1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Она составила основу современного описания11.5. Эффект Ааронова–Бома189взаимодействий элементарных частиц (единая теория электромагнитных и слабыхвзаимодействий и теория ядерных сил – квантовая хромодинамика). В теории электрослабых взаимодействий частицами компенсирующих – калибровочных – полейявляются фотон и его аналоги – W - и Z-бозоны со спином 1 и с массами в 85–100 раз больше массы протона. Впервые они наблюдались в 1970-х гг. В квантовойхромодинамике частицы калибровочного поля называются глюонами, они не могутулетать далеко от своих источников.§ 11.5.Эффект Ааронова–БомаВ классической механике и электродинамике движение частиц полностью определялось напряжённостями полей в той точке, где находится частица.
Потенциалыне определяются однозначно этими полями, они вводились как вспомогательные понятия, удобные для глобального описания и позволяющие упростить некоторые формулы. В квантовой механике эволюцию волновой функции определяет гамильтониан(11.6), куда явным образом входит векторный потенциал. Таким образом, кажется,что в квантовой механике реальное движение частиц зависит от вида потенциала,включая его калибровку. Мы покажем, что это не так.
Взамен мы обнаружим, какпокажется на первый взгляд, что на движение в данной точке влияет поле, не локализованное в этой точке. Мы увидим, что и этой несообразности нет.Начнём с важного замечания. При наличии электромагнитного поля изменениеквазиклассической фазы волновой функции на пути L, вычисляемое так же, какв § 6.1, меняет свою форму по сравнению с тем, что получалось в том разделе,∫{ ∫}[p(r) − eA(r) /c] drp(r)drψ ∝ exp i⇒ ψ ∝ e iβL , βL =.(11.31)~~Здесь интегралы берутся по классической траектории электрона L.Содержание эффекта удобно продемонстрировать на примере эксперимента1 ,схема которого приведена на рис. 11.1. Это – обычный эксперимент по наблюдению дифракции электронов на двух щелях (источник слева, экран справа).
Единственное отличие от стандартной схемы – бесконечно длинный соленоид небольшогорадиуса (расположенный перпендикулярно движению частицы), внутри которого имеется магнитныйпоток Φ и который окружён непроницаемым для частиц цилиндрическим экраном. Оба классическихпути движения частиц проходят по пространству, гдедействующих на электроны полей нет (за исключением полей, формирующих щели).
На первый взгляд,наблюдаемая дифракционная картина должна опре- Рис.11.1.Схемаопытаделяться только геометрической разностью хода наАаронова–Бома«верхнем» и «нижнем» показанных путях. В действительности наличие соленоида смагнитным потоком кардинально меняет картину.1 Впервые на возможность такого эффекта указали У. Эренберг и Р. Э. Сайди в 1949 г. Подробноетеоретическое изучение эффекта проведено в 1959 г. Я. Аароновым и Д.
Бомом.Глава 11. Движение в магнитном поле190Обозначим «верхний» путь электрона через L1 , а «нижний» – через L2 и соответствующие «набеги фаз» на этих путях через β1 и β2 . Тогда интерференционноеслагаемое в квадрате амплитуды суммарной вероятности, которое и определяет наблюдаемую дифракционную картину, можно записать в виде[][]ψ1∗ ψ2 + ψ2∗ ψ1 ∝ Re e i(β1 −β2) ≡ Re e i(ϕ g +ϕA) .Здесь мы использовали преобразование∫1β1 − β2 = ϕ g + ϕA , ãäå ϕ g =~L1 −L2p(r)dr,ϕA = −e~c∫A(r)dr.L1 −L2В величинах ϕ g и ϕA интегралы представляет собой разности интегралов по «верхнему» и «нижнему» путям, т.
е. интегралы по замкнутой траектории L1 −L2 , фактическиизображенной на рисунке.На первый взгляд, в ответ (в слагаемое ϕA) явным образом входит значениевектора-потенциала, который определен только с точностью до калибровочной свободы. На самом деле эта калибровочная неоднозначность из ответа исчезает. Действительно, первое слагаемое ϕ g представляет собой обычную геометрическую разность фаз, возникающую в отсутствие поля. Оно «смазывается» при учёте «соседних» траекторий, формирующих волновой пакет.Второе слагаемое ϕA появилось из-за того, что векторный потенциал в области движения частицы отличен от нуля.
Но ведь векторный потенциал – нефизический объект, он не определяется однозначно наблюдениями. Как же он можетвлиять на наблюдаемый эффект? Эта кажущаяся несообразность разрешается, если вспомнить теорему Стокса, согласно которой интеграл от векторного потенциалапо замкнутому контуру есть поток вектора его ротора (т. е. магнитного поля) черезэтот контур – магнитный поток через этот контур. Таким образом, «магнитная» фазаϕA = −eΦ/ (~c) – нормальная физически измеримая величина. Поскольку магнитного поля на «пути» электрона нет, эта фаза одинакова для всех компонент волновогопакета.♢ При изменении магнитного потока максимумы и минимумы дифракционнойкартины сдвигаются по закону cos (2πΦ/Φ0), где Φ0 = 2π~c/e – введённый в (11.17)квант магнитного потока, т.
