1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Некоторые свойства важных специальных функций§ Б.4.311Некоторые свойства важных специальных функцийPk (−x) = (−1) k Pk (x),2ℓ + 12Pk (1) = 1,(Б.15)∫πPℓ (cos θ)Pm (cos θ) sin θdθ = δℓm .(Б.16)0Pk (cos θ) → J0 (kθ) при k → ∞.(Б.17)∫axJ0 (x)dx = aJ1 (a),(Б.18)0(x/2) n √(Jn (x) ⇒πn π )2cos x −−πx24приx → 0;приx → ∞.(Б.19)Радиальные функции атома водорода Rn,ℓ (r) выразим через вспомогательные полиномы Kn,ℓ (r), вычисляемые с помощью рекуррентных соотношений (9.16) (при нормировке использованы соотношения (Б.10), (Б.11)). В атомных единицах()ℓ(r )2re −r/n · Kn,ℓ,nn () nxKn,n−1 (x) = 1 , Kn,n−2 (x) = 2(n − 1) 1 −,n−1()2√2x2xKn,n−3 (x) = (2n − 3) (2n − 4) 1−+.n − 2 (n − 2) (2n − 3)Rn,ℓ ≡ e −r/n Φnℓ(r )=21√n2(n + ℓ)!(Б.20)В частности,x1Φ21 = √ ,Φ10 = 2,Φ20 = √ (1 − x),62()22 28x (x)4x 2Φ30 = √1−2x + x , Φ31 = √ 1−, Φ32 = √ .323 39 69 30§ Б.5.(Б.21)Оператор e B̂e− .
Проекционные операторы• Чтобы вычислить оператор e  B̂e − , полезно рассмотреть вспомогательныйоператор B̂ (η) = e η B̂e −η и найти для него дифференциальное уравнение. В итогеполучается1(Б.22)e  B̂e − = B̂ + [Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] + · · ·2!При [Â, [Â, B̂]] = [B̂, [Â, B̂]] = 0 имеем e η (Â+B̂) = e η e ηB̂ e −η2[Â,B̂] /2.(Б.23)П р и л о ж е н и е Б . Математические дополнения312• В § 1.4 введено понятие проекционного оператора как оператора, осуществляющего проектирование произвольного вектора состояния |a⟩ на состояние |fi ⟩,defP̂i = | fi ⟩⟨fi |(Б.24)(без суммирования по значениям i) (1.14). Важнейшие свойства (и признаки) проекционного оператора легко усматриваются из определения.(а) Квадрат проекционного оператора P̂i2 совпадает с P̂i (1.15).(б) Сумма проекционных операторов на пару ортогональных состояний есть тожеоператор проектирования на «плоскость», образованную этими двумя состояниями.P̂i + P̂ j ≡ P̂i, j при ⟨fi |f j ⟩ = 0 .(Б.25)Напомним, что при суммировании по полному набору векторов состояния i получаетсяединичный оператор (вне зависимости от конкретного базиса f) –∑∑P̂i = |fi ⟩⟨ fi | = 1̂ (1.16).iiНаконец, вероятность обнаружить в произвольном состоянии |f ⟩ компоненту,отвечающую вектору состояния | fi ⟩, естьwi/ f = ⟨f |P̂i | · |P̂i |f ⟩ ≡ ⟨ f |P̂i | f ⟩ .(Б.26)§ Б.6.
Момент импульса в четырёхмерном эвклидовомпространствеГенераторы преобразований группы вращений четырёхмерного эвклидова пространства O(4) (естественные обобщения генераторов преобразований группы вращений трёхмерного эвклидова пространства O(3) – компонент вектора момента импульса, обсуждавшихся в гл. 8) образуют четырёхмерный тензор момента импульса1(здесь, как обычно, p0 = −i~∂ /∂x0)0txtytz−tx0Lz −Lx .Lµν = xµ pν − xν pµ ⇒ (Б.27)−ty −Lz0Ly −tz Lx −Ly0Поскольку O(3) ∈ O(4), естественно, что Lx , Ly и Lz – компоненты обычного векторамомента импульса.
