1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В итоге наблюдаемое сечение начинает зависеть от величины ln(kr), взятой на масштабе действияэтих короткодействующих сил. Наблюдение этой зависимости доставляет новые сведения о характере короткодействующих сил. Именно это является одной из задачисследования упругого протон-протонного рассеяния при больших энергиях и стольмалых углах рассеяния, что величина квадрата переданного импульса (17.24) близкак квадрату обратного радиуса действия ядерных сил (~/a) 2 ≈ (mπ c) 2 .§ 17.7.Рассеяние при наличии неупругостиПростое обобщение соотношений (17.30) позволяет описывать и те случаи, когдав результате соударения помимо «повёрнутых» состояний исходных частиц появляются новые состояния или частицы – при наличии неупругости (примеры – рассеяние света на атоме с его переходом в возбуждённое состояние, рассеяние с вылетомэлектрона – фотоэффект, рассеяние протона на протоне с вылетом π-мезона).17.7.1.
Общие соотношения. Канал упругого рассеянияПри низких энергиях модификация упругого рассеяния и основные характеристики неупругого рассеяния можно компактно описать, если использовать комплексныезначения фаз рассеяния δℓ . Парциальное сечение упругого рассеяния (17.31) можнозаписать ещё в виде σℓ(el) = π (2ℓ + 1)|1 − Sℓ |2 /k2 . Мы ограничимся здесь основнымисоотношениями.Напомним, что парциальная амплитуда расходящейся волны отличается множителем (−1) ℓ+1 Sℓ от соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если поглощения нет, то в силу сохранения вероятности |Sℓ | = 1.
Если есть поглощение,то |Sℓ | < 1, и величина 1 − |Sℓ |2 описывает уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению со сходящейся. Действительно,Jin = −π~k ∑(2ℓ + 1);mJout =π~k ∑(2ℓ + 1)|Sℓ |2 .mГлава 17. Рассеяние294Неупругое сечение – разность этих интегралов, делённая на падающий поток jinc ,а полное сечение σtot = σel + σin . Окончательно∑σel = σℓ(el) , σℓ(el) = π (2ℓ + 1) (|1 − Sℓ |2) /k2 ;∑(17.41)σin = σℓ(in) , σℓ(in) = π (2ℓ + 1) (1 − |Sℓ |2) /k2 ;∑2σtot = σℓ(tot) , σℓ(tot) = 2π (2ℓ + 1) (1 − ReSℓ) /k .Итак,▽ при Sℓ = 1 нет ни поглощения, ни рассеяния,▽ при |Sℓ | = 1 есть только рассеяние и нет поглощения,▽ при Sℓ = 0 поглощение и рассеяние одинаково сильны.Если рассеяние чисто упругое, все фазы действительны, и мы приходим к (17.31).♢ Соотношения (17.30), (17.41) позволяют вычислить и мнимую часть парциальной амплитуды Imfℓ (k) = (1 − ReSℓ) /2k.
Сравнение с (17.41) показывает, чтооптическая теорема (17.12) выполняется для каждой парциальной волны по отдельности:kσℓ(tot) (k).(17.42)(2ℓ + 1)Im fℓ (k) =4π17.7.2. Неупругие процессыДля описания отдельных неупругих каналов рассеяния общий формализм, развитый выше, не проходит. Конечно, можно вычислять амплитуду рассеяния для каждого отдельного канала, и, например, первому Борновскому приближению отвечаетвычисление амплитуды как матричного элемента перехода между начальным и избранным конечным состоянием.
Но как учесть разнообразие конечных состояний?Здесь на помощь приходит золотое правило Ферми (15.26). Скорость переходовиз начального состояния в конечное пропорциональна плотности числа конечныхсостояний по энергии, которая определяется из закона сохранения энергии. Сечениеже процесса пропорционально этой скорости, делённой на величину падающего потока частиц ~k/m. В свою очередь плотность числа конечных состояний электронапри его фиксированной энергии пропорциональна k. Именно поэтому для упругогорассеяния множитель k из ответа выпадает, из этой плотности в ответе осталосьтолько интегрирование по углам (17.5).Сечение неупругого процесса i → f определяется как скорость процесса, делённая на поток падающих частиц,∫σ f(i) = m|F fi |2Πd 3 k fδ (E f − Ei) .ki(17.43)(Мы распорядились нормировкой так, чтобы включить в матричный элемент всевозникшие множители).При небольших энергиях падающей частицы интересны три важных случая.1.
Конечное состояние кинематически не отличимо от начального, пример – реакция π − p → π 0 n в пренебрежении различием масс π − и π 0 , p и n. В этом случае17.7. Рассеяние при наличии неупругости295сечение процесса при малых энергиях стремится к конечному пределу, в точностикак и для упругого рассеяния – (17.36).2. Конечное состояние может рождаться, только если энергия падающей частицы больше некоторого «порогового» значения Et (примеры – рассеяние электронана атоме, сопровождающееся его переходом в возбуждённое состояние, рассеяниепротона на протоне с рождением пиона,...) В этом случае повторение предыдущегорассуждения для упругого рассеяния показывает, что для двухчастичного конечногосостояния при небольших превышениях энергии над порогом√ сечение пропорционально импульсу рождённой частицы k p , т.
