1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Нетрудно устано−ξ /2вить, что R → eпри ξ → ∞, а при ξ → 0 получается R → ξ |m|/2 . Поэтому удобноискать решение в виде R(ξ) = e −ξ/2 ξ |m|/2 w(ξ). Для функции w(ξ) получается уравнение, которое решается с помощью разложения в ряд по той же схеме, которая былаиспользована в § 9.3 для атома водорода. При произвольном значении β волноваяфункция растет при ξ → ∞ как e ξ/2 . Чтобы получить нормируемое решение с убывающей при ξ → ∞ асимптотикой, надо наложить условие β − (|m| + 1) /2 = nρ > 0– целое. При этом уровни энергии даются формулой()|m| + m + 1p2E = ~ωB nρ ++ σz + z .(11.20)22µЭто – иная форма записи полученного ранее ответа (11.16).
Здесь обсуждавшеесявыше вырождение выглядит как независимость энергии от m при m < 0 или какнезависимость от m при фиксированной величине nρ + m при m > 0.♢ Найденные решения явным образом различаются, хотя и должны описыватьодну и ту же реальность. Это видимое различие и несоответствие классике разрешаются, если вспомнить, что, например, состояния (11.19а) и (11.19б) бесконечнократно вырождены по py и px соответственно, а состояния (11.20) – по проекциям m11.2. Уравнение Шредингера185момента импульса на ось z даже при фиксированном продольном импульсе pz .
Ониобразуют подпространство полного Гильбертова пространства, отвечающего заданным значениям энергии (11.16) и pz . Волновые функции (11.19а) и (11.19б) и функции, отвечающие решениям (11.20), образуют разные базисы этого подпространства,каждая из этих функций допускает разложение по набору других функций.11.2.4. Двумерный осциллятор в магнитном полеЗадачу о состояниях заряженного симметричного осциллятора в магнитном полерешил в 1928 г. В.А. Фок (Zs.
f. Phys. 47 (1928) 446-448). Для частного случаяотсутствия осцилляторного поля возникающие состояния (11.16) были переоткрыты Л.Д. Ландау в 1930 г. Их называют уровнями Ландау. Недавно выяснилось, чтопростое аналитическое решение имеет и задача о состояниях заряженного асимметричного осциллятора в магнитном поле.Рассмотрим двумерный (в плоскости (x, y)) анизотропный заряженный осциллятор в однородном магнитном поле B = (0, 0, B). Используя векторный потенциалв виде AL = (0, xB, 0) и стандартное обозначение ωB = eB/mc, запишем гамильтониан получившейся задачи в виде суммы гамильтонианов продольного движения(вдоль оси z) и поперечного движения Ĥ⊥ (ср. (11.18))Ĥ =p̂z2+ Ĥ⊥ ,2mĤ⊥ =p̂y2mω12 + mωB2 x 2mω22 y 2p̂x2+− ωB x p̂y ++.2m 2m22(11.21)Сделаем замену Ŷ = − p̂y / (mω2), p̂Y = ymω2 (это, в сущности, – известное каноническое преобразование классической механики).
Необязательный множитель mω2добавлен для того, чтобы сделать одинаковыми размерности «новых» и «старых» координат и импульсов. Знак "−" в первом из соотношений выбран для того, чтобыу «новых» координаты и импульса были те же перестановочные соотношения, чтои у «старых», [ p̂Y , Ŷ ] = −i~.Теперь гамильтониан поперечного движения принимает вид анизотропного осциллятора (4.27) с ω12 → ω12 + ωB2 , ω2 → ω2 , b → ωB ω2 :Ĥ⊥ =p̂ 2m(ω12 + ωB2 ) x̂ 2mω22 Ŷ 2p̂x2+ Y + mωB ω2 x̂ Ŷ ++.2m 2m22(11.22)Совершим затем поворот на угол θ вида (4.28) в плоскости (x, Y), диагонализующий гамильтониан, и введём стандартным образом (см. (4.3)) операторы уничто+жения âkz и рождения â+kz ≡ (âkz) , которые в «старых» координатах имеют вид(здесь c = cos θ, s = sin θ)√)(1 mΩ1~ d~ dω2âz1 =,cx − is+c+ isy2~mω2 dymΩ1 dxΩ1√()1 mΩ2~ d~ dω2âz2 =−sx − ic−s+ icy.2~mω2 dymΩ2 dxΩ2(11.23)Глава 11.