Квадрат длины нашего тензора Lµν Lµν = t2 + L2 .Перестановочные соотношения между компонентами этого тензора легко получаются из их определений и имеют вид[L̂i , L̂ j ] = i~eijk L̂k ,[L̂i , t̂ j ] = i~eijk t̂k ,[t̂i , t̂ j ] = i~eijk L̂k .(Б.28)1 Обратите внимание на сходство этого тензора с тензором электромагнитного поля так, что векторt отвечает полярному вектору E, а вектор L – аксиальному вектору H. Различие с псевдоэвклидовымпространством теории относительности – в метрике пространства.
В частности, в теории относительностибыло бы x0 = ct, p0 = E/c, Lµν Lµν = t2 − L2 , а tx , ty и tz – компоненты трёхмерного вектора буста,связанные с преобразованиями Лоренца вдоль каждой из осей x, y и z так же, как компоненты обычногомомента импульса связаны с вращениями вокруг пространственных осей.Приложение ВСкрытые параметры и квантовая механикаНекоторые авторы полагали, что существует динамическая теория классическоготипа, содержащая некоторые неизвестные нам ныне переменные (скрытые параметры), в которой все результаты предсказываются однозначно, а квантовая механика с её вероятностными предсказаниями возникает как результат усредненияпо этим скрытым параметрам. Первая аккуратная формулировка этой концепциибыла дана А. Эйнштейном, Б. Подольским и Н. Розеном в 1934 г.
В частном случае её можно формулировать следующим образом. Рассмотрим распад бесспиновойчастицы С на два электрона А и В. Спины этих электронов направлены противоположно. Поэтому, обнаружив, что электрон А имеет, например, положительнуюпроекцию спина на ось z, мы уверенно можем говорить, что для частицы В этапроекция отрицательна.
Ни о каких вероятностях здесь не может быть и речи. Ответ, вскоре данный Н. Бором и Л.И. Мандельштамом, в применении к этому опытугласит: утверждение об антипараллельности спинов А и В в рамках квантовой теории носит вероятностный характер, внутреннего противоречия вквантовой теории не возникает. В 1964 г. J.S. Bell построил примеры экспериментов, в которых различие между теорией со скрытыми параметрами и квантовойтеорией можно проверить на опыте, и вскоре эксперименты показали, что реальностьописывается квантовой теорией, а не теорией со скрытыми параметрами. Один изтаких примеров предоставлен нам А.
Г. Грозиным (по материалам книги Mermin N.D. Boojums all and way through: Communicating science in a prosaic age. CambridgeUniv. press, 1990). Нам придётся пользоваться здесь формализмом спина (гл. 10).Пусть в источнике C происходят распады частиц со спином 0 на пары частицсо спином 1/2. A и B – детекторы, которые измеряют проекцию спина частицы,прилетевшей в этот детектор, на какую-нибудь ось, перпендикулярную прямой ACB.A ←− C −→ BТакой детектор – простая штука: в нём создаётся неоднородное магнитное поле,в котором частицы с магнитным моментом, направленном вдоль поля, отклоняютсяв одну сторону, а против поля – в другую. Ось каждого из детекторов A и B можноповернуть в одном из трёх возможных направлений, образующих друг с другом углы120◦ .
Сделать выбор, как повернуть детекторы, можно уже после того, как частицывылетели из источника C и направились к детекторам A и B. Мы делаем, скажем,106 экспериментов такого типа: в C рождается пара частиц; ориентации детекторовA и B выбираем случайным образом; и записываем результаты. Получится длинная314П р и л о ж е н и е В . Скрытые параметры и квантовая механикалента записей типаA1B2 + −, A3B1 + −, A2B2 − +, A3B2 − −, · · ·(Например, A1B2 + − означает, что детектор A имел ориентацию 1,а детектор B – ориентацию 2; первый обнаружил положительную проекцию спина на свою ось, а второй отрицательную) и т .д.
