1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Как меняется при этом расстояние между уровнями вкаждой группе? Что происходит с группами уровней при уменьшении b?2. В предыдущей задаче для n = 8 сделайте третью яму чуть глубже или мельче иличуть уже. Обнаружьте локализацию некоторых состояний на этой примеси.3. Рассмотрите зависимость от энергии коэффициента прохождения над указаннымивыше системами. Рассмотреть ту же зависимость для системы барьеров высотойU0 с теми же ширинами и расстояниями между барьерами.Убедиться в том, что при росте числа ям или барьеров появляются энергетические интервалы практически полной прозрачности и непрозрачности со все болеерезкими границами (прообразы разрешённых и запрещённых зон в кристалле).Рассмотреть волновые функции в этих интервалах.Рассмотрите те же задачи для случая, когда тиражируется яма другой формы.Найдите какие-нибудь наборы параметров, отвечающие случаям с выталкиванием уровней.
Покажите, что в этом случае существуют области прозрачности принизких энергиях.А .5. Движение в центральном поле4.5.6.7.8.305В последующих задачах по возможности используйте те же элементарные ямы, что и в предыдущих.Взять за основу уединённую яму с одним, двумя или тремя уровнями. Составитьпериодическую решётку из таких ям, разделённых интервалом длины b. Рассмотреть систему разрешённых и запрещённых зон в такой решётке при различныхзначениях b.
Обнаружить значение b, при котором число разрешённых зон с отрицательной энергией равно числу уровней в «материнской» яме. Как меняютсяширины разрешённых и запрещённых зон при изменении b?Просмотрите зависимость энергии от квазиимпульса для разных зон. Пронаблюдайте, как меняется эффективная масса электрона при изменении b (если надо,произведите вычисления на бумаге для некоторых значений параметров решётки).Просмотрите вид Re ψ (x), Im ψ (x), |ψ (x)|2 для значений энергии, соответствующихдну зоны и её «потолку», чуть выше и чуть ниже – для разных зон.Просмотрите то же самое в трёхмерном изображении, где на осях отложены x,Reψ (x) и Imψ (x). Пронаблюдайте изменение картины при непрерывном измененииэнергии в интервале, включающем и запрещённую зону.Рассмотрите зависимость энергии от квазиимпульса E(q) в случае слабого периодического поля – когда для «материнской» ямы U0 a2 ∼ 1 ÷ 0, 1 и b ∼ a.Убедитесь, что в этом случае кривая E(q) представляет собой куски параболыс малыми разрывами.
Интересен вид квадрата модуля волновой функции вблизиразрывов — на границах разрешённых зон.Повторите предыдущее задание, взяв за элемент периодичности пару ям существенно разной глубины и (или) ширины.Рассмотрим сначала ту же решётку, что и в первом задании, взяв за элементпериодичности 5, 6 или 7 ям из этой решётки. Сами зоны при этом, естественноне изменятся. Как изменится при этом вид зависимости E(q)?Для решётки, рассмотренной в предыдущем задании, «испортите» элемент периодичности, сделав, например, третью яму немного глубже или немного шире. Какизменится при этом зонная структура? Рассмотрите |ψ (x)|2 для разных зон.§ А.5.Движение в центральном полеВ программе Quant-R центрально-симметричный потенциал аппроксимируют последовательностью ступенек√ (по радиусу). В каждой из них решение имеет вид (9.10)с соответствующим k = 2m(E − Ui) /~2 , действительным или мнимым.
Правиласшивки на каждой границе те же, что и для обычного одномерного движения. Программа может стартовать с начала координат, r = 0, где решение имеет форму R s (r).После последней границы должно получаться либо экспоненциально убывающеерешение (дискретный спектр), либо решение в форме (9.12) (непрерывный спектр).Прямое применение этой схемы сложнее, чем для простого одномерного движения,поскольку аналитические выражения для решений (9.10) при больших ℓ оказываются очень громоздкими суммами взаимно компенсирующих друг друга слагаемых.Поэтому приходится использовать модификацию указанной схемы, уменьшающуюэти трудности.
При E < 0 условие исчезновения растущей экспоненты даёт уровни306П р и л о ж е н и е А . Квантовая механика на компьютереэнергии, при E > 0 из решения получаются фазы рассеяния. Задача моделирования– понять особенности трёхмерной задачи в сравнении с одномерной.Ответы можно представлять для частного значения ℓ или для всех значений ℓ,меньших некоторого.
