1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Обозначим через N(u) и N(d) числа атомов в этих состояниях(заселённости) и через Eud = ~ωud энергию возбуждения (разность энергий уровней). В термодинамическом равновесии заселённость верхнего уровня меньше, чемнижнего; согласно распределению Больцмана,N(u) /N(d) = (gu / gd )e −Eud /kT .Пусть найден способ создать инверсную заселённость N(u) > N(d) (один изспособов её создания мы обсудим далее). Поскольку переход u → d запрещён,система может довольно долго оставаться в этом состоянии (состояние с отрицательной температурой).Направим по этому телу луч света (пучок фотонов) с частотой ωud . Под действием поля этих фотонов к очень маловероятному (запрещённому) спонтанному излучению добавится вынужденное излучение, которое усиливается (пропорционально n)по мере прохождения вещества, поскольку к первоначальным фотонам пучка будут добавляться всё новые излучённые фотоны.
Если это тело представляет собойсплошной цилиндр, ограниченный параллельными зеркалами, то при обратном прохождении света сигнал ещё усилится и т. д., до тех пор пока инверсная заселённость не ликвидируется. Такую систему и называют лазером (Light Amplification byStimulated Emission of Radiation).
Как и другие подобные системы, лазер можетработать и в режиме усилителя (с внешним возбуждением), и в режиме генератора(когда он возбуждается фотонами от спонтанного перехода).По механизму рождения ясно, что получившееся излучение когерентно и имееточень малую угловую расходимость (фотоны, летящие под углом, вылетают наружуи не воспроизводятся; фотоны рождаются когерентно с «родителями»). Это излучение обычно поляризовано.Один из распространённых способов создания инверсной заселённости – оптическая накачка. Она возможна, если в наших атомах в дополнение к паре уровнейd и u существует ещё вышележащий уровень g (E g > Eu > Ed ), причём переходы g → u, g → d – разрешённые. Для накачки система освещается интенсивнымисточником немонохроматического света, среди характерных частот которого естьи ω gd .
Забудем на минуту о существовании уровня u. Тогда под воздействием накачки средние заселённости уровней g и d практически сравняются (чтобы обеспечить равенство числа переходов сверху вниз и снизу вверх; спонтанными переходамиможно пренебречь по сравнению с вынужденными). Наличие уровня u меняет дело.После возбуждения уровня g последний быстро излучает – либо в состояние d, либо в состояние u. Но с состоянием d происходит непрерывный обмен, а состояниеu оказывается «могилой», в которой атомы остаются долго, поскольку излучениеиз этого состояния запрещено. Со временем в это состояние переходит всё больше атомов, а заселённости состояний d и g становятся всё меньше – создаётсянеобходимая инверсная заселённость.Глава 16.
Испускание и поглощение излучения274§ 16.6.Задачи1. Найти собственную (радиационную) ширину 1-го возбуждённого уровня заряженного трёхмерного осциллятораĤ = p̂2 / (2m) + mω 2 r2 /2.2. Найти собственную (радиационную) ширину состояний атома водорода |2, 1, 0⟩,|3, 1, 0⟩ и |nℓ = n − 1, m⟩. Сравнить её с доплеровской шириной при комнатнойтемпературе.Γ211= 9 α3 ≈ 3 · 10−8 .Ответ для n = 2:~ω2,133. а) Для перехода |2, 1, m⟩ → |1, 0, 0⟩ в атоме водорода определить dw/dΩ, w, τ , Γи поляризацию излучённого фотона.б) Как изменится этот ответ при наличии нескольких фотонов с частотой переходав начальном состоянии электромагнитного поля?4. а) Перечислить возможные дипольные переходы между уровнями n = 3 и n = 2атома водорода (α-линия серии Бальмера) с учётом их тонкой структуры.б) Используя выражения для собственных функций атома водорода (8.27), найтисобственную (радиационную) ширину всех состояний атома водорода с n = 3.5.
Атом водорода находится в постоянном однородном магнитном поле B. Рассмотреть переходы 2 p1/2 → 1s1/2 + γ. Каковы поляризации и частоты фотонов, летящих: а) вдоль поля, б) перпендикулярно полю, если энергия взаимодействияс полем мала или велика по сравнению с интервалами тонкой структуры? Каковыотносительные интенсивности спектральных линий?Глава 17РассеяниеИзучение рассеяния частиц – основной способ получения информации о взаимодействии между ними.§ 17.1.Постановка задачи. Общие соотношенияВ задаче рассеяния рассматриваются две частицы, первоначально удалённыедруг от друга на большое расстояние.
Требуется определить возможные конечныесостояния и вероятности перехода в каждое из них. Подобная задача обсуждаласьв § 2.7, однако в специфике одномерного случая трудно разглядеть черты реальнойтрёхмерной задачи.В § 9.1 мы выяснили, что проблема столкновения двух тел, взаимодействие которых описывается потенциалом V(r − r′), сводится к задаче о движении одной частицы в поле V(r), создаваемом некоторым (бесконечно тяжёлым) притягивающимили отталкивающим центром.