Движение в магнитном поле186После этого Ĥ⊥ принимает вид гамильтониана пары осцилляторов с энергиямисостояний E⊥(n1 n2) (выражения для частот получены из (4.33) простым алгебраическим преобразованием):+Ĥ⊥ = ~Ω1 (â+1z â1z + 1/2) + ~Ω2 (â2z â2z + 1/2) ,√√(ω1 + ω2) 2 + ωB2 ± (ω1 − ω2) 2 + ωB2Ω1,2 =,2E⊥(n1 n2) = ~Ω1 (n1 + 1/2) + ~Ω2 (n2 + 1/2) .(11.24)Для симметричного осциллятора (ω1 = ω2) имеем Ω1 − Ω2 = ωB . Частота Ω1 можетинтерпретироваться как частота вращений базового осциллятора в ту же сторону, вкоторую вращается свободная частица в магнитном поле, а Ω2 – в противоположном.Волновые функции выражаются через функцию основного состояния ψ00 с помощью операторов рождения (11.23), как и в (4.32).
Чтобы найти ψ00 , достаточнорешить систему уравнений â1z ψ00 (x, y) = â2z ψ00 (x, y) = 0, что даёт( 2)1/4()4c ω1 ω2ψ00 (x, y) =exp −c(ω1 x12 + ω2 x22) + ic12 xy , где2π√2m ωB + (ω1 + ω2) 2mωB ω2eBω2c=,c12 =≡.2~(ω1 + ω2)~(ω1 + ω2)~c(ω1 + ω2)(11.25)Выражения для волновых функций и операторов рождения и уничтожения меняются с изменением калибровки векторного потенциала (см. § 11.4). В частности, векω2ω1торный потенциал AR = B(−y,x, 0), получается из использованногоω1 + ω2 ω1 + ω2выше калибровочным преобразованием ÂR = ÂL + ∇f , где f = −Bxyω2 / (ω1 + ω2).В соответствии с (11.29) это даёт добавку к фазе волновой функции −e f/~c, полностью «убивающую» вклад c12 xy в показателе экспоненты (11.25).• При изменении величины поля система проходит через состояния, обладающие некоторыми симметриями, не видимыми в исходном гамильтониане (скрытыесимметрии).
Если поле Br таково, что собственные частоты оказываются в рациональном отношении Ω1 = rΩ2 , где r = m/n, а m и n – целые, то соответствующиеуровни энергии вырождены (обратим внимание, что простой симметрии с r = 1 невозникает). При этом значении поля в системе появляются новые сохраняющиеся(1)(2)операторы Ĉ2 и Ĉ1 . Эти значения поля и операторы таковы:B=mce√ω1 ω2 (r − 1) 2 /r − (ω1 − ω2) 2 ;(1)mĈ2 = â+n1z â2z ,(2)nĈ1 = â+m2z â2z .(11.26)В частности, при r = 2 спектр энергий есть ~Ω2 (N + 3/2), где N = 2n1 + n2 ,и кратность вырождения равна n + 1 при N = 2n и при N = 2n + 1.11.3. Движение спина в магнитном поле§ 11.3.187Движение спина в магнитном полеУравнение движения спина электрона в магнитном поле (с учётом перестановочных соотношений (10.1)) имеет видi~ds= [s, Ĥ ] ≡ −i[µs × B] = −ige µB [s × B] .dt(11.27)Согласно этому уравнению, спин прецессирует вокруг направления магнитного поля,т.
е. компонента спина, направленная вдоль поля, неизменна, а поперечная компонента вращается с угловой скоростью ω = (ge /2) (µB /~)B = (ge /2) (eB) /mc.Это явление можно описать и по-другому. Для этого рассмотрим поле, направленное по оси z и спин, первоначально направленный по оси x. В базисе проекций( на)1 1ось z спиновая волновая функция в первый момент имеет вид χ(t = 0) = √.2 1Энергии, отвечающие проекциям спина на поле, равным +1/2 и −1/2, различны,это E± = ∓(ge /2)µB B.
В соответствии с уравнением Шредингера, зависящим отвремени, каждая из этих компонент меняется со временем по разному,()( i(g /2)µ t/~ )1 e −iE+ t/~1e e Bχ(t) = √≡√−iE− t/~−i(ge /2)µB t/~ee.22В соответствии с решением задачи 9.5 это и означает, что направление спина меняется со временем по закону (φ – азимутальный угол)φ = t(E− − E+) /~ ≡ ge µB Bt/~ = ge (eB/mc)t ,т.
