1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Поэтому сечение,стоящее в правой части (17.12), – порядка ε2 . Таким образом, для проверки или использования оптической теоремы необходимо вычислить амплитуду по крайней мерево втором порядке по ε, т. е. во втором борновском приближении.1 Условие ka ≫ 1 обеспечивает применимость квазиклассического рассмотрения, даже если величинаV(a) не мала по сравнению с Echar .Глава 17.
Рассеяние28617.3.5. Возможное видоизменениеБорновская теория возмущений для рассеяния – частный пример подхода обычной теории возмущений, в котором вся потенциальная энергия рассматриваетсякак возмущение. В некоторых задачах физики конденсированного состояния можнореализовать более специфический подход, наподобие § 5.2. Гамильтониан системызаписывается в виде суммы Ĥ = Ĥ0 + V̂ , где Ĥ0 – невозмущённый гамильтонианс известными решениями, а V̂ – возмущение, исчезающее на больших расстояниях. В этом случае взамен плоской волны (17.2) начальное состояние выбираетсякак собственное состояние невозмущённого гамильтониана Ĥ0 , а соответствующееинтегральное уравнение взамен (17.3) имеет сходный вид, но с функцией Грина оператора Ĥ0 .
Такой подход иногда называют методом искажённых волн (подробнеесм. например в [3]).§ 17.4.Разложение по парциальным волнам17.4.1. Фазы рассеяния и парциальные амплитудыВ § 9.2 были найдены решения уравнения Шредингера для состояний с определёнными значениями энергии и момента импульса и асимптотики этих решений –s,cпроизведения асимптотик радиальных волновых функций Rkℓ(r) (9.10) на сферические гармоники Yℓm (θ, φ). В частности, плоская волна является решением уравненияШредингера с равным нулю потенциалом. Её разложение по сферическим гармониs(r), т. е. в асимптотике вида (9.12) длякам содержит только "синусные решения" Rkℓкаждого ℓ имеем δℓ = 0:√∞π ∑ ℓse ikz =(i) (2ℓ + 1)Pℓ (cos θ)Rkℓ(r) .(17.28а)2ℓ=0Подставляя сюда асимптотику (9.11б), найдём известное в литературе асимптотическое выражениеe ikz(r→∞)⇒∑ 2ℓ + 12ikr[]Pℓ (cos θ) e ikr − (−1) ℓ e −ikr .(17.28б)Во избежание недоразумений следует иметь в виду, что суммирование в последнемвыражении распространяется только на значения ℓ .
kr. С ростом r эффективныйверхний предел суммирования растёт, а вклады слагаемых с бо́льшими ℓ малы, и суммируются в экспоненциально малые величины. (Это следует из детального анализаасимптотик (9.11).) Предельное же выражение (17.28б) указывает только правилосоответствия для асимптотического ряда, стоящего справа, и буквально понимаемоевыражение в правой части не всегда существует (например, при θ = 0, π).В изучаемом случае потенциала со сферической симметрией волновая функция зависит лишь от r и θ, но не от φ. Поэтому разложение общего решения по17.4.
Разложение по парциальным волнам287сферическим гармоникам (9.3) содержит лишь Yℓ0 (θ, φ) ∝ Pℓ (cos θ). Вместе с (17.2),(9.12) это означает, что на больших расстояниях от рассеивателяψ (r) = e ikz + f(E, θ) · e ikr /r ==∑i −ℓ (2ℓ + 1) Aℓ Pℓ (cos θ)sin(kr − ℓπ /2 + δℓ),kr(17.29)где множитель i −ℓ (2ℓ + 1) /k введён для удобства последующих вычислений, и Aℓ– коэффициент, определяемый видом потенциала. При этом в точном разложенииплоской волны (17.28) коэффициенты1 Aℓ = 1.Рассмотрим разность между полной волновой функцией (17.29) и выражениемдля плоской волны (17.28), выразив "по дороге" sin α через экспоненты e ±iα[] ∑ 2ℓ+ 1[]∑ 2ℓ+ 1Aℓ Pℓ (cos θ) e ikr+iδℓ − (−1) ℓ e −ikr−iδℓ −Pℓ (cos θ) e ikr − (−1) ℓ e −ikr ≡2ikr2ikr[() ikr()]∑ 2ℓ+ 1iδℓ≡Pℓ (cos θ) Aℓ e − 1 e − (−1) ℓ Aℓ e −iδℓ − 1 e −ikr .2ikrПо определению (17.29) эта разность представляет собой только расходящуюсяволну f(E, θ)e ikr /r.
Поэтому коэффициент при сходящейся волне e −ikr /r обращаетсяв ноль, т. е. Aℓ e −iδℓ − 1 = 0. Отсюда следует, что Aℓ = e iδℓ , и мы получаемf(E, θ)∑ 2ℓ+ 1()e ikr=Pℓ (cos θ) e 2iδℓ − 1 e ikr .r2ikrТаким образом, разложение для амплитуды рассеяния можно записать в видеf(E, θ) =∞∑(2ℓ + 1) fℓ (E)Pℓ (cos θ) ;ℓ=0fℓ (E) =sin δℓSℓ − 11 ∫πe 2iδℓ − 1sin θdθPℓ (cos θ) f(E, θ) .≡ e iδℓ≡≡2ikk2ik20(17.30)Величины fℓ (E) называются парциальными амплитудами.
