1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Значит, избыточным является и такое описание, надо избавиться ещё от двух лишнихкомпонент.Для этого полезно вспомнить, что один и тот же набор наблюдаемых полей можно описать с помощью различных выражений для векторного потенциала (градиентная инвариантность). Эта неоднозначность обсуждается в § 11.4. Для болееудобного решения различных возникающих задач можно по-разному распоряжатьсяэтой неоднозначностью.
В частности, дальнейшее описание удобно вести в кулоновской калибровке (11.30), где скалярный потенциал ϕ = 0 и ∇A = 0. При этомвекторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению(1/c 2)∂ 2 A/∂t 2 − △ A = 0,div A = 0.(13.20)Глава 13. Тождественность частиц210• В кулоновской калибровке (11.30) связь положительно-частотных амплитудполей с положительно-частотными амплитудами вектора-потенциала и следствияиз уравнений Максвелла для полей записываются в виде хорошо известного наборасоотношенийE = iωA/c,B = i [k × A],2ω2 = c 2 k ,(kA) = 0.(13.21)Последнее соотношение отвечает условию кулоновской калибровки, оно описываеттот факт, что вектор A ортогонален вектору k, т.
е. имеет лишь две независимыхкомпоненты (две поляризации).Пару векторов поляризации ε(k, λ) (λ = 1, 2) выбирают обычно так, что ониобразуют базис в плоскости, ортогональной вектору k, т. е. удовлетворяют условиямпоперечности, ортогональности и полноты,(k · ε(k, λ)) = 0, (ε∗ (k, λ) · ε(k, λ′)) = δλλ′ ,∑ ∗ki k jεi (k, λ)ε j (k, λ) = δi j − 2 .kλ(13.22)В частности для волны, распространяющейся вдоль оси z, для которой k = (0, 0, k),базис линейных поляризаций имеет вид εℓk1 = (1, 0, 0), εℓk2 = (0, 1, 0), а базис цирку√лярных поляризаций имеет вид εrk± = (∓1, i, 0) / 2.Окончательно, Фурье-разложение векторного потенциала принимает вид]∑[A(r, t) =A(k, λ)e −i(ωt−kr) +A∗ (k, λ)e i(ωt−kr) , A(k, λ) = A(k, λ)ε(k, λ).
(13.23)k,λ13.3.2. Электромагнитное поле в кубической полости.Осцилляторы поляРассмотрим электромагнитное поле внутри кубической полости со стороной Lс периодическими граничными условиями. Это поле – набор плоских волн с дискретным рядом значений компонент волнового вектора ki =∫ 2πni /L, где ni – целые′числа, для которых выполняется условие ортогональности e i (k−k )r d 3 r = L3 δk,k′ .Энергию поля H E = L3 (E2 + B2) / (8π) для каждой моды колебаний (компонентыФурье с заданным волновым вектором и поляризацией) можно записать с помощью(13.18), (13.21) в виде1()L3 1 ∂A(k, λ, t) ∂A∗ (k, λ, t)2E∗H (k, λ, t) =+k A(k, λ, t)A (k, λ, t) ε(k, λ)ε∗ (k, λ).4π c 2∂t∂t(13.24)Таким образом, электромагнитное поле в нашей полости выглядит как набор независимых гармонических осцилляторов – осцилляторов поля с частотой ω = ck– по два для каждого k.
Величина A(k, λ, t) играет роль обобщённой координаты, соответствующаяскоростьесть ∂A(k, λ, t) /∂t и «масс» – L3 / (4πc 2). Величина( 3)2P(k, λ, t) ≡ L / (4πc ) ∂A(k, λ, t) /∂t есть обобщённый импульс, канонически сопряжённый нашей обобщённой координате.1Всилу условия калибровки (kA(k, λ, t)) = 0 мы имеем [k × A(k, λ, t)] 2 = k2 A2 (k, λ, t).13.3.
Квантование электромагнитного поля21113.3.3. Квантование поляВ соответствии с обсуждением на стр. 23, квантование сводится к превращению обобщённых координат и импульсов в операторы с обычными перестановочными соотношениями между ними. Вслед за тем мы вводим операторы рожденияи уничтоженияâ+ (k, λ) и â(k, λ) по образцу § 4.1 (величина, подобная (4.2а), есть√x0 = ~ · 4πc 2 / (ωL3)). Эти операторы описывают рождение и уничтожение квантовэлектромагнитного поля – фотонов с заданными волновым числом и поляризацией,′они не действуют на состояния фотонов с другими квантовыми числами k , λ′ .Выражая через эти операторы гармоники поля по образцу (4.3) и подставляя ихв (13.23), получим полный вектор-потенциал в виде суммы вкладов всех гармоник– оператор поля√)∑ 2π~c 2 (i(kr−ωt)+∗−i(kr−ωt)Â(r) =â(k,λ)ε(k,λ)e+â(k,λ)ε(k,λ)e.
(13.25)ωk L3kλЭлектрическое и магнитное поля при t = 0 определяются с помощью (13.21):√)∑ iωk 2π~c 2 (Ê(r) =â(k, λ)ε∗ (k, λ)e ikr − â+ (k, λ)ε(k, λ)e −ikr ,3ωk Lkλ c(13.26)√()]∑ 2π~c 2 [B̂(r) =ik × â(k, λ)ε∗ (k, λ)e ikr − â+ (k, λ)ε(k, λ)e −ikr .ωk L3kλТеперь выражения для операторов энергии и импульса поля принимают вид, совпадающий с известными выражениями для гармонического осциллятора. В частности, гамильтониан имеет вид()()∑13Ĥ =Ĥkλ , Ĥkλ = ~ωk n̂kλ +≡ ~ωk â+ (k, λ) â(k, λ) +.(13.27)22Условие кулоновской калибровки для векторного потенциал (13.25) выглядит какравенство нулю коммутатора[]p̂, Â(r) = 0 .(13.28)Чтобы убедиться в справедливости этого соотношения, достаточно вспомнить, что[p̂, e ikr ] = −i~ke ikr .