Именно эту задачу мы и рассматриваем ниже.В силу принципа суперпозиции за начальное состояние можно принять волнулюбого вида. Чаще всего начальное состояние выбирают в виде стационарной плоской волны частиц с импульсом p = ~k ≡ ~(0, 0, k) (с неизменным потоком падающихчастиц, движущихся из бесконечности) 1 . Мы ищем вероятности переходов – отношения потока рассеянных или рождённых частиц к потоку падающих частиц.17.1.1. Амплитуда рассеяния. Сечение рассеяния• Рассмотрим подробно упругое рассеяние, т. е. случай, когда взаимодействиес рассеивателем порождает только расходящуюся сферическую волну, в которойимпульсы частиц p′ направлены по радиусу от центра:p ≡ ~k = (0, 0, ~k), p′ ≡ ~k′ = ~k(r/r), E = p 2 /2m, λ = 2π /k .(17.1)Угол между векторами p и p′ называют углом рассеяния θ.1Внекоторых случаях удобнее другой выбор — цилиндрическая волна, волновые пакеты,....Глава 17.
Рассеяние276Обозначим через a размер области, где существенно отличие потенциала взаимодействия V(r) от нуля1 . Вдали от рассеивателя, при r ≫ a, λ, волновая функциядолжна быть суперпозицией падающей плоской волны e ikz и рассеянной расходящейся сферической волны:ψ = ψïàä + ψðàñ = e ikz + f(k, k′) ·e ikrrпри r ≫ a, λ .(17.2)Это соотношение можно рассматривать как граничное условие для уравнения Шредингера(∆ + k2)ψ (r) = (2m/~2)V(r)ψ (r) ,(17.3)подобное условию (2.33) для одномерной задачи рассеяния.Введённую в (17.2) величину f(k, k′) называют амплитудой рассеяния. Её исследование – основная задача теории рассеяния.
(Нередко пишут f(k, θ) вместо f(k, k′)′и используют тождество kr ≡ (k r).)Поток вероятности и сечение. Вычислим поток вероятности (2.5) набольших расстояниях, где справедлива асимптотика (17.2):j=i~(ψ ∇ψ ∗ − ψ ∗ ∇ψ) = jïàä + jèíò + jðàñ .2m′(17.4а)r′] [e ik r /r] , найдём потоки паr3и интерференционный поток jèíò :Учитывая, что ∇e ikz = ike ikz и ∇[e ik r /r] = [ik′ −дающих и рассеянных частиц jïàä и jðàñjïàä =jèíò =~k;mjðàñ =~k′|f(k, k′)|2 ;mr 2~(k + k′) [ f(k, k′)e −i(kr−kr) + f ∗ (k, k′)e i(kr−kr) ].2mr(17.4б)В выражении jèíò отброшены слагаемые, убывающие с ростом расстояния быстреевыписанного.♢ Полный поток, рассеянный в телесный угол dΩ (кроме θ=0), естьdJðàñ = jðàñ r 2 dΩ = (~k/m)| f |2 dΩ.Его отношение к плотности потока падающих частиц называют дифференциальнымсечением упругого (elastic) рассеяния:dσel = dJðàñ / jïàä ≡ | f |2 dΩ.Соответственно, полное сечение упругого рассеяния2 есть∫∫σel = dσel = |f |2 dΩ.(17.6)размер задаётся формой взаимодействия.
Для ядерных сил V(r) ∼ e −r/a /r, где a ∼ 10−13 см.для сравнения обсуждение в разд. 15.3.1.1 Этот2 См.(17.5)17.1. Постановка задачи . Общие соотношения277Если при столкновении неупругих процессов не возникает, эпитет «упругое» приописании сечений часто отбрасывают.▽ В задачах статистической физики рассеяние часто характеризуют величинойтранспортного сечения∫(1 − cos θ)dσ .σtr =(17.7)• Нередко часть падающих частиц после столкновения с рассеивателем меняетсвою энергию или исчезает (при рассеянии электрона на атоме последний можетперейти в возбуждённое состояние, позаимствовав энергию у электрона; при столкновении с ионом электрон может поглотиться с образованием атома и испусканиемфотона и т.
п.). В стационарном режиме поглощённые частицы не накапливаютсяв рассеивателе, потоки этих «переродившихся» частиц – также расходящиеся волны, подобные (упругой) рассеянной волне. В таком случае величины, подобные(17.6), называют сечениями неупругих каналов реакции, их сумма и составляет сечение неупругого (inelastic) рассеяния σin . Полное сечение – это суммаσtot = σel + σin .(17.8)H В полный интерференционный поток Jèíò = jèíò dS входит только амплитудаупругого рассеяния (остальные состояния не интерферируют с падающей волной).Подставим в этот интеграл определение (17.4б) и выражение для элемента телесногоугла dS = r 2 d cos θdϕ:~k ∫(1 + cos θ) N rdrd cos θdϕ ,2mN = f(k, θ)e −i(kr−kr) + f ∗ (k, θ)e i(kr−kr) .Jèíò =Выполним теперь тривиальное интегрирование по dϕ и замену x = cos θ.Математическая вставкаРассмотрим при r → ∞ интеграл∫1J=e ikrx g(x)dx .(17.9)−1Проинтегрируем его по частям:J = (1/ikr)e ikrx g(x)|1−1 − (1/ikr)∫1e ikrx g ′ (x)dx .−1Повторение этой процедуры даёт ряд по 1/r.
При больших r в этом ряду достаточноудержать только первый член, что даётJ = (1/ikr) [e ikr g(1) − e −ikr g(−1)] .(17.10)Глава 17. Рассеяние278Применяя полученный результат к функции Jèíò , для которой мы обозначилиf(k, θ) (1 + cos θ) = g(cos θ), получимJèíò =4π~2π~ ∗(f (k, θ = 0) − f(k, θ = 0)) = −Im f(k, 0) .imm(17.11)Описание потоков частиц плоскими волнами – это, конечно, идеализация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
