеяния оказывается фурье-образом потенциала (с точностью до множителя). Она зависит только от импульса передачи ~q:∫m′d 3 re −iqr V(r) ,f(k, k ) ≡ f(q) = −(17.18а)2π~2′q = k − k, q = 2k sin(θ/2) .Интегрирование по углам (в полярных координатах) даёт2mf(q) = − 2~ q∫∞V(r) sin(qr)rdr .(17.18б)0Полученные соотношения показывают, что изучение амплитуды рассеяния с импульсом передачи ~q позволяет рассмотреть детали строения потенциала на расстоянияхr ∼ 1/q.Обсудим общую картину рассеяния в этом приближении.♢ При небольших энергиях (для медленных частиц) имеем ka ≪ 1, и изменение фазы в области рассеивателя несущественно, под интегралом (17.18)∫ можноположить e iqr ≈ 1 (или sin(qr) ≈ qr).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
