1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. моменты отдельных электронов не сохраняются, но сохраняется суммарный момент всех электронов. Однако пока это взаимодействие междуэлектронами остается слабым, «память» о моментах отдельных электронов должнасохраняться в полном описании.♢ Итак, пусть рассматриваемую сферически симметричную систему можно разбить на две подсистемы так, что каждая из них обладает сферической симметрией,а их взаимодействие нарушает эти частные симметрии. Сферические симметрии подсистем означают, в частности, что их состояния удобно описывать с помощью моментов импульса подсистем j1 и j2 .
Взаимодействие часто зависит от относительнойориентации этих моментов так, что соответствующее возмущение можно записать ввиде V̂ = 2A(ĵ1 ĵ 2).Действуя по теории возмущений, нужно найти собственные значения оператораV̂ и построить его собственные состояния из собственных состояний подсистем.Для этого перепишем оператор V через оператор суммарного момента импульсасистемы ĵ:)(222(ĵ = ĵ1 + ĵ2) .(12.1)V̂ = A ĵ − ĵ1 − ĵ2 ,12.1. Сложение моментов193Из перестановочных соотношений (8.3), (8.8) для операторов ĵ1i и ĵ2i получаются точно такие же соотношения для суммарного момента ĵi .
Поэтому все выводы,следующие из алгебры операторов, справедливы и в этом случае. В частности, соб2ственные значения оператора ĵ определяются так же, как в гл. 8, и собственныезначения оператора (12.1) имеют вид A[ j(j + 1) − j1 (j1 + 1) − j2 (j2 + 1)] .Итак, необходимо по известным исходным состояниям |j1 , m1 ⟩, | j2 , m2 ⟩ построитьсобственные состояния оператора полного момента и найти возможные собственныезначения этого оператора.Состояние такой системы можно описать двумя разными способами:2• набором собственных состояний |I(j1 , m1 , j2 , m2 ⟩ = |j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩ операторов ĵ1 ,2ĵ1z , ĵ2 , ĵ2z с собственными значениями j1 (j1 + 1), m1 , j2 (j2 + 1), m2 ;22• набором собственных состояний |II(j, m, j1 , j2 ⟩ = |j, m; j1 , j2 ⟩ операторов ĵ , ĵz , ĵ1 ,2ĵ2 с собственными значениями j(j + 1), m, j1 (j1 + 1), j2 (j2 + 1).Ниже мы часто не выписываем аргументы у собственных состояний |I ⟩ и |II ⟩.♢ Проблемой сложения моментов называют следующий набор задач.1.
Какие значения m возможны при заданных m1 и m2 ?2. Какие значения j возможны при данных j1 и j2 ?3. Каковы чётности суммарных состояний?4. Ясно, что любая функция |II ⟩ может быть выражена через линейные комбинациифункций |I ⟩, и наоборот:∑ jmC j1 m1 , j2 m2 |j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩;mi∑ jm|j1 , m1 ⟩|j2 , m2 ⟩ = C̃ j1 m1 , j2 m2 |j, m; j1 , j2 ⟩.| j, m; j1 , j2 ⟩ =(12.2)j,mНайти определённые здесь коэффициенты Клебша–Гордана C и C̃.jm♢ Из определения видно, что C̃ j1 m1 , j2 m2 ⟨= ⟨I(j1 , m1 , j2 , m2 |II(j, m, j1 , j2 ⟩()†jmjmи C j1 m1 , j2 m2 = ⟨II(j, m, j1 , j2 |I(j1 , m1 , j2 , m2 ⟩ = C̃ j1 m1 ,j2 m2 . Без ограничения общности, коэффициенты C выбирают вещественными, при этомjmjmC j1 m1 ,j2 m2 = C̃ j1 m1 , j2 m2 .(12.3)Далее мы сначала изложим результаты, а затем опишем способ отыскания коэффициентов Клебша–Гордана и убедимся в полноте получившейся конструкции.