По умолчанию рассматривается второй вариант с максимальновысокой верхней границей по ℓ.В соответствии с этим предлагается выполнить следующий набор упражнений.1. Определите уровни энергии в прямоугольной (по радиусу) потенциальной яме.Рассмотрите радиальные волновые функции для отдельных состояний.2. Рассмотрите частицу в узком сферическом «слое». Изучите аналогию с вращательными уровнями молекулы.3.
Рассмотрите трёхмерный гармонический осциллятор в приближении суммы ступенек. Определите чётность и кратности вырождения уровней. Рассмотрите погрешность приближения ступеньками.4. Рассмотрите кулоновскую задачу в приближении суммы ступенек. Определитечётность и кратности вырождения уровней.
Рассмотрите погрешность приближения ступеньками.5. Для потенциала, представляющего собой твёрдый шарик радиусом a, построить волновые функции и найти фазы рассеяния в зависимости от энергии дляℓ = 0, 1, 2.6. Повторить ту же задачу для потенциала, представляющего собой тонкий сферический слой глубины U с радиусами границ a и a + b.Приложение БМатематические дополнения§ Б.1.Некоторые тензорыВ тексте широко используются два тензора, вид которых не меняется при вращениях осей координат, симметричный тензор δij и совершенный антисимметричныйтензор – тензор Леви–Чивита ei jk (иногда εijk). Они определяются следующим образом:{δij =1 при i = j ,0 при i ̸= j .ei jk = −e jik = −eikj = ekij = ...e123 = 1, e122 = e311 = ...
= 0 .(Б.1)(Б.2)Тензор δi j , элементы которого равны единице при совпадающих значениях индексов и нулю при несовпадающих, определён не только в трёхмерном пространстве,но и в пространстве любой размерности.Тензор Леви–Чивита eijk определён только в трёхмерном пространстве1 . Онопределяется так, что его элементы меняют знак при любой перестановке соседних индексов и e123 = 1. По этому определению, элементы с двумя (или тремя)совпадающими индексами равны нулю, а остальные элементы равны +1 или −1 взависимости от чётности перестановки индексов 1, 2, 3.В дальнейших примерах мы считаем, что по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Скалярное произведение двух векторов a = (a1 , a2 , a3)и b = (b1 , b2 , b3) можно записать в виде(ab) = ai bi ≡ δij ai b j .Тензор ei jk используется для записи компонент векторного произведения и ротора.
Так, для векторного произведения тех же двух векторов и для ротора вектораa имеемa × b i = ei jk a j bk , rot ai ≡ ∇ × a|i = eijk (∂ /∂x j)ak .1Вd-мерном пространстве совершенный антисимметричный тензор имеет d индексов.П р и л о ж е н и е Б . Математические дополнения308§ Б.2.δ-функция, θ-функцияОпределение. Как известно, δ-функция — не обычная функция, а обобщённая функция, или распределение. Эта функция обращается в ноль при x ̸= 0, онане определена при x = 0. δ-функция задаётся на пространстве обычных гладкихфункций g(x) правилом свёртки с любой из функций g(x),{∫bg(x) δ (x)dx =при a < 0 < b ,при a, b > 0 или a, b < 0 .g(0)0(Б.3)aδ-функция — предел последовательностей обычных функций.
Во многихзадачах δ-функция возникает как предел последовательности обычных функций, например,)(11 −x 2 /ε2εsin2 xtδ1 (x) = lim, δ2 (x) = lim √ e. (Б.4), δ3 (x) = limt→∞ε→0 π x 2 + ε2ε→0πx 2 tπεВсе эти представления описывают одну и ту же δ-функцию, определённую равенством (Б.3). Для функции δ3 (x), совпадающей с (15.25), это было показано в гл. 15.Для функции δ1 (x) это видно из цепочки равенств∫b−ax=yε=limε→0ε1 ∫bg(x)dx =ε→0 π −a x 2 + ε211 ∫∞1g(yε)dy=g(0)= g(0) .22y +1π −∞ y + 1g(x)δ1 (x)dx = lim1 b∫/επ −a/εПредельный переход δ1 (x) описывает, в частности, как от описания нестабильной частицы перейти к случаю, когда эффекты нестабильности не важны, и частицуможно считать стабильной.δ-функция от сложного аргумента.Пусть f(x) = 0 при x = x0 . Тогдаδ [ f(x)] =1δ (x − x0).| f ′ (x0)|(Б.5)∫Рассмотрим I = φ(x)δ [ f(x)] dx.
