1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Покажите, что P̂ = (1 + σ̂ 1 σ̂ 2) /2 – оператор спинового обмена, т. е. его собственные значения в состояниях с полным спином 0 и 1 есть ±1. (Индексы 1, 2относятся к первой и второй частицам со спином 1/2.)2j1∏+ j2ĵ − ji (ji + 1)8. Пусть ĵ = ĵ1 +ĵ2 . Покажите, что оператор P̂ j 0 =ji =|j1 − j2 |, ji ̸= j0 j0 (j0 + 1) − ji (ji + 1)есть оператор проектирования на состояния с j = j0 .9. Получите соотношения (12.11).∑10. Показать, что для цепочки спинов с гамильтонианом Ĥ = −J Sn Sn+δ − 2µB · Szи полным спином S =∑n,δ2Sn операторы Ĥ и Ŝ коммутируют.n11.
Для системы с гамильтонианом Ĥ = λ(σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 + σ 2 σ 3) (три частицы соспином 1/2) найти уровни энергии и кратности вырождения для состояний с сум2марным спином S = 3/2 и с S = 1/2. Найти собственные состояния |Ŝ , Ŝz ⟩.12. Пусть a – постоянный вектор, а χ – постоянный спинор. Показать, чтоψ1 = R(r) (σr)χ описывает состояние |ℓ = 1, j = 1/2⟩,а ψ2 = R(r) {σ · [a × r] − 2i(aσ)} χ – состояние |ℓ = 1, j = 3/2⟩.Глава 13Тождественность частицВ этой главе координатой q частицы называется набор из её пространственныхr и спиновых sz координат.§ 13.1.Волновая функция системы тождественных частицВ классической механике одинаковые частицы считаются различными (как будтоу каждой на боку можно поставить метку – номер). В квантовой механике это не так.В силу принципа неопределённости, понятие о траектории электрона теряет точныйсмысл, и через мгновение после того, как мы заметили два электрона, уже невозможно сказать, где первый, где – второй (разумеется, с точностью до ограниченияскорости скоростью света).
Принцип квантовой неразличимости частиц гласит:частицы одного сорта различить невозможно.(13.1)Поэтому волновая функция пары частиц ψ (q1 , q2) при замене q1 на q2 определяетсостояние с той же самой плотностью вероятности, т. е. |ψ (q2 , q1)|2 = |ψ (q1 , q2)|2 ,откуда следует, что ψ (q2 , q1) = e iα ψ (q1 , q2). Иными словами, оператор перестановки частиц, определяемый соотношением P̂12 ψ (q1 , q2) = ψ (q2 , q1), имеет собственныезначения e iα .
Но P̂12 [P̂12 ψ (q1 , q2)] = ψ (q1 , q2). Поэтому e 2iα = 1, т. е. e iα = ±1, илиψ (q1 , q2) = ±ψ (q2 , q1).(13.2)Итак, волновая функция пары тождественных частиц либо симметрична, либоантисимметрична при их перестановке. (Разумеется, в описание входят и пространственные, и спиновые переменные).• Если волновая функция симметрична при перестановке частиц, говорят, чточастицы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, их называют бозонами.• Если волновая функция меняет знак при перестановке частиц, говорят, чточастицы подчиняются статистике Ферми–Дирака, их называют фермионами.Глава 13. Тождественность частиц202Заметим, что мы ввели фактически оператор перестановки тождественных частицP̂, определяемый соотношениемP̂ψ (q1 , q2) = ψ (q2 , q1)(13.3)с собственными значениями +1 для бозонов и −1 для фермионов.• В.
Паули показал, что все частицы с полуцелым спином (электроны, протоны,кварки, ядра трития и т. д.) – фермионы, а все частицы с целым спином (фотоны,α-частицы, дейтоны и т.д.) – бозоны.Волновую функцию пары невзаимодействующих нетождественных частиц можноразложить по базису, в котором она является произведением волновых функцийотдельных частиц, ψ (q1 , q2) = ψ1 (q1)ψ2 (q2). Если частицы тождественны, то в силу(13.2) взамен этого)(ψ1 (q1)ψ2 (q2) ± ψ1 (q2)ψ2 (q1)(+) − бозоны,√ψ (q1 , q2) =(13.4а)(−) − фермионы.2Соответственно, для N тождественных ψ1 (q1)1 ψ (q )Ψ = √ 1 2N! .