С учётом этого коммутатор (13.28) выглядит в точности как(13.25) c заменой ε(k, λ) на скалярное произведение i~ k ε(k, λ), которое равно нулю(поперечность световой волны).′▽ Пусть |n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), ...⟩ – состояние, содержащее ni (ki , λi) фотонов с волновыми векторами ki и поляризацией λk,i . Энергия и полный импульсэтого состояния равныE=∑kλn(k, λ)~ωkλ + E0 ,E0 =∑kλ~ωkλ /2,P=∑kλn(kλ)~k.(13.29)212Глава 13. Тождественность частицЗдесь E0 – энергия «нулевых колебаний вакуума». Её обычно отбрасывают, переходя к другому началу отсчёта энергии (см., впрочем, § 4.3).В точности так же, как для обычного гармонического осциллятора в § 4.1, имеютместо соотношения′+=√ â (k, λ1)|n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), .
. .⟩′= n1 (k, λ1) + 1 |n1 (k, λ1) + 1, n2 (k, λ2), n3 (k , λ), . . .⟩ ,′√â(k, λ2)|n1 (k, λ1), n2 (k, λ2), n3 (k , λ), . .′ .⟩ == n2 (k, λ2) |n1 (k, λ1), n2 (k, λ2) − 1, n3 (k , λ), . . .⟩.В соответствии с (13.25) это означает, что действие оператора векторного потенциала (или оператора электрического или магнитного поля) может описыватьизлучение и (или) поглощение одного (любого) фотона. В частности, для состояния с фотонами одного сорта для излучения и поглощения фотонов имеют местосоотношения√√2π~c 2 ∗⟨n(k, λ) + 1, t|Â(r)|n(k, λ), t⟩ = n(k, λ) + 1ε (k, λ)e i(ωk t−(kr)) ,ωk L3√(13.30)√2π~c 2−i(ωk t−(kr))⟨n(k, λ) − 1, t|Â(r)|n(k, λ), t⟩ = n(k, λ)ε(k, λ)e.ωk L3Излучение из состояния, в котором первоначально не было фотонов данного сорта,называют спонтанным.
Если же такие фотоны уже были в системе, мы говоримо вынужденном излучении или поглощении (см. подробнее гл. 16).Пример. Обсудим, какая минимальная энергия сигнала W = ~ωN нужна, чтобы наблюдать вращение его плоскости поляризации на малый угол ϕв оптически активной среде [10] (N – число фотонов в сигнале).Пусть волна распространяется в направлении оси z, а вектор её поляризациипервоначально√ направлен вдоль оси x. При этом амплитуда электрического поляесть Ex0 ≈ 2π~ωN. При повороте плоскости поляризации на малый угол ϕ появляется небольшая составляющая поля, направленная вдоль оси y, Ey0 = Ex0 ϕ. Минимальное√ значение этой амплитуды,√отвечающее регистрации одного фотона естьEy0 ≈ 2π~ω, оно достигается при ϕ N = 1.
Таким образом N ≈ 1/ϕ2 , и искомаяэнергия составляет W ≈ ~ω /ϕ2 .♢ Замечание. Условие кулоновской калибровки (11.30) не ковариантно. В частности, переход в движущуюся систему отсчёта изменяет набор ненулевых компонентвектора-потенциала. Тем не менее, фотон обладает всеми свойствами обычной частицы – энергией ~ω и импульсом ~k. Квантование, основанное на ковариантномусловии калибровки (например, на условии Лоренца ∂µ Aµ = 0), выглядит несколькоболее громоздко, чем приведённое выше.• Фотоны описывают векторное поле, т.
е. реализуют векторное представлениегруппы вращений, отвечающее моменту 1. Этот факт записывают, говоря, что спинфотона равен 1. Как и всякая частица, фотон может иметь ещё орбитальный момент(целочисленный) ℓ и соответственно полный момент j = ℓ + s. Оказывается, что длячастицы, движущейся со скоростью c, разделение на спин и орбитальный момент13.4. Системы с взаимодействием213серьёзного смысла не имеет. Утверждение, что спин фотона равен 1, означает только,что наименьшее значение j равно 1 и что чётность волновой функции фотона можетбыть и положительной и отрицательной.В классической электродинамике для бесконечной плоской волны понятие момента импульса разумным образом не вводится.
Если волна распространяется в направлении оси z, то компоненте момента импульса поля, направленной вдоль поля,появиться неоткуда. В действительности мы всегда имеем дело с волновым пакетом,сосредоточенном в некотором объёме, и мы говорим о плоской волне, если, например, наш пакет имеет форму цилиндра, направленного вдоль z, размер «дна» которого намного больше длины волны. На краях цилиндра (в силу уравнений div B = 0,div E = 0) волна искривляется, появляются компоненты поля, направленные вдоль z,они приводят к появлению поперечных компонент импульса поля и, соответственно,продольной компоненты момента.
Простое вычисление (см., например, [17]) показывает, что для циркулярно поляризованной волны получающийся момент импульсав объёме поля (для всего набора фотонов в этом объёме) относится к энергии поля в этом объёме как 1/ω – так же, как для фотона со спином S = ~·1 и энергией ~ω.Газ излучения. Рассмотрим теперь газ фотонов (его тоже иногда называют излучением) в кубической полости, который находится в тепловом равновесиисо стенками. Плотность энергии электромагнитного поля U(ω) в интервале частотdω стандартным образом выражается через усреднённый по направлениям квадратамплитуды поля в волне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