Вблизи x = x0 имеем f(x) = f ′ (x0) (x − x0).Подставим это выражение в интеграл. Тогда после замены y = f ′ (x) (x − x0) получимсоотношение, подтверждающее (Б.5):)∫ (yδ (y)φ(x0)I = φ x0 + ′· ′dy = ′.f (x0)f (x0)|f (x0)|Производная δ-функции. В вычислениях иногда появляется производнаяδ-функции, δ ′ (x). В соответствии с общими правилами, эта производная определяетсяс помощью интегрирования по частям (a < 0 < b):∫ b∫δ ′ (x) g(x)dx = δ (x) g(x)|ba − δ (x) g ′ (x)dx = − g ′ (0) .(Б.6)aБ .2. δ -функция , θ-функция309θ-функция и ε-функция.
В дополнение к δ-функции определяют также двесхожие ступенчатые функции{∫x0 при x < 0,θ (x) =δ (x)dx =(Б.7а)1 при x > 0−∞{−1 при x < 0, ε(x) ≡ sign(x) == 2θ (x) − 1 = θ (x) − θ (−x) . (Б.7б)1при x > 0 Очевидно, чтоdθ (x) /dx = δ (x) ,d|x|/dx = ε(x) .(Б.7в)Для трёхмерного случая δ-функцию естественно определить соотношением∫δ (r) f(r) d 3 r = f(0) .(Б.8а)Это означает, в частности, что в прямоугольных координатахδ (r) = δ (x)δ (y)δ (z) .(Б.8б)Таким образом, размерность функции δ (r) есть [ℓ] −3 . Уже из этого ясно, что функцияδ (r) не может совпадать с δ-функцией от радиуса δ (r), хотя на первый взгляд этиδ-функции имеют одинаковый смысл.
Чтобы установить соответствие между этими функциями, найдём с помощью уравнения Пуассона плотность распределениязаряда, отвечающую распределению потенциалаϕ(r) = q/r .Начнём с не совсем аккуратного, но «естественного» вычисления. Очевидно, чтораспределение заряда ρ(r), как и распределение потенциала обладает сферическойсимметрией, т. е. зависит только от r. Поэтому удобно записать уравнение Пуассонав сферических координатах, оставляя только радиальную часть оператора Лапласа:()()1 1 d1 1 dΦ2 dϕ(r)2 dϕ(r)ρ(r) = −r=−Φ=r.4π r 2 drdr4π r 2 drdrПервая производная потенциала даёт Φ = r 2 (−q/r 2) = −q.
Дифференцированиеконстанты даёт ноль. Итак, пространственная плотность заряда оказалась равнойнулю. Из результата исчез источник поля — точечный заряд в начале координат.Неточность предыдущего вычисления состояла в неаккуратной записи исходногоуравнения в сферических координатах. Действительно, в этих координатах значенияr не могут быть отрицательными.
Поэтому в сферических координатах потенциалследует записывать в виде ϕ = (q/r) θ (r). Теперь дифференцирование даёт последовательноΦ = −qθ (r) + qrδ (r) ,dΦ/dr = −qδ (r) + qδ (r) + qrδ ′ (r) = qrδ ′ (r) .П р и л о ж е н и е Б . Математические дополнения310В итоге мы получаемρ(r) = −q ′δ (r) .4πrС другой стороны, в случае точечного заряда, расположенного в начале координат,мы имеем ρ(r) = qδ (r). Отсюда получаетсяδ (r) = −δ ′ (r).4πr(Б.9)Легко проверить, что такое выражение удовлетворяет определению (Б.8).§ Б.3.Γ-функция. Некоторые интегралы и ряды`-функция определяется как интеграл∫∞pΓ(p) = ax p−1 e −ax dx.(Б.10)0Полезные для нас свойства Γ-функции:Γ(p + 1) = pΓ(p) ,Γ(1/2) =√π,Γ(n + 1) = n! (n — целое),)(n+1n −x 2.x e dx = Γ2−∞∫∞(Б.11)При x ≫ 1 имеем формулу (Стирлинга)Γ(x + 1) =√2πx( x )xe.(Б.12)При малых значениях x имеют место разложения в ряды:(1 + x) a = 1 + ax +x3th x = x −+ ··· ;3a(a − 1) 2x + ··· ;2!1 xx3cth x = + −+ ···x3 20(Б.13)Для суммирования хорошо сходящихся рядов иногда удобно использовать формулу Эйлера–Маклорена∞∑j=0∫∞f(j) =′′f(j)dj +0f(0) f ′ (0) f (0)−+− ···212720(Б.14)Б .4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