. . ψ1 (qN )фермионовψ2 (q1)ψ2 (q2)...ψ2 (qN ). . . ψN (q1). . . ψN (q2)....... . . ψN (qN ).(13.4б)В частности, если среди волновых функций фермионов ψi (q) есть две одинаковых,то Ψ = 0, т. е. имеет место принцип Паули:в системе одинаковых фермионов не могут одновременнонаходиться в одном состоянии две (или более) частицы.(13.4в)В отсутствие магнитного поля волновая функция разбивается в произведение координатной и спиновой волновой функций, ψ (q) = ψ (r)χ(sz). Если энергия системыне зависит от sz (т. е. имеется вырождение по sz), удобно использовать симметричные и антисимметричные комбинации пространственных и спиновых функцийψ1 (r1)ψ2 (r2) ± ψ1 (r2)ψ2 (r1)√;2χ1 (sz1)χ2 (sz2) ∓ χ1 (sz2)χ2 (sz1)√χ∓ (sz1 , sz2) =.2ψ± (r1 , r2) =(13.5)Волновую функцию пары тождественных фермионов можно записать в видеψ = Aψ+ (r1 , r2)χ− (sz1 , sz2) + Bψ− (r1 , r2)χ+ (sz1 , sz2). При A = 0 спиновая волноваяфункция симметрична, и полный спин равен 1, при этом пространственная волновая функция антисимметрична.
При B = 0 спиновая волновая функция антисимметрична, при этом полный спин равен 0, а пространственная волновая функциясимметрична.13.1. Волновая функция системы тождественных частиц203Волновую функцию пары тождественных бозонов можно записать в виде другойсуперпозиции сходных по виду базисных функций,ψ = Aψ+ (r1 , r2)χ+ (sz1 , sz2) + Bψ− (r1 , r2)χ− (sz1 , sz2).В итоге,Пространственная волновая функция относительного движениясимметрична относительно перестановки частиц, если суммарный спин системы чётный, пространственная волновая функцияотносительного движения антисимметрична относительно перестановки частиц, если суммарный спин системы нечётный.(13.6)Для N тождественных бозонов волновая функция образуется по тому же типу,но, в отличие от детерминанта (13.4б), куда отдельные слагаемые входят с разнымизнаками, для бозонов все слагаемые суммы входят со знаком плюс.
Так, для парыбозонов, находящихся в одинаковом квантовом состоянии ψ (q1 , q2) = ψ1 (q1)ψ1 (q2).Отметим, что в системе тождественных частиц с гамильтонианом, явно не зависящим от спина, спины отдельных частиц коммутируют с гамильтонианом, но поотдельности не сохраняются, поскольку они не коммутируют с оператором перестановок системы P̂ (13.3).В такой системе энергия состояния зависит от полного спина системы.
Происхождение этой зависимости легко понять на примере системы из двух электронов.Антисимметричное спиновое состояние (спины антипараллельны – суммарный спинравен нулю) отвечает симметричной пространственной волновой функции, а симметричное спиновое состояние (спины параллельны – суммарный спин равен единице)отвечает антисимметричной пространственной волновой функции. В первом случаеэлектроны оказываются в среднем ближе друг к другу, чем во втором. Поэтомуэнергия кулоновского отталкивания в первом случае больше, чем во втором – деловыглядит так, что энергия состояния зависит от полного спина.
Это специфическиквантовое явление называют обменным взаимодействием. Ниже мы рассмотримдва важных примера.13.1.1. Обменное взаимодействиеРассмотрим энергию пары электронов, считая их взаимодействие U(|r1 − r2 |)возмущением. Состояниям пары электронов с полным спином s = 0 (спины электронов антипараллельны, знак «+») или 1 (спины электронов параллельны, знак«−») отвечают пространственные волновые функцииΨ± (1, 2) =ψ1 (r1)ψ2 (r2) ± ψ1 (r2)ψ2 (r1)√.2В этих состояниях энергия взаимодействия электронов есть{∫∫A + J (s = 0),∗33⟨U ⟩± =Ψ± U(|r1 − r2 |)Ψ± d r1 d r2 =A − J (s = 1).ЗдесьA=∫∫d 3 r1 d 3 r2 U12 |ψ1 (r1)|2 |ψ2 (r2)|2 ,J=∫∫(13.7)(13.8)d 3 r1 d 3 r2 U12 ψ1 (r1)ψ2∗ (r1)ψ2 (r2)ψ1∗ (r2).Глава 13. Тождественность частиц204Чтобы получить другую форму равенства (13.8), запишем выражение для квадрата вектора1 ŝ, равного сумме векторов спина двух электронов ŝ1 + ŝ2 ,ŝ2 = ŝ21 + ŝ22 + 2ŝ1 ŝ2 = 3/2 + 2(ŝ1 ŝ2)22(напомним, что ŝ1 = ŝ2 = 1/2(1 + 1/2) = 3/4).В состоянии с полным спином 1 правая часть равна 2, а в состоянии с полнымспином 0 правая часть равна 0.
