1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Поняв происхождение этих «ошибок», пользователь получит новое, более глубокое понимание.Задания§ А.2.Свободное движение. Волновой пакетЦель упражнений – пронаблюдать переход от монохроматической волны к волновому пакету и наглядно рассмотреть основные характеристики волнового пакета.Для этого сформируйте пакет в интервале энергий (Eh , Eℓ) из равноотстоящихпо энергии E j состояний Ψ(x, t) = Σβ j · Ψ j (x)e −iE j t (в программе вес гармоник β jавтоматически задан гауссовской функцией по E j). Далее рассмотрите поведение|ψ (x)|2 , Re ψ (x) в зависимости от времени для одной гармоники и для целого пакета.Рассмотрите расплывание пакета, проследите различие между фазовой и групповойскоростью.Убедитесь, что при конечном числе гармоник пакет периодичен во времени, приувеличении числа гармоник, представляющих тот же пакет, период повторения пакета увеличивается, т.
е. эта периодичность – артефакт использования дискретногопреобразования Фурье вместо непрерывного.§ А.3.Простая яма или барьер и пара ямЦели упражнений:• увидеть, как возникают уровни дискретного спектра (как появляются собственныезначения);• рассмотреть основные свойства спектра состояний простейшей системы — прямоугольной потенциальной ямы и рассеяния на ней и на аналогичном потенциальном барьере при различных значениях её параметров;302П р и л о ж е н и е А .
Квантовая механика на компьютере• проверить, что основные явления лишь слабо зависят от формы ямы или барьерав достаточно широких пределах изменения этой формы;• изучить особенности мелкой или δ-видной ямы;• увидеть связь между положениями уровней и пиками коэффициента прохождения;• рассмотреть расплывание пакета над областью потенциала;• познакомиться с понятием квазистационарного состояния (квазиуровня).В соответствии с этим предлагается выполнить следующий набор упражнений.1. Рассмотреть потенциальную яму глубиной Ua при ширине ямы a. Стартуя со значения энергии E, отвечающего дну ямы, рассмотреть поведение волновой функциисправа от ямы при разных значениях E. Убедиться, что решение нормируемо лишьпри некоторых значениях E. Рассмотреть зависимость коэффициента B при растущей направо экспоненте (2.19) от энергии.Найти уровни энергии En , волновые функции, распределения по импульсам.
Чтоможно сказать об их симметрии и числе нулей ψ (x)? Что именно определяет ширину и положение максимумов в распределении по импульсам?Проследить за изменением положения уровней при увеличении ширины и (или)глубины ямы. Убедиться, что число уровней и вид волновых функций (с точностьюдо нормировки) не меняются при таком изменении U0 и a, что U0 a2 = const.Показать, что при этом положения уровней меняются так, что En a2 = const.Сравнить расстояния уровней от дна ямы с уровнями бесконечно глубокой ямы.Как зависит число уровней в яме от величины U0 a2 ?Придумайте, как найти силу, действующую на стенку ямы, и определите её.Проследить за изменением положения верхнего уровня энергии при изменении величины U0 a2 в окрестности тех значений, когда число уровней меняется на 1.
Каквыглядит волновая функция в импульсном представлении ψ (k) для состояний сэнергией, близкой к нулю. Одновременно рассмотреть зависимость коэффициентапрохождения от энергии при энергиях E 6 1, 5|U0 |.2. Рассмотрите яму более сложной формы (по Вашему выбору) и меняйте её глубину при сохранении формы.
Пронаблюдайте за изменением положения уровнейи видом волновых функций. Что нового Вы увидели по сравнению со случаемпрямоугольной ямы.3. Сравнить узкую (δ-видную) и мелкую ямы. Сравните разброс координат частицыс размером ямы.4. Возьмите пару одинаковых ям, каждая из которых в отдельности от другой имела не менее трёх уровней. Обозначим расстояние между этими ямами через b.Найдите энергии связанных состояний и их волновые функции в этой паре ям.Сравните эти энергии и волновые функции с энергиями и волновыми функциямиодиночной ямы.
Рассмотрите квадраты волновых функций в импульсном представлении |ψ (k)|2 . Рассмотрите эволюцию этих уровней и волновых функций сизменением b.5. Повторите предыдущее исследование в случае, когда одна из ям немного отличается от другой (например, немного глубже или немного уже). Вы обнаружите, чтопри большом расстоянии между ямами состояния локализованы в каждой из нихА .3. Простая яма или барьер и пара ям303по отдельности, а при сближении ям они обобществляются так, что небольшиеразличия между ямами становятся несущественными. Объясните это наблюдение(см.