е. σi ∝ k p ∝ E − Et . Разумеется,эти оценки справедливы на небольших расстояниях от порога – малых E − Et внезависимости от величины энергии сталкивающихся частиц1 .3. Конечное состояние нестабильно и может спонтанно распадаться на другиечастицы. Один из примеров – рассеяние электрона на атоме, находящемся в возбуждённом состоянии. Другой пример хорошо известен в истории проблемы атомнойбомбы. Медленные (тепловые) нейтроны хорошо поглощаются ядрами 235 U , получающееся возбуждённое ядро испытывает быстрый спонтанный распад на ядра середины периодической таблицы элементов с выделением большого количества энергии (ядерная энергия – см. обсуждение на стр. 243).
В этом случае приуменьшении энергии падающей частицы плотность конечных состояний стремитсяк конечному пределу, отвечающему спонтанному распаду, а поток падающих частицстремится к нулю пропорционально скорости. Это означает, что при уменьшенииэнергии сечение рассматриваемого процесса растёт как σi ∝ 1/v, при этом числоядерных распадов в единицу времени nσi v (n – плотность числа нейтронов) практически не зависит от их скорости. (Поглощение быстрых нейтронов приводит обычно к образованию сравнительно долго живущих трансурановых элементов, которыеможно использовать отдельно, но с точки зрения немедленного энерговыделения этинейтроны пропадают.
Поэтому в урановом ядерном реакторе для увеличения числаактов деления нейтроны замедляют, заставляя их пройти через слой тяжёлой водыили графита.) Подобная ситуация (σv ≈ const) возникает и при изучении некоторыхпроцессов с частицами, которые могли бы составлять тёмную материю.17.7.3. Рассеяние быстрых частиц на сером шареДля ряда физических задач грубую картину рассеяния неплохо описывает картина дифракционного рассеяния быстрых частиц на частично поглощающем (сером)шаре радиуса a при ka ≫ 1 с коэффициентом поглощения ρ (значение ρ = 1 отвечает чёрному шару, при ρ = 0 рассеиватель незаметен). Эта задача очень похожана задачу о дифракции плоской волны на сером (полупрозрачном) шаре.При ka ≫ 1 разумный результат даёт квазиклассическое приближение.
Моментимпульса частицы, движущейся с прицельным параметром ρ, есть L = pρ ≡ ~kρ.Поэтому значения момента, участвующие в соударениях, ℓ . ℓ0 = ka. Приℓ ≫ ℓ0 = ka частицы не сталкиваются с шаром, соответствующие Sℓ = 1. При1 Здесь фактически предполагается, что в неупругом процессе рождается система с моментом ℓ = 0.ℓПри ℓ ̸= 0 в пороговую зависимость добавляется дополнительный множитель k2ℓr ∝ (E − Et ) .Глава 17. Рассеяние296ℓ ≪ ℓ0 часть потока частиц поглощается (их доля составляет ρ), а отношение амплитуд расходящейся и сходящейся волн в полном решении составляет Sℓ = 1 − ρ(ср.
определение (17.30)). (Для полного поглощения – чёрный шар – Sℓ = 0.) Область ℓ ≈ ℓ0 не даёт большого вклада в сечение. Итак, в соответствии с (17.30) мыполучаем в хорошем приближении чисто мнимую амплитуду упругого рассеяния0i ∑ρ(2ℓ + 1)Pℓ (cos θ).2kℓf(k, θ) =(17.44)ℓ=0Найдём сначала полное и упругое сечения. Для этого выпишем мнимую часть амплитуды (упругого) рассеяния вперёд с помощью (Б.15):01 2ρ1 ∑ρ(2ℓ + 1) =ρℓ ≈ ka2 .2k2k 02ℓImf(k, 0) =ℓ=0Использование оптической теоремы (17.12) даёт теперь полное сечениеσtot = 2πρa2 ,(17.45)Результат имеет правильный порядок величины πa2 , но как появился множитель 2ρ(для чёрного шара это был бы не очень понятный множитель 2)? Чтобы понять это,воспользуемся соотношениями (17.41).
Они даютσel =ℓ0πℓ20 ρ2π ∑σelρ2ρ(2ℓ+1)== πρ2 a2 ⇒= .22kkσtot2(17.46)ℓ=0Точно так же получается сечение неупругого рассеяния σ in = π (2ρ − ρ2)a2 . Итак,в нашей модели упругое сечение значительно меньше неупругого, и только для чёрного шара упругое и неупругое сечения равны. (Чтобы получить в такой моделиотносительно небольшую неупругость, надо использовать комплексные Sℓ .)Чтобы описать угловое распределение упругого рассеяния, при больших ℓ заменим в (17.44) суммирование интегрированием (Б.17).
Тогда получаетсяif(k, θ) ≈ ρk∫ℓ0ℓJ0 (ℓθ)dℓ = ρiaJ1 (kaθ).θ0Поэтому (ср. (Б.19)) сечение упругого рассеяния велико лишь в области малых угловθ . (1/ka):(ka) 2 /4при θ ≪ 1/ka,dσel22 22= |f | ≈ ρ a 2 sin (ka − π /4)dΩпри θ ≫ 1/ka.πkaθ2Полученная картина при ρ = 1 (чёрный шар) неплохо описывает, например,рассеяние нейтронов с E = 100 МэВ на тяжёлом ядре радиуса a ∼ 10−12 см, при17.8. Ограничения подхода297этом ka ∼ 10. Эта картина даёт грубое описание и для рассеяния адронов (протонов,нейтронов, антипротонов) друг на друге при больших энергиях (в сотни и тысячиГэВ), с ρ ≈ 0, 4 и a ∼ 0, 6 Фм, эти столкновения преимущественно неупругие.Для классических же частиц дифракция практически не наблюдаема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