Поэтому можно записать{11 при s = 1 ,+ 2ŝ1 ŝ2 =−1 при s = 0 .2Подставляя это равенство в (13.8), найдем удобную для дальнейшего форму этоговыражения()⟨U ⟩ = Ã − 2J ŝ1 ŝ2 ,Ã = A − J/2 .(13.9)Величину J называют обменным интегралом. Этот интеграл обычно на порядокменьше кулоновской энергии (из-за не очень сильного пространственного перекрытия волновых функций) – в отличие от взаимодействий, связанных со спином черезего магнитные свойства (последние дают энергии по крайней мере в α2 ∼ 10−4 разменьше атомных).Именно такое – обменное – взаимодействие ответственно за ферромагнетизмкристаллов, которое представляет собой упорядочение спинов (т.
е. и магнитныхмоментов) атомов кристалла. Действительно, соотношение (13.8) показывает, чтопри J > 0 энергетически выгодно, чтобы спины выстраивались параллельно другдругу. В веществе это соответствует ферромагнитному упорядочению. Если J < 0,то энергетически выгодно, чтобы соседние спины выстраивались антипараллельно друг другу. В веществе это соответствует антиферромагнитному упорядочению.В анизотропных кристаллах возникают и более сложные структуры.Спиновое происхождение ферромагнетизма означает, что гиромагнитное отношение для вещества M/L должно быть вдвое больше своего классического значения.Эйнштейн придумал опыт для проверки этого утверждения. Он состоял в измерениимомента импульса первоначально неподвижного диска в результате перемагничивания с периодом, равным периоду крутильных колебаний цилиндра.
Такой опыт былвпервые выполнен де Гаазом.13.1.2. Параводород и ортоводородСходное влияние симметрии спинового состояния на полную энергию системыпрослеживается в описании молекулы водорода H2 . Помимо электронов, эта молекула содержит две тождественных частицы – протона со спином 1/2. Из-за большойразницы масс электрона и протона здесь хорошо работает адиабатическое приближение (Борна–Оппенгеймера), в котором быстрые движения электронов рассматриваются при фиксированных положениях протонов, а более медленные движенияпротонов – в самосогласованном поле, включающем их кулоновское отталкивание1 Мыне различаем здесь слов «оператор» и «собственное значение оператора».13.1.
Волновая функция системы тождественных частиц205и усреднённое притяжение через электроны. В силу принципа Паули полная протонная волновая функция антисимметрична. Эта волновая функция является произведением спиновой и пространственной функций.Если спиновая волновая функция антисимметрична (спины ядер антипараллельны), полный спин пары протонов s равен нулю. При этом пространственная волноваяфункция симметрична, т. е.
содержит состояния лишь с чётными значениями момента импульса ℓ = 0, 2, 4, . . . Молекулу в таком состоянии называют параводородом.В основном состоянии ℓ = 0, вращательный уровень параводорода не возбуждается.Если спиновая волновая функция симметрична (спины ядер параллельны), полный спин пары протонов s равен единице. При этом пространственная волноваяфункция антисимметрична, т. е. содержит состояния лишь с нечётными значениямимомента импульса ℓ = 1, 3, 5, .
. . Молекулу в таком состоянии называют ортоводородом. В основном состоянии ℓ = 1, энергия вращательного движения ортоводородасоставляет w1 = ~2 ℓ(ℓ + 1) / (2I) ≡ ~2 /I, где ℓ = 1, а I = 2m p a2 – момент инерциимолекулы, w1 = 7, 31̇0−3 эВ≈ 85◦ K.Поэтому при температуре ниже 20◦ K за счёт теплового движения и соударенийвесь водород переходит в состояние параводорода, а при комнатной и более высокойтемпературе отношение количества ортроводорода и параводорода равно отношениюкратностей их спинового вырождения (2s + 1), т. е. 3 : 1.
Всё это хорошо проверенона опыте.Разумеется, состояния орто- и параводорода различаются ещё и энергией взаимодействия магнитных ядерных диполей, но эта энергия ничтожно мала, ∼ 10−9 эВ.Подчеркнём, что рассмотренная картина целиком связана с тождественностьючастиц и значением их спина. Поэтому ничего подобного не будет наблюдатьсяв молекулах HD, DD и HT , где D = 2 H – дейтерий – изотоп водорода с атомным весом 2 и спином 0, а T = 3 H – тритий – изотоп водорода с атомным весом3 и спином 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
