1625913956-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (532685), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Размер этой области ⟨a⟩ определяется решениемзадачи при B = 0, т. е. для гамильтониана Ĥ0 (напомним, что e < 0). В атомнойсистеме оценка в духе теоремы о вириале показывает, что (с точностью до коэффициентов порядка 2 и до знака) средняя потенциальная энергия и средняя кинетическая энергия – того же порядка, что и полная энергия состояния En . Длягрубой оценки примем ⟨p 2 ⟩ ∼ 2m|En | и ℓ = 1. В силу соотношения неопределённостей ⟨a⟩2 ∼ ~2 / (2m|En |). Поэтому среднее значение Ĥ2 можно оценить как11.2.
Уравнение Шредингера181 (µB B) 2 e 2 ~2 B 2. Итак, линейное по полю слагаемое ĤM мож|⟨H2 ⟩| ∼∼ 2m|En |8mc 2En но рассматривать как малую поправку к основному взаимодействию, формирующему атомные уровни энергии, и одновременно можно пренебрегать слагаемым Ĥ2 посравнению с ĤM при⟨ĤM ⟩⟨Ĥ2 ⟩(µB B)∼∼≡ δB ≪ 1 .|En |⟨Ĥ0 ⟩⟨ĤM ⟩(11.10)(Заметим, что для применимости теории возмущений необходимо куда более сильноеусловие µB B ≪ |En − Em | для любой пары термов гамильтониана Ĥ0 .)Для некоторых состояний гамильтониана Ĥ0 может оказаться, что ⟨ĤM ⟩ = 0.В этом случае в первом неисчезающем приближении теории возмущений поправкак энергии, обусловленная магнитным полем, квадратична по полю.
Она состоит издвух слагаемых – поправки второго порядка по возмущению ĤM , которую мы обозначим ∆EM2 , и поправки первого порядка по возмущению Ĥ2 , которую мы обозначим ∆E2 . Для последней величины справедлива оценка (11.10), а для первойвеличины мы используем стандартную оценку теории возмущений. В итоге (нижеEm – уровень, ближайший к рассматриваемому уровню En)|∆EM2 | ∼(µB B) 2(µB B) 2& |∆E2 | ∼.|En − Em |En(11.11)Иными словами, в условиях (11.10) слагаемым Ĥ2 чаще всего можно пренебречьпо сравнению с ĤM , даже если поправка первого порядка по полю исчезает в силукаких-нибудь свойств симметрии системы.▽ Если величина δB не является малой (как, например, для очень сильных полейили для состояний атома водорода с большим n – ридберговских атомов), то использование понятия магнитного момента без учёта квадратичного по полю слагаемогов гамильтониане может привести к ошибкам.11.2.2.
Электрон в однородном магнитном поле. IРассмотрим движение свободного электрона в однородном магнитном поле, направленном вдоль оси z, B = (0, 0, B) (без электрического поля). При таком движении характерные смещения не малы, слагаемое Ĥ2 (11.9) становится определяющеважным.Напомним для начала, что в классической задаче движение электрона складывается из свободного движения вдоль оси z и вращения с частотойωB = |e|B/mc(11.12)в плоскости (x, y) по окружности радиуса ρ = v⊥ /ωB .Полезно переписать наш гамильтониан (11.6) в видеĤ = Ĥ⊥ +p̂z2− gµB ŝ ,2mĤ⊥ =)m( 2v̂ + v̂y2 .2 x(11.13)Глава 11.
Движение в магнитном поле182Оператор p̂z коммутирует с гамильтонианом (с каждым его слагаемым). Поэтомукомпонента импульса, направленная вдоль поля, сохраняется, движение электронав этом направлении свободное, как и в классическом случае. Далее мы рассмотримуровни энергии поперечного движения, определяемого гамильтонианом Ĥ⊥ .Наряду с операторами компонент скорости (11.7) введём по аналогии с классической картиной операторы координат центра окружности и квадрата её радиусаx̂c = x̂ + v̂y /ωB ,ŷc = ŷ − v̂x /ωB ,ρ̂2 = (x − x̂c) 2 + (y − ŷc) 2 ≡v̂x2 + v̂y2ωB2.