е. картина осциллирует (периодически меняется) с изменением магнитного поля. Чтобы наблюдать этот эффект, радиус соленоида долженбыть не очень велик по сравнению с длиной волны электрона 2π~/ p. В экспериментах по наблюдению этих осцилляций использовался соленоид с радиусом до 14мкм, магнитным потоком которого можно было управлять. Наблюдения показалихорошее согласие с теоретическим расчётом.♢ Итак, калибровочная независимость физических объектов «спасена». Но, кажется, мы обнаружили, что на движение в данной точке влияет поле, не локализованное в этой точке, т.
е. нарушен обычно предполагаемый «принцип локальности».Однако и этого нарушения нет. Действительно, дифракция может наблюдаться только если электроны на каждом из путей когерентны, а это означает, что оба они являются частями одного волнового пакета, который «накрывает» и соленоид, в этомпакете неопределённость координаты электрона превышает размер соленоида [19] .11.6. Задачи§ 11.6.191Задачи1. Найти относительные интенсивности расщеплённых пучков нейтронов в опытеШтерна-Герлаха, если поляризованные вдоль оси x нейтроны движутся вдольоси z, а магнитное поле направлено в плоскости xy под углом 45◦ к оси x.2.
Электроны, поляризованные вдоль оси z, движутся вдоль этой оси. Они проходятпоследовательно фильтры, пропускающие частицы, поляризованные вдоль оси x(вверх), и под углом θ к оси x – в плоскости xy. Найти долю прошедших частиц.3. Пучок нейтронов движется по оси x и попадает при x = 0 в область однородного магнитного поля, направленного по оси z. Найти коэффициент отражения длянейтронов, поляризованных по оси z вверх или вниз.
Найти вероятность переворота спина при отражении для нейтронов, поляризованных по оси x.4. Пучок нейтронов (спин 1/2), поляризованных вдоль оси x, влетает в однородноемагнитное поле, направленное вдоль оси z. Найти средние значения ⟨sx ⟩ и ⟨sx2 ⟩.Считать размер области изменения поля малым.5. По оси x со скоростью v движется пучок нейтронов, поляризованных вдоль этойоси. Найти доли нейтронов, проходящих через фильтры в двух случаях:а) он проходит последовательно фильтры, пропускающие нейтроны, поляризованные вдоль оси z, и под углом θ;б) он проходит область длиной L с однородным магнитным полем B, направленным по оси z; после этого пучок проходит через фильтр, пропускающий лишьнейтроны, поляризованные под углом θ к оси x в плоскости xz.6.
Докажите (11.7).7. Найти операторы скорости v̂ и ускорения â нейтральной частицы (например, нейтрона), находящейся в магнитном поле.8. Получите выражение для плотности тока вероятности электрона в магнитном поле(11.8). Убедитесь в калибровочной инвариантности этого выражения.9. Выразить волновую функцию (11.19б) через волновые функции (11.19а).()2( ())2eAe~eA10. Показать, что p̂ −− 2mσB = σ p̂ −.c2mcc11.
Найти зависимость от времени спиновой функции и средних значений компонентспина нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ, находящейся в однородном постоянном магнитном поле B.12. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного непостоянногомагнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. B(t) = B(t) n0 .13.
Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом µ находится в магнитном полеB(t) вида B = (B0 cos ω0 t , B0 sin ω0 t , B1), где B0 , B1 , ω0 – постоянные величины. При t = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось z,равной sz = 1/2. Найти вероятность различных значений проекции спина на ось zв момент времени t. Обсудить, в частности, случай, когда B1 ≪ B0 ; обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности "переворота"от частотыω0 в этом случае.Указание. Перейти во вращающуюся систему отсчёта.Глава 12Сложение моментовНачиная с этой главы, и орбитальный момент ℓ и спин s часто обозначаютсяодной и той же буквой j.
Для соответствующих операторов ȷ̂i справедливы перестановочные соотношения вида (8.3), но связь с координатами типа (8.23), вообщеговоря, отсутствует. Для определённости будем считать j1 > j2 .§ 12.1.Сложение моментовРассмотрим систему электронов в атоме как пример системы , для которой должна быть решена задача сложения моментов. Эта система в целом обладает сферической симметрией, и полный момент импульса системы сохраняется. В первомприближении каждый электрон движется в центрально-симметричном самосогласованном поле ядра и остальных электронов, определены моменты каждого электрона. При учёте различия взаимодействия между электронами от взаимодействия с ихусреднённым распределением, эта сферическая симметрия для отдельных электронов нарушается, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