Последнее выражениедаёт способ вычисления парциальных амплитуд по известной полной амплитуде рассеяния f(θ). Соотношением (17.30) мы ввели также удобную для некоторых обсуждений величину Sℓ – отношение амплитуд расходящейся и сходящейся волн в полномрешении (17.29) (с точностью до коэффициента (−1) ℓ+1).В соответствии с (17.30) и (Б.16), полное сечение упругого рассеяния σel ≡ σскладывается из парциальных сечений σℓ :∫σ=|f(θ)|2 dΩ =∑ℓ=0σℓ ,σℓ = 4π (2ℓ + 1)|fℓ |2 ≡ 4π (2ℓ + 1)sin2 δℓ.k2(17.31)1 Эти коэффициенты определяются стандартным образом, с помощью интегрирования по углам выражения Pℓ (cos θ)e ikz или сравнением избранных членов степенного разложения в двух частях равенства(как это сделано в [1]).Глава 17.
Рассеяние288Подобным же образом определяются и парциальные сечения для разных каналовнеупругого рассеяния (см. § 17.7). Как мы увидим ниже, в итоге удаётся записатьоптическую теорему для каждой парциальной волны по отдельности (17.42).Полезно заметить ещё, что в силу (17.30) для упругого рассеяния имеет местосоотношение Im fℓ = k|fℓ |2 . Его можно переписать в виде Im(1/ fℓ) = −k. Последняя запись означает, что парциальную амплитуду можно выразить через некоторуюдействительную функцию gℓ в видеfℓ =1.gℓ − ik(17.32)Такое представление полезно при некоторых анализах.♢ Проиллюстрируем введённые понятия в классической механике для рассеянияна твёрдом шаре радиуса R.
Здесь ρ – прицельный параметр и (при ℓ ≫ 1) моментимпульса ~ℓ = pρ = ~kρ. Поэтому прицельный параметр, отвечающий данномузначению ℓ, есть ρℓ = ℓ/k. Парциальное сечение σℓ(кл) определяется как площадькольца между окружностями радиусов ρℓ и ρℓ+1 , т. е.
классическое парциальноесечение:π (2ℓ + 1)σℓ(кл) = π (ρ2ℓ+1 − ρ2ℓ) =(ℓ 6 kR) .(17.33)k2Имея экспериментальные данные по угловому распределению рассеянных частиц, можно найти отдельные парциальные сечения и относительные фазы амплитуд.Так, если в рассеянии представлены только s- и p-волны (ℓ = 0 и 1), то сечениеимеет вид dσ = [| f0 |2 + 6Re(f0∗ f1) cos θ + 9| f1 |2 cos2 θ] dΩ. Процедуру извлеченияпарциальных волн из дифференциальных сечений называют фазовым анализом.♢ Полученное разложение особенно удобно для описания рассеяния медленныхчастиц, когда фактически работает только несколько первых гармоник (см.
подробнее ниже, разд. 17.4.2). Область применимости такого описания часто простираетсядо довольно больших энергий. Это разложение оказывается также полезным приописании резонансов в рассеянии (разд. 17.4.3).При детальном анализе полезным является исследование парциальных амплитуд в зависимости от энергии во всей комплексной плоскости энергии. Приведем некоторые результаты.♢ Парциальная амплитуда – аналитическая функция энергии во всей её комплексной плоскости с разрезом по действительной оси при E > 0 и возможнымиполюсами при E < 0. Принимают, что физическое значение амплитуды отвечаетверхнему берегу разреза.♢ В задаче об одномерном движении мы обнаружили связь между полюсами амплитуды рассеяния и энергиями связанных состояний (2.38).
В трёхмерном случаеэта связь формулируется в виде общей теоремы.Вне положительной полуоси особенности парциальной амплитуды на физическом листе – только полюса при E < 0.Положения этих полюсов отвечают энергиям связанныхсостояний с данным значением момента импульса ℓ.17.4.
Разложение по парциальным волнам289♢ Аналитическое продолжение парциальной амплитуды под разрез (на второйриманов лист) может иметь полюса в точках Ei = Mi − iΓi /2. При небольших значениях Γi эти полюса отвечают резонансам в рассеянии, см. подробнее в разд. 17.4.3.При этом Mi – масса резонанса, Γi – его ширина, ℓ – его спин. (На других языкахэти резонансы называют квазисвязанными состояниями, виртуальными уровнями,квазиуровнями, § 2.8 и т. п.)17.4.2. Упругое рассеяние медленных частицПри ka ≪ 1 для ℓ ̸= 0 прицельные параметры велики, ρℓ = ℓ/k ≫ a, поэтомулишь s-волна (ℓ = 0) может давать заметное рассеяние.
Таким образом, угловоераспределение рассеянных частиц изотропно.Если потенциал достаточно быстро убывает с расстоянием, то при k → 0 фазырассеяния малы, т. е. вклады высших гармоник подавлены:δℓ ∝ k2ℓ+1 ⇒ fℓ ∝ k2l .(17.34а)Напомним, что фаза рассеяния безразмерна. Единственный размерный фактор, присутствующий в задаче помимо k, – характерный размер поля a. Поэтому выписанныеоценки уточняются следующим образом:δℓ ∝ (ka) 2ℓ+1 ⇒ fℓ ∝ a(ka) 2l .(17.34б)Чтобы получить эти оценки в случае, когда применимо ещё и борновское приближение1 , подставим в (17.30) формулу (17.18б), где разложим sin qr в ряд, и воспользуемся тождеством q 2 = 2k2 (1 − cos θ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