е. спин вращается с угловой скоростью ge (eB/mc).♢ Уравнение для скорости электрона в однородном магнитном полеdv/dt = (e/mc) v × B похоже на (11.27). Вектор скорости прецессирует вокругнаправления поля B с циклотронной частотой eB/mc (11.16). Поскольку ge оченьблизко к 2, но все же не равен 2, проекция спина на направление v меняется современем, хотя и очень медленно. Если в начале спин был параллелен импульсу, топосле одного оборота их направления станут немного различаться, и совпадут толькочерез N ≈ 1/ (ge − 2) ≈ 860 оборотов.
Этот эффект позволяет управлять ориентацией спина электрона в ускорителе. С другой стороны, если измерить точный моментвремени, когда параллельность восстановится, например, через 1010 оборотов, томожно измерить величину (ge − 2) /2 с точностью около 10−10 (для кольца длиной3 м при энергии электронов больше 10 МэВ это потребует всего лишь 100 секунд).• Если магнитное поле зависит от координат, то даже для нейтральной частицыс ненулевым магнитным моментом импульс начинает зависеть от координаты. Вычисляя по общим правилам dp/dt = [p, Ĥ] /i~ с учётом (10.1), получаем хорошоизвестное в электродинамике соотношениеdp= −∇ { gµB (sB)} .dt(11.28)• Если движение квазиклассично, усреднение уравнения движения для спина поволновому пакету даёт для средних значений ds/dt = (ge/2mc)s×B.
Поскольку намагниченность вещества M определяется спинами его электронов, то отсюда следуетГлава 11. Движение в магнитном поле188уравнение Ландау–Лифшица для намагниченности (отличием g от 2 пренебрегаем):dMe=[M × B] ≡ [ω B × M].dtmc§ 11.4.Калибровочная инвариантностьИз курса электродинамики известно, что вектор-потенциал определяется черезизмеримую величину – напряжённость поля только с точностью до градиента произвольной функции (калибровочная, или градиентная, инвариантность уравнений электродинамики). Эта неоднозначность обобщает известную неоднозначностьв определении энергии – с точностью до выбора начала отсчёта.Переходя к квантовой механике, заметим, что уравнение Шредингера для частицы с зарядом e не меняет свою форму при одновременном преобразовании полей иволновой функции с помощью произвольной функции координат и времени f(r, t):A → A + ∇ f(r, t) ,φ(r) → φ −1 ∂ f(r, t),c ∂tψ → ψ · e ie f(r, t) /~c .(11.29)(В четырехмерной записи Aµ = (φ, A) (11.29) имеет вид Aµ → Aµ − ∂ f/∂xµ .)Такое преобразование называют калибровочным.
Независимость наблюдаемыхфизических результатов теории от калибровочного преобразования (11.29) называюткалибровочной (gauge) инвариантностью квантовой механики.Калибровочная инвариантность позволяет накладывать на вектор-потенциал дополнительные (калибровочные) условия, делающие более удобными те или иныевычисления. В частности, во многих задачах удобно использовать∑ µ релятивистскиинвариантное условие Лоренца (калибровку Лоренца)∂A /∂x µ = 0. В друµгих задачах удобно использовать условия, которые не являются релятивистски инвариантными, поскольку содержат в себе какой-то избранный вектор nα .
Примертакого типа даёт используемая нами в §13.3 кулоновская калибровка, в которойвыделенную роль играет ось времени:φ = 0,div A = 0 .(11.30)Можно стартовать и с инвариантности вероятностей относительно измененияфазы волновой функции (одинаковой во всем пространстве и не зависящей от времени).
Естественное обобщение этого – возможная инвариантность относительнофазы, меняющейся в пространстве и времени ψ → ψe iα(r) . Чтобы такая инвариантность имела место, изменения в величине p̂ 2 ψe iα(r) должны быть скомпенсированы изменениями в слагаемых, отвечающих взаимодействию. Электромагнитное полес выписанными преобразованиями (при α(r) = ef(r)) как раз и компенсирует эти изменения. Поэтому электромагнитное поле можно рассматривать как компенсирующее поле по отношению к нашим преобразованиям. Если бы мы не знали заранеео его существовании, мы предположили бы, что такое компенсирующее поле должнобыть в Природе.Подобная идея для калибровочных преобразований более общего вида была выдвинута в 1954 г. Янгом и Миллсом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