(11.14а)Прямое вычисление показывает, что в однородном магнитном поле операторыкоординат центра окружности по отдельности сохраняются. В то же время они некоммутируют друг с другом, так же, как и компоненты вектора скорости[vy , vx ] = −i~eB,m2 c[x̂c , ŷc ] = −2i~2i~c.≡−mωBeB(11.14б)Это означает (см. § 2.2), что состояния поперечного движения вырождены. На классическом языке это – вырождение по положениям центра окружности.
Легко проверить, впрочем, что, например, [x̂c , ρ̂2 ] = 0.Введем операторы F̂i так, чтобы перестановочные соотношения между компонентами скорости (11.14б) приобрели тот же вид, что и соотношения между импульсоми координатой для одномерного движения, и выразим через них наш гамильтониан:√F̂x2 + F̂y2mωB2 ρ̂2ωBv̂i =F̂i ⇒ [F̂y , F̂x ] = −i~ ; Ĥ⊥ = ωB≡.(11.15)m22Получившийся гамильтониан поперечного движения Ĥ⊥ (первое выражение) имеет вид гамильтониана гармонического осциллятора, гл. 4 c заменой пары операторовp̂, x̂ на пару операторов F̂y , F̂x , обладающих теми же перестановочными соотношениями. Поэтому здесь полностью воспроизводится операторный метод полученияуровней системы § 4.1. Достаточно только вспомнить, что для гамильтониана осциллятора в виде (A p̂ 2 + Bx 2) /2 частота определяется соотношением ω 2 = AB.В нашем случае это означает, что ω = ωB , и энергии уровней определяются простой формулой En⊥ = ~ωB (n + 1/2).
Вспоминая ещё спиновое слагаемое и движениевдоль поля, запишем полную энергию электрона в магнитном поле()1p2(σz = ±1) .E = ~ωB n + + σz + z(11.16)22mИспользуя второе выражение для гамильтониана (11.15), обнаруживаем, что длясостояния с энергией En⊥ среднее значение квадрата радиуса орбиты составляет⟨ρ2 ⟩ =~(2n + 1)~c≡ (2n + 1).mωBeBРазумеется, полученное решение имеет смысл только если размер области однородности магнитного поля в поперечном направлении S = XY значительно большеминимального квадрата радиуса орбиты, S ≫ ~c/ (eB).11.2. Уравнение Шредингера183Кратность вырождения.
Помимо тривиального вырождения по продольному импульсу электрона, полученные состояния (11.19а) бесконечнократно вырождены поположениям центра орбиты электрона. Кратность вырождения становится конечной для движения, ограниченного конечной площадью S = XY . Чтобы получить эту кратность, вспомним перестановочное соотношение для координат центраокружности (11.14б) и сделаем замену переменных x̂c = (2c/eB) ĝ.
Тогда это перестановочное соотношение примет вид [ ĝ, ŷc ] = −i~ – такой же, как и между координатой и импульсом. При нашем условии, что размер области однородности магнитного поля в поперечном направлении значительно больше минимального квадратарадиуса орбиты, можно использовать квазиклассическую оценку числа возможныхсостояний (6.11) в виде NE = ∆ g∆yc / (2π~) ≡ ∆xc (eB/ (2c))∆yc / (2π~) c естественным условием ∆xc ∆yc = XY (все центры помещаются внутри области однородностимагнитного поля S = XY). В итоге при заданном pz кратность вырождения (числовозможных состояний) выражается через магнитный поток Φ = BS:NE = eBS/ (2π~c) ≡ Φ/ (2Φ0) ,ãäåΦ0 = 2π~c/e = 4 · 10−7 ãñ · ñì2 .(11.17)Здесь появилась величина Φ0 – квант магнитного потока для электрона1 .11.2.3.