Далее рассматриваются толькослучаи A ∦ B, когда оси детекторов ориентированы по-разному.Вариант со скрытыми параметрами. Согласно логике скрытых параметров, частица, летящая в сторону A, например, имеет какие-то определённыепроекции спина на каждую из трёх осей, хотя при использовании квантовогоописания нам не удастся узнать их величины. Это значит, что для каждого детектора все частицы можно разделить на 8 групп: + + +, + + −, + − +, + − −,− + +, − + −, − − +, − − − (если частица принадлежит группе + + −, то, повернувдетектор в положение 1 или 2, мы получим +, а в положении 3 детектор покажет −).Поскольку суммарный спин равен нулю, две частицы, родившиеся в источнике C,имеют противоположные проекции спинов на любую ось.
Если одна частица имеетсостояние + + −, то другая имеет состояние − − +, и т.д.Пусть, например, родилась пара частиц в состояниях + + − и − − +. Тогда длявсех возможных положений детекторов A ∦ B мы получимA1B2 + −, A1B3 + +, A2B1 + −, A2B3 + +, A3B1 − −, A3B2 − −.Таким образом, состояния +− и −+ получились с вероятностью 1/3, а ++ и −−с вероятностью 2/3. Тот же самый ответ получается и для состояний + − +, + − −,− + +, − + −, − − +.Если же часть пар рождается в состояниях + + + и − − −, то всегда получаютсярезультаты +− и −+. Таким образом, получился частный случай неравенств Белла:В теории со скрытыми параметрами вероятность результатов +− и −+ больше 1/3 .(В.1)В квантовой механике мы воспользуемся техникой гл.
10 и § Б.5.Запишем, прежде всего, общую волновую функцию пары частиц, вылетевших прираспаде, обозначая частицы по имени точек наблюдения. Согласно (12.7), это|ψ0 ⟩ =|(A)+⟩|(B)−⟩ − |(A)−⟩|(B)+⟩√.2(В.2)Знаки + и − отвечают проекциям спина на какую-то (любую избранную) ось.Пусть ось одного детектора ориентирована вдоль nA , а другого вдоль nB . Оператор проектирования на состояния, в которых знаки проекций первого спина наоси nA и nB противоположны есть сумма соответствующих операторов (10.6) длякаждого из них,P̂+− = P̂A+ ⊗ P̂B− + P̂A− ⊗ P̂B+ =1[1 ⊗ 1 − (σ A nA) ⊗ (σ B nB)] .2(В.3)315В соответствии с (10.6) вероятность того, что проекции спинов на эти оси противоположны, естьw+− = ⟨ψ0 |P̂+− |ψ0 ⟩ ≡1 1− ⟨ψ0 |(σ A nA) ⊗ (σ B nB)|ψ0 ⟩ .2 2(В.4)Рассмотрим для примера ситуацию A1B2.
Направим ось z вдоль nA = (0, 0, 1),)1 (√для оси nB , направленной под углом 120◦ к оси z, имеем nB =3, 0, −1 .21 1При этом вероятность (В.4) принимает вид w+− = + ⟨ψ0 |σ̂z,A ⊗ σ̂z,B |ψ0 ⟩ (вектор2 4[]σ̂x,B ≡ (σ̂+,B + σ̂−,B) /2 |ψ0 ⟩ ортогонален вектору |ψ0 ⟩, и это слагаемое из (σ B nB)даёт в ответ нулевой вклад). Таким образом, окончательноw+− =11 1− = .2 44(В.5)Ясно, что этот ответ справедлив для любой пары ситуаций A ∦ B. Таким образом,в квантовой механике вероятность результатов +− и −+ равна 1/4 .(В.6)Итак, в квантовой механике неравенство Белла (В.1) нарушается, и это утверждение доступно экспериментальной проверке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