разд. 2.6.3, 6.8).6. Возьмите две разных ямы так, что например, 2-й уровень уединённой первой ямыимеет примерно ту же энергию, что первый уровень уединённой второй ямы. Рассмотрите уровни и волновые функции этой пары ям в зависимости от расстояниямежду ними.7.
В каждом из трёх предшествующих вариантов возьмите начальное состояние, локализованное в одной из ям, и проследите за его эволюцией со временем (самаволновая функция и её квадрат). Что можно сказать о периоде биений?8.9.10.11.При переходе от одной ямы к паре аналогичных ям оказывается, что каждый из уровней одиночной ямы расщепляется на два. При некоторых значениях параметров верхний уровень одиночной ямы в парной яме не дублируется.
Запомните этот набор параметров, обозначим его «набор Н».Рассмотреть зависимость коэффициента прохождения T(E) над ямой глубиной Uaи горбом высотой Ua одинаковой ширины a от энергии от E = 0, меняя максимальное значение энергии E. Изучить изменение этой зависимости при измененииa. Объяснить сходство и различие.Просмотреть зависимость |ψE (x)|2 для значений энергии E, отвечающих максимумам и минимумам коэффициента прохождения – внутри и вне ямы.Рассмотреть зависимость от энергии коэффициента прохождения T(E) над паройодинаковых ям и барьеров при изменении расстояния b между ними.
Сопоставитьс положением резонансов и уровней в не очень глубокой яме.Специально рассмотреть случай очень узких и высоких барьеров (например, U =100, a = 0, 01). Просмотреть зависимость |ψE (x)|2 при изменении энергии E вокрестности точек, отвечающих максимумам и минимумам коэффициента прохождения – внутри и вне ямы. Увеличение амплитуды внутри ямы при некоторыхэнергиях отвечает появлению квазиуровней.Сформировать волновой пакет с энергетическим разбросом между двумя минимумами, охватывающими пик, отвечающий квазиуровню и рассмотреть его прохождение через систему. Повторить то же для пакета с энергетическим разбросоммежду двумя минимумами, охватывающими два пика, отвечающих квазиуровням.Рассмотреть особенности зависимости T(E) для набора параметров Н и близкихк нему параметров.Найдите положения Er и ширины Γr нескольких квазиуровней для рассмотренноговыше потенциала.Сформировать волновой пакет из нескольких плоских волн с центром Er и шириной Γr справа от ямы.
Рассмотреть его прохождение над простой ямой и горбом,над парой ям (барьеров). Как изменяется выходящий пакет при увеличении ширины пакета так, что он охватывает 2-3 квазиуровня? Что происходит, если центрпакета лежит в минимуме коэффициента прохождения?304§ А.4.П р и л о ж е н и е А . Квантовая механика на компьютереНабор ям. Периодическое полеЦели первой серии упражнений:• рассмотреть появление энергетических при переходе от отдельной ямы или барьера к набору повторяющихся ям или барьеров;• рассмотреть эффекты примесей, неточного воспроизведения ям в кристаллах, влияние границ кристалла на уровни.В случае периодического поля повторяющаяся ячейка строится из прямоугольных ям и барьеров.
Для каждой энергии слева задаётся общее решение, например,A sin kx +B cos kx (а не убывающее или уходящее направо, как делалось для конечной системы ям или горбов). Далее с помощью условий сшивки (2.15а) на границахпроизводится переход к следующей ячейке, и отыскиваются коэффициенты A′ и B ′такого же решения при x > a, A′ sin k(x − a) + B ′ cos k(x − a). Эти коэффициентыA′ , B ′ выражаются через A, B также и с помощью условия инвариантности относительно конечного сдвига (7.1), A′ = e iqa A, B ′ = e iqa B. Получающиеся соотношениясоставляют уравнение для определения квазиимпульса q при заданной энергии E(или зависимости E от q). Для значений энергии, принадлежащих запрещённой зоне,это уравнение не имеет действительного решения.Цели второй серии упражнений — понять, как возникают энергетические зоныв периодическом поле, как выглядит зависимость энергии от квазиимпульса дляразных зон, разобраться, как происходит переход от конечного большого числа ямк бесконечной решётке.В соответствии с этим предлагается выполнить следующий набор упражнений.1.
Рассмотрите сначала одну уединённую яму глубиной −U0 с числом уровней неменьше 4, затем расположим на расстоянии b от неё ещё одну такую же яму,две, три, и так до восьми. Если уровни первоначальной ямы обозначить через E1 ,E2 ,... Ek , то в системе из n ям каждый из этих уровней превратится в группу из nуровней (для верхнего уровня число дочерних уровней может оказаться меньше— выталкивание уровней). Убедитесь, что с увеличением b число вытолкнутых уровней уменьшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