Этои составит полное решение задачи.Ответы на первые два вопроса составляют содержание «векторной модели»сложения моментов: моменты – это стрелочки длиной j1 и j2 , которые могут быть направлены по-разному, и их суммарные величины пробегают всевозможные значения. Ответы на остальные вопросы являются квантовыми.1. Так как ĵz = ĵ1z + ĵ2z , тоm = m1 + m2 .(12.4а)Глава 12. Сложение моментов1942. Величина j принимает значенияj = j1 + j2 , j1 + j2 −1, j1 + j2 −2, ... , |j1 − j2 |.(12.4б)3. Чётность состояний суммарного момента P не определяется величиной j, но всегда P = P1 · P2 , где Pi – чётности состояний | ji , mi ⟩. Для спинового моментапонятие чётности не определено (спин – внутренняя степень свободы).▽ Чтобы убедиться, что в ответах (12.4) учтены все состояния, пересчитаем ихв обоих описаниях системы.Число различных состояний, определяемое через состояния складываемых моментов, есть N = (2j1 +1) (2j2 +1).
При втором описании для каждого j имеется∑ 2 j+1различных значений m = − j , − j + 1, . . . , j. Число таких функций есть(2j + 1),где сумма берется по всем значениям j, допустимым при данных j1 и j2 :j1∑+j2| j1 − j2 |(2j + 1) =j1∑+j20(2j + 1) −|j1 −j∑2 |−1(2j + 1) =0= (j1 + j2 + 1) 2 − | j1 − j2 |2 = (2j1 + 1) (2j2 + 1).Как и следовало ожидать, это число совпадает с N .• Построим теперь векторы состояний |II ⟩ = |j, jz = m⟩ из векторов исходного базиса |I⟩ = |j1 , j1z = m1 ⟩|j2 , j2z = m2 ⟩. Коэффициенты этого разложенияи есть коэффициенты Клебша–Гордана.
Тем самым мы докажем (12.4б). Основнаяидея нашего построения – для каждого допустимого значения суммарного моментаj должны реализовываться все возможные значения проекций этого момента.Пример. Начнём с одной из простейших задач – со сложения орбитального момента j1 = 1 и спинового момента j2 = 1/2. Суммарные значения момента импульсатакой системы j могут составлять 3/2 (моменты «параллельны») и 1/2 (моменты«антипараллельны»). Набор состояний нашей системы состоит из 6 векторов.
Наязыке суммарных моментов это |j = 3/2, m⟩ с m = ±3/2 , ±1/2 и |j = 1/2, m⟩ сm = ±1/2. На языке складываемых моментов это|I⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, +1/2⟩ , |II ⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, −1/2⟩ , |III ⟩ ≡ |1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ ,|IV ⟩ ≡ |1, 0⟩|1/2, −1/2⟩ , |V ⟩ ≡ |1, −1⟩|1/2, +1/2⟩ , |VI ⟩ ≡ |1, −1⟩|1/2, −1/2⟩.Вектор |I ⟩ – единственный вектор, который отвечает проекции полного моментана ось z, равной 3/2, в нашем случае это может реализовываться только при j = 3/2.Поэтому можно принять|j = 3/2, m = 3/2⟩ = |I ⟩ ≡ |1, +1⟩|1/2, +1/2⟩ .(12.5а)Векторы |II ⟩ и |III⟩ отвечают проекции полного момента на ось z, равной 1/2,в нашем случае это может реализовываться и при J = 3/2, и при J = 1/2.