Электрон в однородном магнитном поле. IIОбсудим это же движение более традиционным методом, решая уравнение Шредингера. Описание нашей физической системы, очевидно, не должно меняться привращении вокруг оси z, соответственно здесь сохраняется проекция момента импульса электрона на эту ось.
Кажется естественным сохранять эту симметрию навсех этапах решения, соответствующим образом выбирая калибровку векторногопотенциала. Однако удобнее другой путь, использующий калибровку потенциала,которая явно нарушает указанную симметрию. Разумеется, эта симметрия восстанавливается в пространстве получившихся решений.• Для векторного потенциала A = (0, xB, 0) уравнение Шредингера имеет видĤ =()2p̂y − exB/cp̂z2p̂ 2+ x ++ µB σz B.2m 2m2m(11.18)Видно, что [Ĥ, p̂z ] = [Ĥ , p̂y ] = [[Ĥ , ŝz ] = 0, т.
е. ]pz , py и sz сохраняются.Ищем теперь ψ в виде exp i(ypy + zpz) /~ φ(x)χ(sz). Тогда в гамильтонианеуравнения Шредингера для функции φ(x) операторы p̂z , p̂y и sz заменяются начисла pz , py и σz /2 = +1/2 и −1/2, т. е. это уравнение принимает вид:mωB2 (x − x0) 2p̂x2p2φ(x) +φ(x) = (E − µB σz B − z )φ(x)2m22m1 Магнитный(cpy )x0 =.eBпоток, проходящий через поверхность, ограниченную замкнутым сверхпроводящим контуром, может принимать только дискретные значения.
Квантом магнитного потока для обычных сверхпроводников является величина Φ0 /2, ибо носителями тока в сверхпроводниках являются не отдельныеэлектроны, а их пары с противоположно направленными квазиимпульсами и спинами (куперовские пары).184Глава 11. Движение в магнитном полеПолученное уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для осциллятора с частотой ωB (и с положением минимума потенциала x = x0). Поэтомуэнергии уровней имеют вид (11.16) (не зависят от импульса py !), и волновые функциивыражаются через решения задачи об осцилляторе (4.26)√√)(x − c py /eB~~ci(py y+ pz z) /~,x0B =ψB,y = eψn≡.(11.19а)x0BmωBeBЗначок y в индексе функции отмечает выбор калибровки вектора-потенциала.• Точно таким же образом можно найти решение, выбрав векторный потенциалв виде A = (−yB, 0, 0).
Решение проводится точно так же, как и выше – с очевидными заменами переменных. Получаются те же уровни энергии (11.16), а волновыефункции имеют похожий, но в сущности совсем другой вид()y + cpx /eBi(px x+ pz z) /~ψB,x = eψn,(11.19б)x0B• Поучительно привести ещё решение для векторного потенциала в виде, сохраняющем цилиндрическую симметрию задачи A = − [B × r] /2 [1] . В этом подходе естественно использовать цилиндрические координаты (ρ, φ, z), в которыхA = (Aρ , Aφ , Az) ≡ (0, Bρ√/2, 0) . При этом можно выполнить разделение переменных ψ = e imφ+i pz z/~ R(ρ) / 2π, и уравнение Шредингера для функции R(ρ) принимает вид (здесь мы обозначаем массу электрона через µ и не выписываем спиновыйвклад)[]′′1 ′ m22µE − pz2 mµωB ( µωB )2R + R − 2 R+−−ρR = 0.ρρ~2~2~Обозначив β = (E − pz2 /2µ) / (~ωB) − m/2 и введя переменную ξ = (µωB ρ/ (2~)) 2 ,′′′перепишем это уравнение в виде ξR +R +[−ξ /4+β−m2 / (4ξ)]R = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