Поэтомусостояния |j = 3/2, m = 1/2⟩ и |j = 1/2, m = 1/2⟩ должны быть суперпозициямисостояний |II ⟩ и |III ⟩.Векторы |IV ⟩ и |V ⟩ отвечают проекции полного момента на ось z, равной −1/2,в нашем случае это может реализовываться и при J = 3/2, и при J = 1/2. Поэтому12.1. Сложение моментов195состояния |j = 3/2, m = −1/2⟩ и | j = 1/2, m = −1/2⟩ должны быть суперпозициями состояний |IV ⟩ и |V ⟩.Наконец, вектор |VI ⟩ – единственный вектор, который отвечает проекции полногомомента на ось z, равной −3/2, в нашем случае это может реализовываться толькопри j = 3/2. Поэтому | j = 3/2, m = −3/2⟩ ∝ |VI ⟩ (этот вектор может отличатьсязнаком от того, что получается из |I ⟩ многократным действием оператора ĵ−).Подействуем на равенство (12.5а) понижающим оператором ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− .Для действия на левую часть равенства мы используем этот оператор в√формеĵ− , а на правую часть – в форме ĵ1− + ĵ2− , заметив, что ĵ1− |1, 1⟩ = 2|1, 0⟩и ĵ2− |1/2, 1/2⟩ = |1/2, −1/2⟩:√ĵ− |j = 3/2, m = 3/2⟩ = 3|3/2, 1/2⟩ ,√()ĵ1− + ĵ2− |1, 1⟩|1/2, 1/2⟩ = 2|1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ + |1, 1⟩|1/2, −1/2⟩ .Собирая полученные выражения, мы получаем|3/2, 3/2⟩ =√√2/3|1, 0⟩|1/2, +1/2⟩ + 1/3|1, 1⟩|1/2, −1/2⟩ ≡√√≡ 2/3|II ⟩ + 1/3|III ⟩.(12.5б)Состояние |j = 1/2, m = 1/2⟩ строится из тех же состояний |II ⟩ и |III⟩, и оноортогонально к состоянию |3/2, 1/2⟩.
Поэтому вектор этого состояния имеет вид√√|1/2, 1/2⟩ = 1/3|II ⟩ − 2/3|III⟩.(12.5в)Сходным образом действие оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− на равенства (12.5б)и (12.5в) и повторное действие этого оператора на получившиеся равенства дают|3/2, −1/2⟩ =√√1/3|IV ⟩ + 2/3|V ⟩ ,|1/2, −1/2⟩ =√2/3|IV ⟩ −√1/3|V ⟩ ;|3/2, −3/2⟩ = |VI⟩ ,ĵ− |1/2, −1/2⟩ = 0 .(12.5г)√√Появившиеся в равенствах (12.2) числа ± 1/3, 2/3 – это коэффициенты Клебша–Гордана.Процедура общего случая строится по тому же образцу.▽ В силу (12.4а), максимальное значение m = j1 + j2 .
Поэтому и максимальноезначение j = j1 + j2 . Это состояние получается единственным образом. Поэтому|j = j1 + j2 , m = j1 + j2 ⟩ = | j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 ⟩.▽ Под действием оператора ĵ− ≡ ĵ1− + ĵ2− это состояние переходитв |j = j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1⟩. С учётом (8.17)√ĵ− |j1 + j2 , m = j1 + j2 ⟩ = 2(j1 + j2) · | j1 + j2 , m = j1 + j2 − 1⟩ ≡≡ (ĵ1− + ĵ2−)|j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 ⟩ =√√= 2 j1 · | j1 , m1 = j1 − 1⟩|j2 , m2 = j2 ⟩ + 2 j2 · | j1 , m1 = j1 ⟩|j2 , m2 = j2 − 1⟩.Глава 12. Сложение моментов196Отсюда следует√√| j1+j2 , j1+j2−1⟩ =j1· | j1 , j1 − 1⟩|j2 , j2 ⟩ +j1 + j2j2· |j1 , j1 ⟩|j2 , j2 − 1⟩. (12.6а)j1 + j2Из двух векторов состояний |I⟩, стоящих в правой части этого равенства, можносформировать другой вектор состояния, ортогональный к (12.6а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
